賈光才

（伊犁師范學(xué)院 奎屯校區(qū)，新疆 奎屯 833200）

非局部邊界條件的Jaulent-Miodek算子的跡公式

賈光才

（伊犁師范學(xué)院 奎屯校區(qū)，新疆 奎屯 833200）

利用Jaulent-Miodek方程初值解的漸進(jìn)估計(jì)，構(gòu)造一個(gè)整函數(shù)ω（λ），借助積分恒等式，采用留數(shù)的方法，對(duì)Jaulent-Miodek算子的特征值做出了估計(jì)，得到了問(wèn)題的漸進(jìn)跡公式.

Jaulent-Miodek算子；特征值；跡公式

微分算子的特征值的跡恒等式在特征值的計(jì)算及反問(wèn)題，以及孤子理論與可積系統(tǒng)理論中[1]都有著很重要的作用，本文主要解決帶有非局部邊界條件的Jaulent-Miodek算子的跡公式，及下述問(wèn)題的跡公式

其中 p(x),q(x),μ(x)均為[0,π]上的實(shí)值連續(xù)函數(shù).

1 問(wèn)題（1）決定特征值的整函數(shù)

我們先來(lái)考慮問(wèn)題（2）

其中 p(x),q(x),μ(x)均為[0,π]上的實(shí)值連續(xù)函數(shù).引理 由[2]知:(2)的解 φ(x,λ)對(duì) λ 的漸進(jìn)式為

證明 由于問(wèn)題(2)的解φ(x,λ)滿(mǎn)足(1)的第一個(gè)邊界條件，將φ(x,λ)帶入到(1)的第二個(gè)邊界條件可得：

所以 φ(x,λ)是(1)的解，λ 是(1)的特征值.由此可知 ω(λ)的零點(diǎn)集合與(1)的特征值集合重合.

由引理知:

2 問(wèn)題(1)的跡

顯然λ0依賴(lài)于m0，因而要根據(jù)m0的不同取值來(lái)討論問(wèn)題(1)的跡公式.

(2)當(dāng)m0為偶數(shù)時(shí)

cos(λπ-m0π)=[cosλπcos(m0π)+sinλπsin(m0π)]=cosλπ

sin(λπ-m0π)=[sinλπcos(m0π)+cosλπsin(m0π)]=sinλπ.

〔1〕曹策問(wèn).微分算子的跡.數(shù)學(xué)進(jìn)展，1989,18(2)：170-178.

〔2〕Cao Cewen,Zhuang Dawei:Some Trace Formulas For The Schrodinger Equation With Energy-Dependent Potential,數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),1985（2）：131-140.

〔3〕鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論.北京：高等教育出版社，1988.

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A

1673-260X（2011）02-0009-02