劉曼莉，李興緒

（云南財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，昆明650221）

非壽險精算中的數(shù)據(jù)尾部擬合與保費(fèi)厘定

劉曼莉，李興緒

（云南財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，昆明650221）

文章討論了極值分布對非壽險精算中損失數(shù)據(jù)尾部的擬合和保費(fèi)厘定方法，并進(jìn)行了實(shí)例計(jì)算。研究表明：必須對應(yīng)用極值分布的條件進(jìn)行檢驗(yàn)；對門限值確定的三種方法中自適應(yīng)選擇算法是較好方法；廣義帕累托分布參數(shù)MLE估計(jì)能得到比較精確的估計(jì)結(jié)果。文章還給出了非壽險損失的超賠再保險純保費(fèi)的計(jì)算方法。

廣義帕累托分布；尾部擬合；保費(fèi)厘定；非壽險

0 引言

非壽險是指除人身保險以外的保險業(yè)務(wù)，主要包括財(cái)產(chǎn)保險、責(zé)任保險、信用保險、保證保險等，在我國通常把非壽險稱為財(cái)產(chǎn)保險，也就是采用了所謂的廣義的財(cái)產(chǎn)保險的概念。非壽險產(chǎn)品的設(shè)計(jì)以非壽險精算為基礎(chǔ)。非壽險精算主要是以非壽險中的不確定性為研究對象，通過建立隨機(jī)模型對險種損失進(jìn)行刻畫，研究未來的理賠規(guī)律，在此基礎(chǔ)上建立費(fèi)率厘定和準(zhǔn)備金提取等方面的理論基礎(chǔ)；通過對險種的賠付數(shù)據(jù)進(jìn)行收集和分析，確定未來的費(fèi)率結(jié)構(gòu)，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)利用合理方法確定準(zhǔn)備金提取的額度及安排合理的再保險方式等。精算在險種的開發(fā)設(shè)計(jì)、費(fèi)率厘定到準(zhǔn)備金的提取以及再保險等方面都起到了核心作用。

非壽險精算工作的基礎(chǔ)是損失數(shù)據(jù)分布擬合，在對非壽險損失數(shù)據(jù)分布擬合中，經(jīng)常會遇到一些損失數(shù)額巨大的觀測值，一般的方法只能對數(shù)據(jù)分布的中心部分得到一個精確的數(shù)據(jù)生成過程，而不能很好擬合數(shù)據(jù)的尾部，即那些損失數(shù)額巨大的觀測并沒有得到精確的數(shù)據(jù)生成過程。面對這樣的問題，將那些損失數(shù)額巨大的觀測值視為異常點(diǎn)而不予考慮，固然可以得到一個相對漂亮的模型，但對非壽險企業(yè)的全面、客觀的風(fēng)險控制和精算過程來說卻是極為不科學(xué)的。王新軍[1]（2001）對非壽險中的損失分布擬合方法進(jìn)行了討論，但沒有考慮數(shù)據(jù)尾部的擬合方法；Alexander J.McNeil[2]（1997）利用極值理論討論了非壽險數(shù)據(jù)的尾部擬合問題，但沒有對極值理論的應(yīng)用條件進(jìn)行檢驗(yàn)；Alexander J.McNeil[3](1998)還進(jìn)一步研究了利用極值理論和超越門限值的方法(Peak Over Threshold，簡稱POT)對非壽險數(shù)據(jù)尾部擬合的有效性。已有的研究成果，強(qiáng)調(diào)利用極值理論來擬合非壽險數(shù)據(jù)尾部，而忽視了對其應(yīng)用條件的檢驗(yàn)和最優(yōu)門限值的選取研究。本文擬結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)，重點(diǎn)討論非壽險數(shù)據(jù)尾部擬合中極值理論應(yīng)用條件檢驗(yàn)和最優(yōu)門限值的選取問題，給出險位超賠再保險的純保費(fèi)計(jì)算方法，以期能對非壽險損失的精算問題有所借鑒。

1 研究方法及過程

在非壽險損失分布的擬合過程，首先要做的工作是判斷損失數(shù)據(jù)是否存在一個厚尾，如果損失數(shù)據(jù)不具有厚尾，一般的正態(tài)分布或者對數(shù)正態(tài)分布就能夠?qū)p失數(shù)據(jù)的尾部進(jìn)行精確的描述；其次，一旦確定損失數(shù)據(jù)的尾部的確存在厚尾，方法之一是應(yīng)用極值理論中的廣義帕累托分布來擬合損失數(shù)據(jù)；但并不是所有存在厚尾的數(shù)據(jù)都可以應(yīng)用廣義帕累托分布來擬合，必須進(jìn)行應(yīng)用條件的最大吸引域條件檢驗(yàn)；再次，在確定可以使用廣義帕累托分布來擬合存在厚尾的數(shù)據(jù)之后，一個重要的問題就是對損失數(shù)據(jù)進(jìn)行分割，即找到一個科學(xué)的、適當(dāng)?shù)拈T限值。只有找到了一個恰當(dāng)?shù)拈T限值，對廣義帕累托分布的參數(shù)估計(jì)才能得到一個合理的結(jié)果。

1.1 厚尾的檢測

對損失數(shù)據(jù)是否存在厚尾的檢測方法主要有：指數(shù)QQ圖和平均超出函數(shù)。

（1）指數(shù)QQ圖。對損失數(shù)據(jù)與標(biāo)準(zhǔn)的指數(shù)分布作QQ圖是判斷損失數(shù)據(jù)是否存在厚尾的重要方法之一，它可以直觀的檢驗(yàn)損失數(shù)據(jù)是否來自于指數(shù)分布的原假設(shè)。QQ圖可以寫為下面的形式：

其中，Xk,n表示順序統(tǒng)計(jì)量，G0,1-1表示指數(shù)分布 （或者廣義帕累托分布）。

如果損失數(shù)據(jù)來自于一個指數(shù)分布，那么QQ圖將近似于一條直線。一般地，一個凹面的偏離直線的QQ圖被認(rèn)為是損失數(shù)據(jù)存在厚尾的分布特性；一個凸面的偏離直線的QQ圖被認(rèn)為是損失數(shù)據(jù)存在短尾的分布特性。

（2）平均超出函數(shù)。平均超出函數(shù)是對損失數(shù)據(jù)厚尾進(jìn)行檢測的方法之一。定義為：

其中，F(xiàn)u(x)=F[u](x+u)=,x≥0

當(dāng)平均超出函數(shù)表現(xiàn)為一條直線時，認(rèn)為損失數(shù)據(jù)存在厚尾。但平均超出函數(shù)總體上是未知的，在實(shí)際應(yīng)用中用樣本平均超出函數(shù)來近似。樣本平均超出函數(shù)為：

{(u,en(u)),Xn,n

其中，en(u)=，Xn,n為順序統(tǒng)計(jì)量。

1.2 最大吸引域檢驗(yàn)

在對樣本極值進(jìn)行研究中被證明十分重要的分布是極值分布族。這個極值分布族可以表示為：

其中 γ，-∞<μ<∞，∞>0，這個模型有三個參數(shù)：位置參數(shù)μ，刻度參數(shù)σ，形狀參數(shù)γ。形狀參數(shù)γ稱為廣義極值分布（GEV）的極值指數(shù),也稱為尾指數(shù)；作為廣義極值分布的三個特例，當(dāng) γ>0時為 Fréchet分布；當(dāng) γ<0時為 Weibull分布；當(dāng)γ=0時為Gumbel分布。在廣義極值分布中，我們的任務(wù)就變?yōu)橥ㄟ^數(shù)據(jù)推斷極值指數(shù)，而不需要預(yù)先確定極值分布的形式。

Fisher-Tippett定理 假設(shè)有來自分布F的相互獨(dú)立的隨機(jī)觀測X1,X2…Xn…,將前n個觀測值的最大值表示為Mn=max(X1…Xn)，那么如果存在適當(dāng)?shù)某?shù)列an>0和bn，使得正態(tài)化的極大值序列(Mn-bn)/an，收斂到下面的非退化分布G(x)，即有成立。如果這個條件成立，則稱分布F屬于極值分布G(x)的最大吸引域，表示為F∈MDA(G)。Fisher-Tippett[6](1928)年證明：

F∈MDA(G)圯G對于某個形狀參數(shù)γ成立

使得條件(1)成立的分布F有很多，但是并不是所有的分布都能滿足條件(1),例如poisson分布和幾何分布就不屬于極值分布的最大吸引域。

在上面的定義下，極值最大吸引域檢驗(yàn)的原假設(shè)可以表述為：

H0:F∈D(Gγ)for somereal γ

Dietrich et al[7](2002)年提出了一個檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，記為En，這個統(tǒng)計(jì)量定義為：

對于某個η>0，統(tǒng)計(jì)量En收斂到下面的分布

其中 γ+=max(γ,0),γ-=min(γ,0),W 是一個布朗運(yùn)動，隨機(jī)變量 P 和 P 是與布朗運(yùn)動有關(guān)的積分。和分別是對 γ+和γ-的估計(jì)量，在這里估計(jì)方法被指定為矩估計(jì)。因此，隨機(jī)變量Eγ只與γ和η的取值有關(guān)。為了完成檢驗(yàn)，首先必須選擇一個適當(dāng)?shù)摩侵担@個問題Dietrich et al(2002)只討論了η=2 的情況，Jürg Hüsler和 Deyuan Li[8](2006)對最優(yōu) η 的選擇問題進(jìn)行了詳細(xì)討論。在確定了η的值之后，必須利用矩估計(jì)計(jì)算和，然后計(jì)算(2)中的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。接下來要計(jì)算分布 E贊對應(yīng)的分位數(shù) Q贊,如果贊<0，必須利用 線 性插值來 計(jì)

γ1-α,γ算分位數(shù) Q1-α,γ贊。

其中，γ贊=γ贊++γ贊-。 最后，將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值與臨界值比較，α 為置信水平，如果En>Q1-α,γ贊，那么在犯第一類錯誤為 α 的水平下，拒絕原假設(shè)。

1.3 門限值的選取

門限值的選取在廣義帕累托模型建立中具有十分重要的地位，如果門限值選取的過大，那么模型將建立在極少的觀測點(diǎn)上，結(jié)果通常是偏差比較小，卻存在這很大的方差；如果門限值選取的過小，那么模型將建立在比較多的觀測點(diǎn)之上，隨之而來的一個問題是雖然估計(jì)有比較小的方差，但偏差卻可能很大。因此，對門限值的選取一直是一個難點(diǎn)和熱點(diǎn)。

常用的門限值選取方法就是樣本平均超出函數(shù)。當(dāng)樣本平均函數(shù)尾部在超過某一個點(diǎn)后呈現(xiàn)為一個正斜率的直線時，通常認(rèn)為損失數(shù)據(jù)存在尾部，并且將這個拐點(diǎn)作為門限值。

對門限值選取的另一種方法就是觀測Hill指數(shù)圖。Hill指數(shù)圖就是不同的門限值與相對應(yīng)的Hill估計(jì)繪制的圖形，通過觀測Hill指數(shù)圖中門限值從大到小時，所對應(yīng)的Hill估計(jì)的第一個平穩(wěn)區(qū)域來選擇門限值。Bruce.M.Hill[9]（1975）年在γ>0的條件下構(gòu)造的形狀參數(shù)的非參數(shù)化估計(jì)方法，Hill估計(jì)的形式為：

Hill估計(jì)γ贊nH既可以基于最大似然估計(jì)得到（Hill(1975)），也可以通過平均超出函數(shù)得到（P.Embrechts[10]等人（1997））。本文應(yīng)用超越門限值數(shù)據(jù)個數(shù)的自適應(yīng)選擇算法來選擇門限值。令γk,n表示基于k個超越門限值的數(shù)據(jù)個數(shù)的形狀參數(shù)估計(jì)值，用med(γ1,n,…γk,n)表示這組形狀參數(shù)估計(jì)的中位數(shù)，通過最小化下式就可以選擇出一個k*：

1.4 廣義帕累托分布的參數(shù)估計(jì)

在極值理論中對超越一定門限值的數(shù)據(jù)進(jìn)行描述的一個分布是廣義帕累托分布，它可以表示為下式：

廣義帕累托分布也可以表示為三個子分布：在γ=0時為指數(shù)（Exponential）分布，當(dāng) γ>0 時為帕累托（Pareto）分布，當(dāng)γ<0 時為貝塔（Beta）分布。

Balkema-de Haan-Pickands定理 定義分布F的右端點(diǎn)為ω(F):=sup(x:F(x)<1)，那么超越一個門限值之后的截?cái)喑介T限值u分布函數(shù)可以定義為：

對于0≤x<ω(F)-u成立。Balkema和de Haan[11](1974),Pickands[12](1975)證明了在滿足極值理論最大吸引域條件下，當(dāng)門限值趨于分布的右端點(diǎn)時，廣義帕累托分布是這些超越門限值數(shù)據(jù)的極限分布。即有：

|Fu(x)-Wγ,u,σu(x)|→0,u→ω(F)當(dāng)且僅當(dāng)F∈MDA(G)時成立。

在X1…Xn獨(dú)立且服從廣義帕累托分布的條件下，廣義帕累托分布的極大似然估計(jì)方法必須在一個迭代算法下才能得到結(jié)果，有關(guān)帕累托分布的極大似然估計(jì)方法請參考Prescott,P.and Walden,A.T[13](1980)。 此外，Smith[14](1985)詳細(xì)研究了這個問題并得到了如下結(jié)論：

當(dāng)γ>-0.5時，最大似然估計(jì)是正則的，在這個意義下具有通常的漸近性質(zhì)。在廣義帕累托分布中，(γ,σ)的極大似然估計(jì)具有漸近正態(tài)性，其具有方差協(xié)方差矩陣為∑/k。其中：

如果 γ>1/2，γ贊k的漸近方差為(1+γ)2/k。 當(dāng)-1<γ<-0.5 時，最大似然估計(jì)一般可以得到，但不具有標(biāo)準(zhǔn)的漸近性質(zhì)；當(dāng)γ<-1時，最大似然估計(jì)一般不可能得到；幸運(yùn)的是，在實(shí)際建模中，γ<-0.5很難碰到，特別是在保險中，均有γ>0。所以最大似然估計(jì)在理論上的局限性并不妨礙其在保險精算實(shí)務(wù)中的應(yīng)用。

1.5 尾部擬合

如果可以用一個廣義帕累托分布來擬合超越門限值u之后的截?cái)喑介T限值的條件分布函數(shù)，Resis和Thomas[15](1996)證明也可以用廣義帕累托分布來描述損失數(shù)據(jù)分布的尾部，即有：

F(x)=P(X≤x)=(1-P{X≤u})Fu(x-u)+P{X≤u}（x≥u）

在門限值趨于右端點(diǎn)的條件下，可以用一個廣義帕累托分布Wγ,u,σu(x)來估計(jì)Fu(x-u)。此外可以用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)來估計(jì)P{X≤u}。那么在x≥u條件下，就可以得到損失數(shù)據(jù)分布函數(shù)的尾部估計(jì)為：

很顯然，F(xiàn)(x)也是一個廣義帕累托分布，并且與超越門限值之后的截?cái)喑介T限值分布函數(shù)有相同的形狀參數(shù)，只不過位置參數(shù)和刻度參數(shù)進(jìn)行了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。

表1 描述統(tǒng)計(jì)表

1.6 保費(fèi)厘定

假設(shè)所研究的保單是同質(zhì)的，并且其理賠次數(shù)分布服從泊松分布，而理賠額分布在超越門限值后服從廣義帕累托分布。那么，可以計(jì)算險位超賠再保險(Excess of loss)的純保費(fèi)。所謂險位超賠再保險就是如果發(fā)生的保險賠款在保險公司的自負(fù)金額之內(nèi)，則由保險公司自己負(fù)責(zé)賠償；若發(fā)生的保險賠款超過了保險公司的自負(fù)額，則由再保險公司賠付。

令F=Wγ,u,σ是一個廣義帕累托分布，E(X)是廣義帕累托分布的均值。那么復(fù)合泊松分布的均值，即純保費(fèi)就是：

從式（5）就可以看出，要計(jì)算純保費(fèi)，我們必須得到參數(shù)λ,γ,σ的估計(jì)值。注意到索賠次數(shù)的均值λ=E(N),可以由下面公式估計(jì)：

如果用γN(T)和σN(T)表示廣義帕累托分布的形狀參數(shù)和刻度參數(shù)，那么廣義帕累托分布WγN(T),u,σN(T)的均值可以表示為：

注意到此時的廣義帕累托分布就是理賠額分布，那么表達(dá)式（7）實(shí)際上給出了相應(yīng)的再保險公司平均理賠額。因此，在復(fù)合泊松假設(shè)下，再保險公司的純保費(fèi)可以由下面公式給出：

2 實(shí)例計(jì)算

2.1 數(shù)據(jù)來源及描述

數(shù)據(jù)來源于云南省職工醫(yī)療互助中心2006年共9193個損失數(shù)據(jù)（不包括損失少于1000元的數(shù)據(jù)），首先對數(shù)據(jù)的基本統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行分析。

平均來說，損失額的均值為9.85千元 。通過對1/4分位數(shù)、1/2分位數(shù)和3/4分位數(shù)的比較不難看出，1/2分位數(shù)與3/4分位數(shù)之間的變動比1/4分位數(shù)與1/2分位數(shù)之間的變動要大；數(shù)據(jù)最大值為781.70千元，顯然這是十分巨大的損失數(shù)據(jù)，是平均損失的數(shù)十倍；此外，從偏度系數(shù)和峰度系數(shù)可以看出，數(shù)據(jù)是右偏且尖峰的。所有的這些特征說明，數(shù)據(jù)是一個尖峰的、右偏的、具有典型的非壽險損失分布形狀的分布。

2.2 對數(shù)據(jù)厚尾的檢測

對損失數(shù)據(jù)作指數(shù)QQ圖（見圖1）?？梢钥闯觯瑩p失數(shù)據(jù)與指數(shù)分布之間存在這一個凹面的偏離，這說明數(shù)據(jù)存在這厚尾特征。

下面給出平均超出函數(shù)圖與損失數(shù)據(jù)的樣本平均超出函數(shù)圖（見圖2）。

從平均超出函數(shù)圖與樣本平均超出函數(shù)圖可以看出尾部損失數(shù)據(jù)應(yīng)該可以用一個廣義帕累托分布來擬合。

通過上面的指數(shù)QQ圖和樣本平均超出函數(shù)圖可以初步判斷，損失分布具有一個厚尾特征并可以用廣義帕累托分布來擬合。

2.3 最大吸引域檢驗(yàn)

利用Dietrich et al(2002)年提出了一個檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，記為En，來檢驗(yàn)是否滿足極值分布的最大吸引域問題。在計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的時，令k為升序順序統(tǒng)計(jì)后部觀測的個數(shù)。在這里令最小的k＝20，因?yàn)槿绻岛苄。瑢⒌玫椒讲詈艽蟮男螤顓?shù)估計(jì)值，最大的k＝1000，它大約占總觀測個數(shù)的10.88%。因?yàn)槿绻^大，將不能滿足極值定理成立的條件。并讓以等差為5的序列遞增，并計(jì)算相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

從圖3可以看出，當(dāng)k的取值比較小的時候，沒有充分的理由拒絕分布屬于極值分布的最大吸引域的原假設(shè)，即認(rèn)為 F∈MDA(Gγ)成立，為了能夠準(zhǔn)確的確定使 F∈MDA(Gγ)成立的K值，可參見圖4對應(yīng)的數(shù)據(jù)表，其中給出了升序順序統(tǒng)計(jì)量后部數(shù)據(jù)的個數(shù)k，正態(tài)化參數(shù)，an，bn檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量等值。從表中可以看出滿足極值分布最大吸引域的k值為345。因此，En統(tǒng)計(jì)量也為選取符合極值分布最大吸引域條件的最大k值選取提供了重要信息。

由上面的檢驗(yàn)結(jié)果可以看出，選擇的k值小于等于345的時候，可以認(rèn)為損失分布的潛在分布屬于極值分布的最大吸引域，即 F∈MDA(Gγ)成立。

圖1 指數(shù)QQ圖

圖2 平均超出函數(shù)圖（左）與樣本平均超出函數(shù)圖（右）

圖 3 En檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量圖

2.4 門限值的確定

一個常用的直觀的門限值選擇方法就是樣本平均超出函數(shù)，圖2已經(jīng)給出了全部損失數(shù)據(jù)的樣本平均超出函數(shù)圖。下面對樣本升序順序統(tǒng)計(jì)量的后1000個數(shù)據(jù)作平均超出函數(shù)圖（見圖4），以期能對數(shù)據(jù)尾部有一個更加準(zhǔn)確的把握，之所以選擇K＝1000，是因?yàn)樗s占總樣本的10.88%。一般認(rèn)為，K選取應(yīng)該滿足使它占總樣本的比例在10%左右。

從圖5可以看出，總的來說損失數(shù)據(jù)的尾部平均超出函數(shù)圖比較復(fù)雜，從右向左看，從最右端點(diǎn)到圖形中“▽”所表示的點(diǎn)的位置之間似乎有一個相同的斜率；而從“▽”到“◇”之間的點(diǎn)似乎有一個更大的斜率；通過計(jì)算找出對應(yīng)的門限值依次為41.6和38.6；相應(yīng)的升序順序統(tǒng)計(jì)后部數(shù)據(jù)點(diǎn)個數(shù)依次為158和186，并不能確定到底選取哪個門限值比較合適。

圖4 k＝1000時的樣本平均超出函數(shù)圖

圖5 Hill指數(shù)圖

對門限值選取的另一中方法就是通過觀測Hill圖。對＝1000時的數(shù)據(jù)作Hill圖，（見圖5）所示，從圖中可以看出，“□”內(nèi)所標(biāo)識的部分是Hill估計(jì)的第一個比較平穩(wěn)的部分，此外圖中還給出了Hill估計(jì)的95%的置信區(qū)間，我們選擇估計(jì)值比較平穩(wěn)而且標(biāo)準(zhǔn)差比較小的點(diǎn)作為門限值。通過Hill估計(jì)表可以得到這個穩(wěn)定區(qū)域?qū)?yīng)的門限值為（37.01，40.28），相應(yīng)的 k 值為（206，165）。 此外，值得注意的是，在這個門限值區(qū)間內(nèi)對應(yīng)的尾指數(shù)α的估計(jì)值取值在（2.42，2.37）之間。

綜合樣本平均超出函數(shù)圖和尾指數(shù)的Hill估計(jì)圖，可以對門限值的選取有一個初步的判斷，可以初步判定門限值應(yīng)該位于（37.01，41.58）之間。本文利用自適應(yīng)選擇算法，且形狀參數(shù)估計(jì)γk,n使用最大似然估計(jì)，對門限值的選取結(jié)果為41.12（k=162），在樣本平均超出函數(shù)圖和尾指數(shù)的Hill估計(jì)圖判定的門限值區(qū)間內(nèi)。

2.5尾部擬合——廣義帕累托模型的估計(jì)

通過前文研究，可以認(rèn)為職工醫(yī)療互助損失數(shù)據(jù)具有厚尾特征，通過最大吸引域檢驗(yàn)認(rèn)為可以用極值理論的分布來擬合尾部數(shù)據(jù)，利用樣本平均超出函數(shù)圖、尾指數(shù)的Hill估計(jì)圖和自適應(yīng)選擇算法確定了數(shù)據(jù)尾部的門限值。下面利用極大似然估計(jì)法來估計(jì)數(shù)據(jù)尾部的廣義帕累托模型參數(shù)（見表 2）。

表2 廣義帕累托模型的極大似然估計(jì)結(jié)果

可以通過截?cái)喾植紨M合、尾分布擬合、殘差分布以及殘差擬合等來進(jìn)行進(jìn)一步的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿M合情況。

其他估計(jì)方法的估計(jì)效果比較見圖7。極大似然估計(jì)(MLE)最接近樣本平均超出函數(shù)，Dress-Pickands估計(jì)和Moment估計(jì)分別位于樣本平均超出函數(shù)的上部和下部，Hill估計(jì)顯然低估了尾部的厚尾程度。總的來說，用極大似然估計(jì)得到了比較精確的估計(jì)結(jié)果。此外，從圖7可以看出樣本平均超出函數(shù)雖然有一些波動，但是總的趨勢是向上的，這保證了廣義帕累托分布擬合的有效性。

圖 6 截?cái)喾植紨M合圖（1）、尾部分布擬合圖（2）、殘差分布圖（3）、殘差擬合檢驗(yàn)圖（4）

圖7 不同估計(jì)方法下的廣義帕累托分布所對應(yīng)的平均超出函數(shù)

2.6 純保費(fèi)的計(jì)算

在職工醫(yī)療互助損失數(shù)據(jù)尾部廣義帕累托分布擬合的基礎(chǔ)上，計(jì)算尾部損失數(shù)據(jù)的純保費(fèi)，首先給出平均理賠次數(shù)的估計(jì)（0.0678），然后利用公式（7）和（8）估計(jì)純保費(fèi)，估計(jì)結(jié)果為：再保險公司的平均理賠額為74.59千元，再保險純保費(fèi)為5.06千元。

3 結(jié)論

論文對非壽險精算中損失數(shù)據(jù)尾部的擬合方法和保費(fèi)厘定進(jìn)行了研究，貢獻(xiàn)在于：第一，系統(tǒng)地介紹了非壽險精算中損失數(shù)據(jù)尾部的擬合和保費(fèi)厘定方法，并給出了實(shí)例計(jì)算；第二，認(rèn)為在用極值理論的分布族中的分布來擬合尾部數(shù)據(jù)時，必須對應(yīng)用極值理論的條件進(jìn)行檢驗(yàn)，論文系統(tǒng)介紹了最大吸引域的條件檢驗(yàn)方法；第三，對門限值得三種方法 （樣本平均超出函數(shù)圖、Hill指數(shù)圖和自適應(yīng)選擇算法）進(jìn)行了比較，認(rèn)為自適應(yīng)選擇算法選取方法是最優(yōu)的選取方法，利用這一方法給出的最優(yōu)門限值將能充分保證廣義帕累托分布中形狀參數(shù)估計(jì)的穩(wěn)定性；第四，結(jié)合實(shí)例對數(shù)據(jù)尾部的廣義帕累托分布參數(shù)估計(jì)方法（Dress-Pickands估計(jì)、Moment估計(jì)、Hill估計(jì)和MLE估計(jì)）進(jìn)行了比較，認(rèn)為MLE估計(jì)得到了比較精確的估計(jì)結(jié)果；第五，充分利用廣義帕累托分布的性質(zhì)和優(yōu)點(diǎn)給出了非壽險巨額損失的超賠再保險的純保費(fèi)計(jì)算方法。本文的研究對于實(shí)際工作者來說具有一定的參考價值，但論文沒有對非壽險損失分布的厚尾在不能利用極值分布時的擬合問題開展討論，這是一個有待進(jìn)一步研究的問題，也是筆者將進(jìn)一步研究的方向。

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（責(zé)任編輯/亦 民）

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1002－6487（2011）04－0014-05