許文坤，陳云霞，杜 倩，張衛(wèi)國

（華南理工大學(xué) 工商管理學(xué)院，廣州 510640）

基于擬蒙特卡羅方法的可轉(zhuǎn)債VaR和ES風(fēng)險(xiǎn)度量

許文坤，陳云霞，杜 倩，張衛(wèi)國

（華南理工大學(xué) 工商管理學(xué)院，廣州 510640）

文章通過使用隨機(jī)Faure序列和方差減小技術(shù)并結(jié)合Moro算法，提出了基于Faure序列和Moro算法的擬蒙特卡羅（FMQMC）方法。基于該方法，給出了中國可轉(zhuǎn)債的風(fēng)險(xiǎn)值VaR和ES的度量模型。最后，選取了燕京可轉(zhuǎn)債進(jìn)行了實(shí)證分析，從可轉(zhuǎn)債的VaR和ES估計(jì)值、方差以及計(jì)算效率幾個(gè)方面將該方法與普通蒙特卡羅方法(PMC)進(jìn)行了比較，結(jié)果顯示FMQMC方法在計(jì)算燕京可轉(zhuǎn)債的風(fēng)險(xiǎn)值VaR和ES時(shí)不僅方差更小，計(jì)算效率更高，而且其估計(jì)值也更加接近實(shí)際損失。

可轉(zhuǎn)債風(fēng)險(xiǎn)度量；VaR；ES；擬蒙特卡羅；Faure序列；Moro算法

0 引言

可轉(zhuǎn)換債券是一種兼具債權(quán)性和期權(quán)性的混合型金融產(chǎn)品，由于具有籌資和避險(xiǎn)的雙重功能，已經(jīng)成為我國資本市場(chǎng)中一種重要的衍生金融工具。目前國內(nèi)對(duì)可轉(zhuǎn)債的風(fēng)險(xiǎn)度量方面的研究還很少，從而對(duì)它的風(fēng)險(xiǎn)的準(zhǔn)確度量具有很強(qiáng)的學(xué)術(shù)價(jià)值和重要現(xiàn)實(shí)意義。近年來應(yīng)用比較廣泛的風(fēng)險(xiǎn)度量方法是VaR和ES，本文綜合考慮了這兩種方法，并將其應(yīng)用于可轉(zhuǎn)債風(fēng)險(xiǎn)度量中。

本文使用隨機(jī)化的Faure序列并結(jié)合Moro算法，對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)格的波動(dòng)進(jìn)行模擬，并在此基礎(chǔ)上給出可轉(zhuǎn)債的風(fēng)險(xiǎn)值VaR和ES計(jì)算模型，接著提出了求解風(fēng)險(xiǎn)度量模型的算法步驟，最后結(jié)合實(shí)證研究，就可轉(zhuǎn)債的風(fēng)險(xiǎn)值VaR和ES估計(jì)值、方差以及計(jì)算效率幾個(gè)方面與普通蒙特卡羅（PMC）方法進(jìn)行了比較研究。

1 可轉(zhuǎn)債的價(jià)值構(gòu)成及其市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)分析

可轉(zhuǎn)債融合了股票、債券和期權(quán)的特點(diǎn)，因此可轉(zhuǎn)債價(jià)值可以看作普通債券價(jià)值B和隱含期權(quán)價(jià)值C的總和，表示為CB。

設(shè)可轉(zhuǎn)債到期日期為T，可轉(zhuǎn)債價(jià)格變動(dòng)單位日期為一天，初始時(shí)刻為t=0，純債券部分的年利息為I，年限為n，面值為P，無風(fēng)險(xiǎn)利率為r，市場(chǎng)利率為i，標(biāo)的股票價(jià)格為S，T-t為到期期限，σ為股票價(jià)格的波動(dòng)率，X為規(guī)定的執(zhí)行價(jià)格。

則普通債券價(jià)值為：

期權(quán)部分的價(jià)值一般根據(jù)Black-Scholes公式計(jì)算，表示為：

其中

根據(jù)公式(1)可以知道可轉(zhuǎn)債純債券部分價(jià)值主要受市場(chǎng)利率、發(fā)行面值、年利息以及發(fā)行年限的影響，由于在可轉(zhuǎn)債發(fā)行后，除市場(chǎng)利率外，其余參數(shù)都是確定的，加上中國的利率市場(chǎng)還沒有完全放開，故短期內(nèi)純債券部分的價(jià)值將可以看作是保持不變的，因此可轉(zhuǎn)債的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)主要表現(xiàn)在隱含期權(quán)的部分。期權(quán)部分的價(jià)值受諸多因素的影響，但在極短時(shí)期內(nèi)，其價(jià)值波動(dòng)主要受可轉(zhuǎn)債標(biāo)的股票S的影響。因此可以通過考慮標(biāo)的股票S的未來價(jià)格波動(dòng)，達(dá)到計(jì)算可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的目的。

根據(jù)期權(quán)的價(jià)格變動(dòng)與股票變動(dòng)的關(guān)系，以及對(duì)可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的假設(shè)，我們得到可轉(zhuǎn)債價(jià)值變動(dòng)與其標(biāo)的股票變動(dòng)的關(guān)系，如下公式：

其中，

則

代入δ，Γ值就可以得到相應(yīng)的△CB=dCB。

2 可轉(zhuǎn)債的風(fēng)險(xiǎn)值VaR和ES

2.1 可轉(zhuǎn)債價(jià)格波動(dòng)過程

這里，我們假設(shè)可轉(zhuǎn)債的標(biāo)的股票S的價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，也就是滿足：

那么可以得到股票價(jià)格為

結(jié)合公式(3)，我們可以得到可轉(zhuǎn)債的價(jià)格波動(dòng)△CB表示為：

其中，d1，Γ的定義如第一節(jié)所述。

2.2 擬蒙特卡羅方法

蒙特卡羅方法作為一種非常有效的數(shù)值方法，被廣泛地應(yīng)用于高維積分等領(lǐng)域，然而該方法產(chǎn)生的是偽隨機(jī)數(shù)，具有聚集性的特點(diǎn)，而且收斂速度慢。因此本文在計(jì)算可轉(zhuǎn)債風(fēng)險(xiǎn)值VaR和ES的估計(jì)值時(shí)，考慮使用隨機(jī)化的低差異Faure序列來代替?zhèn)坞S機(jī)序列，相應(yīng)的方法稱為擬蒙特卡羅方法。由公式(7)和(8)，模擬可轉(zhuǎn)債價(jià)格波動(dòng)路徑△CB就如同模擬隨機(jī)變量ε，通過使用FMQMC方法來構(gòu)造隨機(jī)變量ε，進(jìn)而得到模擬的可轉(zhuǎn)債價(jià)格波動(dòng)路徑。

FMQMC方法中的Faure序列描述如下：

設(shè)s為自然數(shù)，b是一個(gè)素?cái)?shù)，令集合Zb={0,1,…,b-1}，則一個(gè)s-維Faure序列Fk={x1,x2,…,xs}可通過以下原理構(gòu)造。

記 k*=(k0,k1,…,km-2,km-1)'，設(shè) C1,C2,…,Cs是 m×k 階矩陣，其中C1為m階單位矩陣，

矩陣C3在Faure序列的構(gòu)造過程中起到非常重要的作用，黃仿倫證明了C3是m階Pascal矩陣的Cholesky分解，本文利用該結(jié)論對(duì)Faure序列進(jìn)行了快速的構(gòu)造。

在估計(jì)可轉(zhuǎn)債風(fēng)險(xiǎn)值VaR和ES時(shí)，需要用到公式(7)中提到的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)ε，而Faure序列構(gòu)造的是[0,1)均勻分布，因此使用Faure序列在產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)之前必須對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使其滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

本文運(yùn)用Moro逆變換算法，把[0,1)均勻分布轉(zhuǎn)換為累積標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。該算法將累積標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的Y軸分為兩部分進(jìn)行處理，一為中央部分，即0.08≤u≤0.92，采用Beasley&Springer法；另一為尾端部分，即u<0.08和u>0.92，使用Chebyschev序列。

對(duì)中央部分，采用下式進(jìn)行估計(jì)，其中y=u-0.5，且把a(bǔ)n，bn的值列于表1。

對(duì)尾端部分，則以截?cái)嗟腃hebyschev數(shù)列來計(jì)算，其中z=k1[2ln(-ln[0.5-|y|])-k2]，而 cn,k1,k2的值列于表 1。

對(duì)于截?cái)嗟那斜妊┓驍?shù)列，通過下面的Clenshaw遞推公式可以得到一個(gè)有效的估計(jì)。令，則C(z)可由下面遞推公式獲得：

表1 Moro算法的系數(shù)表

表2 燕京可轉(zhuǎn)債關(guān)鍵參數(shù)

Moro算法中只涉及幾個(gè)常數(shù)，在Matlab中只需要幾行代碼就能完成，實(shí)現(xiàn)起來非常簡(jiǎn)單。

由于對(duì)于給定的k和基底b，得到的Faure序列是固定的，因此必須對(duì)其進(jìn)行隨機(jī)化處理，從而構(gòu)造出低差異隨機(jī)序列。首先使用對(duì)偶變數(shù)法達(dá)到減小模擬方差的目的，即對(duì)Faure 序列 F1取負(fù)，得到新的序列 F2=[F1，-F1]。

再對(duì)F2使用Cranley-Patterson變換：

再取Fij3的小數(shù)部分，就得到了服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī) Faure 序列 F={fij}∈(-1,1)s。

因?yàn)獒槍?duì)不同部分，Moro算法使用了不同的算法，故該算法對(duì)從均勻分布到累積標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的變換方面具有相當(dāng)高的準(zhǔn)確度。由于尾端分布對(duì)可轉(zhuǎn)債風(fēng)險(xiǎn)值的度量具有相當(dāng)大的影響，因此運(yùn)用Moro算法進(jìn)行可轉(zhuǎn)債的風(fēng)險(xiǎn)度量更加合適。

2.3 可轉(zhuǎn)債的VaR和ES定義

VaR(Value-at-Risk)是在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)范疇中的一個(gè)機(jī)構(gòu)的頭寸在一個(gè)給定持有期間內(nèi)，由于一般的市場(chǎng)運(yùn)動(dòng)而降低，帶來損失的統(tǒng)一估計(jì)。從金融機(jī)構(gòu)的角度，VaR可以定義為金融頭寸在一個(gè)給定時(shí)間段上，以一個(gè)給定的概率發(fā)生的最大損失。

ES(Expected Shortfall)模型是VaR基礎(chǔ)上的改進(jìn)模型，它是廣義的一致性風(fēng)險(xiǎn)度量模型。在給定置信水平為α的情況下，對(duì)于具有離散型損益分布的可轉(zhuǎn)債，其ES模型有如下形式：

設(shè) n 為樣本容量，w=int(n(1-α))，{L1,L2,…,Lw}是將可轉(zhuǎn)債損益序列從小到大的順序排序得出的序列中最小的w個(gè)損益。則ES的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

可轉(zhuǎn)債的VaR和ES可以通過以下方式進(jìn)行計(jì)算。首先，結(jié)合公式(3)、公式(7)以及公式(8)，使用FMQMC方法模擬出該轉(zhuǎn)債的價(jià)格波動(dòng)路徑，得到波動(dòng)序列 {△CB1,△CB2,…,△CBn}；然后，對(duì)該轉(zhuǎn)債價(jià)格的波動(dòng)序列進(jìn)行排序；最后，在給定置信水平a的的情況下，第(1-a)n個(gè)波動(dòng)值即為VaR的估計(jì)值，而前(1-a)n個(gè)波動(dòng)值的期望水平即為ES的估計(jì)值。

3 算法設(shè)計(jì)

設(shè)當(dāng)前時(shí)刻為t=0，考慮可轉(zhuǎn)換債券下一交易日的風(fēng)險(xiǎn)，使用FMQMC方法，對(duì)可轉(zhuǎn)債標(biāo)的股價(jià)路徑進(jìn)行模擬，進(jìn)而求出可轉(zhuǎn)債在下一交易日的VaR和ES估計(jì)值，算法步驟如下：

步驟1 首先使用隨機(jī)化的Faure序列產(chǎn)生[0，1)均勻分布的隨機(jī)數(shù)，再通過Moro算法產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)ε。

步驟2 重復(fù)執(zhí)行K次步驟1，得到隨機(jī)數(shù)序列εK，其中εK=(ε1,ε2,…,εK)。

步驟3 從當(dāng)前可轉(zhuǎn)債標(biāo)的股票價(jià)格S0出發(fā)，利用步驟2中產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)及公式(6)，模擬出K條股票價(jià)格的路徑，用Si表示第i條路徑在下一交易日的股票價(jià)格，則可以得到下一交易日的K個(gè)價(jià)格{S1,S2,…,SK}，通過公式(7)可以得到下一交易日的 K 個(gè)價(jià)格波動(dòng)值{△S1,△S2,…,△SK}。

步驟4 根據(jù)步驟3生成的價(jià)格波動(dòng)序列及公式(8)，模擬出期權(quán)價(jià)格的波動(dòng)序列{△C1,△C2,…,△CK}，也即得到可轉(zhuǎn)債在下一交易日的價(jià)格波動(dòng)序列{△CB1,△CB2,…,△CBK}，從而得到該轉(zhuǎn)債價(jià)格波動(dòng)的分布，在給定置信水平α的情況下計(jì)算出VaR和ES值。

4 實(shí)證應(yīng)用和結(jié)果分析

4.1 數(shù)據(jù)選擇

本文選取了2002年10月16日發(fā)行的五年期燕京可轉(zhuǎn)換債券為例，該次發(fā)行的可轉(zhuǎn)換債券初始轉(zhuǎn)股價(jià)格為X=10.59，面值為P=100，票面年利率為I=1.2%，得到其連續(xù)日利率為 I’=0.0033%.

燕京股票為該轉(zhuǎn)債的標(biāo)的股票，其于1997年上市，我們選取1997年7月16日至2006年3月6日的2071個(gè)交易日的該股票的收盤價(jià)作為歷史樣本。然后用FMQMC方法模擬可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)格未來可能發(fā)生的情況來估計(jì)2006年3月6日后一天的可轉(zhuǎn)換債券的風(fēng)險(xiǎn)值VaR和ES。2006年3月6日燕京股票收盤價(jià)格為S0=7.520元。

4.2 收益率、波動(dòng)率以及到期期限

根據(jù)所選燕京可轉(zhuǎn)債的參數(shù)，選取無風(fēng)險(xiǎn)年利率為ry=2.65%，得到無風(fēng)險(xiǎn)日利率為r=0.0073%.

圖1 使用FMQMC擬合的股票價(jià)格路徑

圖2 使用PMC擬合的股票價(jià)格路徑

圖3 使用FMQMC擬合的期權(quán)價(jià)格波動(dòng)路徑

圖4 使用PMC擬合的期權(quán)價(jià)格波動(dòng)路徑

可轉(zhuǎn)債標(biāo)的股價(jià)模擬模型中波動(dòng)率是根據(jù)股票的波動(dòng)率而來的，我們的模型中采用了歷史波動(dòng)率。選取2006年3月6日前的2071個(gè)交易日燕京股票的收盤價(jià)作為數(shù)據(jù)樣本來計(jì)算其日收益率標(biāo)準(zhǔn)差，得到其日波動(dòng)率σ=0.023062，以245個(gè)交易日為一年的年收益標(biāo)準(zhǔn)差為 σy=σ 姨2 45=36%。燕京可轉(zhuǎn)債的到期日為2006年4月19日，則可算得到期期限T-t=0.0734年。

表3 基于PMC方法和FMQMC方法的VaR和ES對(duì)比

表4 方差對(duì)比

表5 兩種方法的時(shí)效分析

4.3 結(jié)果分析

運(yùn)用第二節(jié)介紹的FMQMC方法，按照第三節(jié)提出的算法來計(jì)算燕京可轉(zhuǎn)債的VaR和ES，并將其與運(yùn)用PMC方法的結(jié)果進(jìn)行比較分析。

首先，使用Matlab編程，分別使用FMQMC方法和PMC方法擬合m=1000條股票路徑進(jìn)行實(shí)證分析。

已經(jīng)假定在較短的時(shí)間內(nèi)可轉(zhuǎn)債價(jià)格的波動(dòng)可以由其期權(quán)價(jià)值的波動(dòng)近似，我們將上述兩種方法模擬得到的未來1000個(gè)△V，分別按照從小到大的順序排列，則在選定置信度為95%下，未來一個(gè)交易日的損失風(fēng)險(xiǎn)如表3所示。

2006年3月7日燕京股票的收盤價(jià)為7.330元，則實(shí)際△S=-0.190，那么實(shí)際損失為△V=-0.0650。我們看到實(shí)際損失均包含在兩種方法計(jì)算得到的ES和VaR估計(jì)值內(nèi)，表明PMC方法和FMQMC方法應(yīng)用于可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)度量中均是有效的。另外，基于FMQMC方法的VaR和ES估計(jì)值明顯比PMC方法更接近實(shí)際損失，這表明前者比后者更有效。

為了方便對(duì)比，分別使用FMQMC方法和PMC方法對(duì)燕京可轉(zhuǎn)債進(jìn)行500次價(jià)格波動(dòng)模擬，計(jì)算出選定置信水平為95%下，相應(yīng)的VaR和ES值，得到的結(jié)果如圖4至圖7所示。

圖4 使用FMQMC計(jì)算的VaR

圖5 使用PMC計(jì)算的VaR

圖6 使用FMQMC計(jì)算的ES

圖7 使用PMC計(jì)算的ES

從圖4至圖7，明顯的看出使用FMQMC方法計(jì)算得到的VaR和ES估計(jì)值的方差更小，且更接近于實(shí)際損失值。兩種方法計(jì)算出來的VaR和ES的方差如表4所示。

由表4可知，基于FMQMC方法的VaR和ES估計(jì)值的方差均小于傳統(tǒng)的PMC方法，該結(jié)果顯示，由于使用了低差異的Faure序列，使得擬蒙特卡羅方法的結(jié)果相對(duì)普通的蒙特卡羅方法方差明顯降低了，減少的方差約為77%?？梢?，F(xiàn)MQMC方法不僅能夠得到比PMC方法更好的估計(jì)效果，而且得到的VaR和ES估計(jì)值更加貼近實(shí)際損失。

同時(shí)，對(duì)這兩種風(fēng)險(xiǎn)度量方法的計(jì)算時(shí)間和效率也進(jìn)行了一個(gè)比較，如表5所示。

計(jì)算次數(shù)為5萬次，由表5可得，由于使用了低差異隨即序列代替了偽隨機(jī)序列，使得FMQMC方法在計(jì)算速度上要大大地快于PMC方法(本處速度比接近2.27比1)。本次計(jì)算使用的計(jì)算機(jī)平臺(tái)的主要參數(shù)為Intel公司生產(chǎn)的主頻率為2600 M的 DualCore處理器，內(nèi)存為2G。

綜合比較兩種算法的計(jì)算效率，考慮算法效率的計(jì)算公式：效率=1/(計(jì)算誤差×計(jì)算時(shí)間)，這里我們用標(biāo)準(zhǔn)差表示計(jì)算誤差，那么在5萬次模擬中，F(xiàn)MQMC的計(jì)算效率是PMC的5.25倍。

5 結(jié)論

本文使用FMQMC方法，對(duì)可轉(zhuǎn)債的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)度量算法進(jìn)行研究。由于使用了Faure序列和方差減小技術(shù)，從而降低了本模型估計(jì)結(jié)果的方差，同時(shí)也提高了算法的計(jì)算精度；另外，對(duì)Faure序列的隨機(jī)化處理避免了Faure序列周期性的問題；再者，基于Faure序列的隨機(jī)數(shù)生成器運(yùn)行效率遠(yuǎn)高于偽隨機(jī)數(shù)生成器，使得FMQMC方法比PMC方法更節(jié)省時(shí)間；其次，Moro逆變換算法的引入，使得可轉(zhuǎn)債中風(fēng)險(xiǎn)值VaR和ES度量更加合理；進(jìn)一步，根據(jù)模型的假設(shè)以及中國可轉(zhuǎn)債價(jià)值構(gòu)成的特點(diǎn)，選用了燕京可轉(zhuǎn)債進(jìn)行了實(shí)證分析，并將FMQMC方法與PMC方法進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)該方法在計(jì)算VaR和ES時(shí)不僅方差更小，計(jì)算效率更高，而且其估計(jì)值也更加接近實(shí)際損失。

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F830.9

A

1002－6487（2011）04－0124-04

教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金項(xiàng)目(07JA630048)；教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃(NCET-06-0749)

許文坤(1986-)，男，廣東惠州人，碩士研究生，研究方向：金融工程與決策理論。

陳云霞(1986-)，女，廣東吳川人，碩士研究生，研究方向：金融工程與決策理論。

杜 倩(1985-)，男，黑龍江雙鴨山人，碩士研究生，研究方向：金融工程與決策理論。

張衛(wèi)國(1963-)，男，陜西安康人，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：金融工程與決策理論。

（責(zé)任編輯/易永生）