胡 理 梁 博 湯學(xué)宏

(1．中國建筑科學(xué)研究院，北京 100013;2．中國石化工程建設(shè)公司，北京 100101)

1 前言

對于考慮抗震設(shè)計的梁的正截面計算，由于計算或構(gòu)造要求，通常其上下部均配有縱向鋼筋，甚至在有的情況下，上下配筋還可能數(shù)量相當(dāng)。例如，《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》GB 50010—2010［1］的強制性條文中對考慮抗震設(shè)計的框架梁梁端截面的底部和頂部縱向受力鋼筋截面面積的比值，除按計算確定外，一級抗震等級不應(yīng)小于0．5，二級不應(yīng)小于0．3。但是，通常情況下，在設(shè)計梁的底(頂)部受拉配筋時，并不知道頂(底)部已經(jīng)存在的受壓鋼筋面積，所以在設(shè)計中一般沒有考慮已經(jīng)存在的受壓鋼筋對抗彎配筋計算的影響，上下部的縱向鋼筋面積分別由截面的正負(fù)彎矩的最不利效應(yīng)決定。通過本文中的分析可以得出，當(dāng)受壓鋼筋面積與將要配置的抗彎受拉鋼筋面積相當(dāng)時，如果不考慮其影響，將使總的配筋量增多，造成材料浪費。本文將深入研究如何合理地考慮梁的受壓鋼筋的正截面配筋設(shè)計方法，先進(jìn)行基于計算公式的理論分析，然后采用數(shù)值計算方法求解出大量數(shù)據(jù)，通過圖表對結(jié)果進(jìn)行分析，再根據(jù)工程要求提出合理的滿足精度要求的簡化設(shè)計方法。

2 受壓鋼筋配筋量對受拉鋼筋配筋量的影響分析

在已知受壓鋼筋的情況下，對于一般的雙筋截面設(shè)計，通常是先假設(shè)受壓鋼筋受壓屈服，如果計算過程中發(fā)現(xiàn)其未屈服，則采用對受壓鋼筋取矩并忽略混凝土作用的簡化方法進(jìn)行設(shè)計。在本節(jié)中，需要準(zhǔn)確地分析已知的受壓鋼筋配筋量對抗彎計算所需要的受拉鋼筋配筋量的影響，如果已確定受壓鋼筋未受壓屈服，就不能采用簡化方法來進(jìn)行設(shè)計，而應(yīng)該準(zhǔn)確地計算受壓鋼筋的真實應(yīng)力，進(jìn)而準(zhǔn)確地計算出此時抗彎所需受拉鋼筋面積，得出準(zhǔn)確的影響規(guī)律。

不失一般性，可以選擇工程中最為簡單和常用的矩形截面進(jìn)行分析，并假設(shè)梁的項部和底部采用同類、同級別鋼筋，已知受壓鋼筋面積A's和彎矩M條件下，用于抗彎配筋設(shè)計的兩個平衡方程和一個物理方程如下［2］:(其中σ's為受壓鋼筋的應(yīng)力，以受壓為正，因為此處討論的A's可能受壓也可能受拉，所以在下文中將A's稱為受壓側(cè)鋼筋面積。)

對于(1)式，當(dāng)M一定時，考察 As隨 x在 (0，h0)范圍內(nèi)逐漸增大時的變化趨勢:當(dāng)x在(0，a')范圍內(nèi)時，As隨x增加而減小;當(dāng)x在(a'，h0)時，As隨x增加而增加。

對于(2)式，當(dāng)M一定時，考察x隨A's在［0，∞)范圍內(nèi)逐漸增大時的變化趨勢:當(dāng)A's=0，根據(jù)式(1)、(2)、(3)進(jìn)行抗彎設(shè)計時計算出的x取值使σ's＞0(即x＞ β1a')時，如果x減小，則A's將增加以滿足平衡方程(2)式，反之，A's的增加將導(dǎo)致x的減小，隨著A's趨于無窮，x逐漸減小而無限接近β1a';當(dāng)A's=0時求得的x取值使σ's＜0(即x＜β1a')時，x的增加導(dǎo)致A's的增加，反之，A's的增加導(dǎo)致x的贈加，隨著A's趨于無窮，x逐漸增大而無限接近β1a'。

對于式(3)，明顯地，σ's是x的遞增函數(shù)，當(dāng)x= β1a'時，σ's=0。

綜上分析，根據(jù)A's=0時由M進(jìn)行抗彎設(shè)計時計算出的x0值的不同，As隨A's的變化趨勢可以分以下四種情況:① 當(dāng)0＜x0＜β1a'時，A's↑?x↑?As↓;② 當(dāng) x0=β1a'時，A's↑?x不變 ?As不變;③當(dāng)β1a'＜x0≤a'時，A's↑?x↓?As↑;④ 當(dāng)x0＞a'時，開始階段，A's↑?x↓?As↓，當(dāng)x減小到a'后，與③相同。

以上分析沒有考慮界限受壓區(qū)高度的影響，如果考慮的話，情況也是類似的。在上面的三個方程中，如果已經(jīng)確定受壓鋼筋不能受壓屈服，則(1)、(2)、(3)式聯(lián)立即為含有3個未知數(shù)(分別為x，σ's，As)的非線性方程組，需要采用數(shù)值方法求解，下一節(jié)將采用數(shù)值方法對實例進(jìn)行計算分析，并給出符合上述規(guī)律的比較直觀的結(jié)果。

3 考慮受壓側(cè)鋼筋進(jìn)行抗彎設(shè)計的數(shù)值計算方法和計算結(jié)果分析

為了便于推導(dǎo)，將上節(jié)中的平衡方程(1)式改為力平衡方程(4)，如下:

對于以上方程組(4)、(2)、(3)的求解，可以分兩種情況討論。在已知A's(≥0)的條件下，當(dāng)假設(shè)受壓側(cè)鋼筋應(yīng)力σ's已確定時(受壓屈服或受拉屈服)，通過(4)、(2)式可直接求x和As;當(dāng)受壓側(cè)鋼筋未受壓屈服或受拉屈服時，σ's的取值未知，與混凝土受壓區(qū)高度x有關(guān)，需要通過(4)、(2)、(3)式聯(lián)立求解，其中包含3個未知數(shù)(分別為 x，σ's，As)，求解該非線性方程組時，需采用數(shù)值方法。將(3)式代入(2)式，并對(2)式進(jìn)行整理后，可設(shè)f(x)，并求出其一階和二階導(dǎo)數(shù)f'(x)、f″(x)如下:

這樣就將非線性方法組的求解轉(zhuǎn)化為求f(x)=0的根，進(jìn)而根據(jù)x值由(4)式求As。實際用于設(shè)計時，h0－a'＞0是確定的，則f(x)的導(dǎo)數(shù)具有如下性質(zhì):f'(x)＞ 0，x ∈ (0，h0);f″(x)＜ 0，x ∈(0，h0)。當(dāng)確定含根區(qū)間時，對于實際情況，因為具有明確的物理意義，可以保證根的存在唯一性，根據(jù)Newton迭代法的非局部收斂性的條件［3］，對于該問題，只需要用于迭代的x的初值滿足一定條件即可保證求解收斂。具體來說，由于f'(x)＞0，根據(jù)受壓側(cè)鋼筋恰好受壓屈服和恰好受拉屈服時的受壓區(qū)高度x確定的f(x)值的符號，可以很容易地判斷是否處于未屈服狀態(tài)，如果已判斷處于未屈服狀態(tài)，則相應(yīng)的有根區(qū)間的上下邊界也即受壓側(cè)鋼筋恰好受壓屈服和恰好受拉屈服時的x值。為了滿足Newton迭代的非局部收斂條件，可取迭代初值為受壓側(cè)鋼筋恰好受拉屈服時的x值。

根據(jù)以上分析，通過編程實現(xiàn)上述算法(進(jìn)行迭代求解時，受壓區(qū)高度x的連續(xù)項差的限值取為含根區(qū)間寬度的1/10000，可以認(rèn)為此時的計算結(jié)果為精確解)，對于如下條件的矩形截面梁:①截面參數(shù):b=250 mm，h=600 mm，h0=560 mm，a'=40 mm;②材料參數(shù):C30，HRB400;③截面內(nèi)力:彎矩 M 分別取30、50、62．233 6、75、100、150、200、300、430．138、500、600、700、800 kN·m，當(dāng) A's=0 時對應(yīng)的x0值如表1所示，計算結(jié)果如圖1所示，其中每一條曲線代表M為一定值時，As隨A's的從0逐漸增加，根據(jù)上述方程組求得的變化曲線，其中(a)、(b)圖分別為M取值較小和較大的情況，(a)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)點的縱坐標(biāo)與相應(yīng)曲線的位置代表了這條曲線的變化趨勢，(b)圖中也已畫出M較小的曲線，其形狀基本上是水平的，沒有像(a)圖一樣標(biāo)出相應(yīng)的數(shù)據(jù)點。

由圖1(a)并參照前一節(jié)的分析，可知:(1)M=30 kN·m和M=50 kN·m所對應(yīng)的曲線規(guī)律與上一節(jié)中變化趨勢①相符;(2)M=62．233 6 kN·m所對應(yīng)的曲線與上一節(jié)中的變化趨勢②相符，因為此時恰好x0=β1a'成立;(3)M=70 kN·m所對應(yīng)的曲線對應(yīng)上一節(jié)中變化趨勢③;(4)M=100 kN·m所對應(yīng)的曲線對應(yīng)上一節(jié)中變化趨勢④，當(dāng)M取更大時，變化趨勢與M=100時的趨勢相同。以上是從圖1(a)所得到的規(guī)律，但這些規(guī)律的實用性并不強，因為這些曲線的變化趨勢接近水平，受壓鋼筋對受拉鋼筋的影響是很小的。此外，在較小彎矩的情況，計算配筋較小，甚至不足以滿足規(guī)范中的構(gòu)造要求而不起控制作用，所以受壓鋼筋的多少對受拉鋼筋的影響幾乎可以忽略不計。

現(xiàn)對圖1(b)進(jìn)行分析，從該圖得出的信息對于進(jìn)一步地分析是很重要的。由圖1(b)可知，當(dāng)彎矩取值在200～800 kN·m范圍內(nèi)的各組情況，當(dāng)已知的受壓側(cè)鋼筋A(yù)'s增大到一定程度(可取與受拉側(cè)鋼筋量相同時，如圖1(b)中45°斜線)，可以認(rèn)為As隨A's的增加不再變化。于是可以推斷，當(dāng)已知受壓側(cè)鋼筋較受拉側(cè)鋼筋配筋量多時，如果采用對稱配筋的方式來計算受拉鋼筋，可以得到足夠精確的結(jié)果，這樣也就解決了本節(jié)一開始提出的不知道受壓側(cè)鋼筋配筋量的問題，下一節(jié)將繼續(xù)討論對稱配筋的精確計算方法。

圖1 A's-As圖(M(kN·m)取一定值)

表1 是否考慮受壓鋼筋時受拉鋼筋配筋量對比表

對圖1中的結(jié)果進(jìn)行整理如表1所示，在表1中，x0是A's=0時由M進(jìn)行抗彎設(shè)計求出的受壓區(qū)高度(已考慮界限受壓區(qū)高度的影響)，As0為此時的受拉鋼筋面積;As∞為已知A's=5 000 mm2時由M進(jìn)行抗彎設(shè)計求出的受拉鋼筋面積，配筋率ρ對兩種結(jié)果進(jìn)行比較，如果將不考慮受壓鋼筋的影響情況看成是一種簡化計算，則相對誤差εr由表1可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)配筋率較小時，兩者的區(qū)別不大，當(dāng)配筋率大于0．75%左右時，不考慮受壓鋼筋影向的簡化方法將使配筋量增加5～25%左右，例如當(dāng)配筋率為1．63%(M=430．138)時，相對誤差最大，為26．12%。

4 假設(shè)對稱配筋進(jìn)行抗彎設(shè)計的數(shù)值計算方法和計算結(jié)果分析

由于已假設(shè)對稱配筋，即，則上文中的平衡方程(4)、(2)改為如下形式:

與上一節(jié)類似，對于以上方程的求解，可以分兩種情況討論。當(dāng)假設(shè)受壓側(cè)鋼筋應(yīng)力σ's確定時(只能受拉屈服，不可能受壓屈服)，通過(5)、(6)式可直接求x和As;當(dāng)受壓側(cè)鋼筋沒有受拉屈服時，σ's的取值未知，與混凝土受壓區(qū)高度x有關(guān)，通過(5)、(6)、(3)式聯(lián)立求解，包含3個未知數(shù)(分別為 x，σ's，As)，求解該非線性方程組時，仍需采用數(shù)值方法。與上文中的求解思路類似，但此時的f(x)的性質(zhì)并不像上文中的f(x)那么好，不能完全滿足的Newton迭代法的非局部收斂條件，綜合考慮后可以選擇二分區(qū)間搜索法。根據(jù)以上分析，通過編程實現(xiàn)上述算法，結(jié)果如圖2所示的對稱配筋面積As隨設(shè)計彎矩M的變化曲線?！痘炷两Y(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》規(guī)定當(dāng)x＜2a'時，可采用不考慮混凝土作用的簡化算法，而此處的對稱配筋的x也是滿足這個條件的，在圖2中也按這種簡化方法畫出了相應(yīng)的As隨設(shè)計彎矩M的變化曲線，可以發(fā)現(xiàn)兩條曲線基本重合。兩種方法的計算結(jié)果比較如圖3所示，其中ρ為配筋率，ε為相對誤差。可以看出，精確算法和簡化算法的結(jié)果符合得很好，僅在配筋率較小(小于0．2%左右)的情況下才產(chǎn)生5%以上的誤差，在工程設(shè)計中采用這種簡化方法是合理的。

5 結(jié)論

根據(jù)第3節(jié)的分析，如果知道梁的底(頂)部配筋量比頂(底)部配筋多時，我們可以先按對稱配筋來計算頂(底)部受拉鋼筋，根據(jù)第4節(jié)的分析，對稱配筋受拉鋼筋的計算可以采用規(guī)范的簡化方法，來計算頂(底)部鋼筋，再計算底(頂)部受壓鋼筋時就可以把上一步得到的頂(底)部鋼筋作為已知條件，這樣就解決了受壓側(cè)鋼筋未知的問題，只需要知道梁頂部和底部的配筋量相對大小即可。對于具有兩個對稱軸的矩形截面來說，可以由正負(fù)彎矩的絕對值大小即可以判斷頂部和底部的配筋量相對大小，所以本文的設(shè)計方案圓滿地解決了矩形截面考慮受壓鋼筋的正截面配筋設(shè)計問題。對于T形截面，不能簡單地根據(jù)內(nèi)力判斷配筋量相對大小，只能先進(jìn)行試算來確定相對大小，再按本文的方法來考慮受壓鋼筋的影響。

需要說明的是，本文考慮已經(jīng)存在的受壓鋼筋作用的設(shè)計方法與通常所說的按雙筋設(shè)計是有區(qū)別的。后者是一個控制彎矩決定了受拉和受壓兩側(cè)的鋼筋，其受壓區(qū)高度取界限受壓區(qū)高度，梁的變形能力和延性偏低，總是采用雙筋截面設(shè)計也是不經(jīng)濟的;而前者的受壓側(cè)鋼筋一般是由其相應(yīng)的起控制作用的彎矩決定，與控制受拉鋼筋的彎矩是沒有關(guān)系的。例如，梁的頂部鋼筋先是由截面的控制負(fù)彎矩決定的，當(dāng)根據(jù)控制正彎矩計算底部鋼筋時，根據(jù)已知的受壓側(cè)鋼筋配筋量，來考慮其對底部鋼筋的影響，當(dāng)已知的受壓側(cè)鋼筋不足時，才轉(zhuǎn)化為按雙筋設(shè)計。所以說考慮受壓側(cè)鋼筋的設(shè)計方法與梁的延性減小并沒有直接對應(yīng)的關(guān)系，也不存在不經(jīng)濟的問題。通過本文的分析可知，本文的方法在很多情況下還可以產(chǎn)生經(jīng)濟的效果。

［1］中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)．GB 50010－2010混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范［S］．北京:中國建筑工業(yè)出版社，2010．

［2］滕智明，朱金銓．混凝土結(jié)構(gòu)及砌體結(jié)構(gòu)(上冊)［M］．北京:中國建筑工業(yè)出版社，2003年6月第2版．

［3］吳勃英，王德明，丁效華，等．?dāng)?shù)值分析原理［M］．北京:科學(xué)出版社，2003年8月第1版．