辛海明

（中山大學(xué) 新華學(xué)院，廣東 廣州 510520）

AR-GARCH模型在股票市場的應(yīng)用

辛海明

（中山大學(xué) 新華學(xué)院，廣東 廣州 510520）

本文介紹了AR-GARCH模型，以及當(dāng)前國內(nèi)外的研究情況，并利用此模型對從2003年1月7日到2010年11月19日的上證指數(shù)進(jìn)行實證分析.結(jié)果表明，在股票價格序列中普遍存在的尖峰厚尾現(xiàn)象在上證指數(shù)中同樣存在，還有明顯的異方差性，并且AR-GARCH模型可以很好的擬合股指收益率波動情況.

AR-GARCH模型；廣義自回歸條件異方差；收益率

隨著市場經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展和受國外投資策略的影響，越來越多的人都意識到了投資理財?shù)闹匾?，希望通過合理的投資使自己獲得高于銀行利率的收益，因此收益與風(fēng)險歷來都是投資者和學(xué)者們關(guān)注的熱點問題.對未來收益大小的度量與預(yù)測則是每個投資者在投資決策前必須考慮的基本問題.一般地說，股票市場價格呈現(xiàn)顯著的波動性，這種波動性隨時間變化，股票投資充滿了風(fēng)險，因此對股票收益率進(jìn)行擬合是有意義的.1982年Engle在分析英國通貨膨脹序列時，發(fā)現(xiàn)經(jīng)典的ARIMA模型始終無法取得理想的擬合效果，最后經(jīng)過對殘差序列的研究，發(fā)現(xiàn)問題出在殘差序列具有異方差性.而股票收益率有明顯的異方差性，因此用GARCH模型擬合股票收益率是比較好的.

1 GARCH模型

1.1 ARCH模型

ARCH模型的全稱是自回歸條件異方差模型（autoregressive conditional heteroskedastic），它的完整結(jié)構(gòu)如下：

式(1)中，Var(εt)=ht，f(t,xt-1,xt-2,…)為{xt}的 Auto-Regressive模型模型的實質(zhì)是使用誤差平方序列的q階移動平均擬合當(dāng)期異方差函數(shù)值.由于移動平均模型具有自相關(guān)系數(shù)q階截尾性，所以ARCH模型實際上只適用于異方差函數(shù)短期自相關(guān)過程.

1.2 GARCH模型

在實踐中，有些殘差序列的異方差函數(shù)是具有長期自相關(guān)性的，這時如果使用ARCH模型擬合異方差函數(shù)，將會產(chǎn)生很高的移動平均階數(shù)，這會增加參數(shù)估計的難度并最終影響ARCH模型的精度.為了修正這個問題，，Bollerslov在1985年提出了廣義自回歸條件異方差（generalized autoregressive conditional heteroskedastic，GARCH）模型，它的結(jié)構(gòu)如下：

式(2)中，Var(εt)=ht,f(t,xt-1,xt-2,…)為{xt}的回歸函數(shù)(0,1).這個模型簡記為GAR(p,q).GARCH模型是至今為止最常用、最可行的異方差序列擬合模型.但它的有效使用必須滿足如下兩個約束條件.

1.3 AR-GARCH模型

對殘差序列{εt}擬合GARCH模型有一個基本要求：{εt}為零均值、純隨機(jī)異方差序列.有時回歸函數(shù)f(t,xt-1,xt-2,…)不能充分提取原序列{εt}中的相關(guān)信息，殘差序列可能具有自相關(guān)信息，殘差序列可能具有自相關(guān)性，而不是純隨機(jī)的.這時需要對{εt}先擬合自回歸模型，再考察自回歸殘差序列{vt}的方差性，如果{vt}異方差，對它擬合GARCH模型.這樣構(gòu)造的模型稱為AR(m)-GAR(p,q)模型：

式(3)中，Var(vt)=ht,f(t,xt-1,xt-2,…)為{xt}的回歸函數(shù)(0,1).

除了上述介紹的ARCH、GARCH、AR-GARCH模型外，還有其他形式的GARCH模型，如：EGARCH、IGARCH模型等.因為本文僅采用AR-GARCH模型，故不在此作介紹.

2 滬市AR-GARCH模型的實證分析

2.1 數(shù)據(jù)選取

本文所收集的數(shù)據(jù)為從2003年1月7日到2010年11月19日的上證指數(shù)的收盤價格，共計1907個.設(shè)日收益率為rt，clpr為收盤價格，則最近一日的收益率為rt=(log(clpr)-log(lag(clpr)))，其中l(wèi)ag(clpr)為前一日的收盤價格.

2.2 收益率序列的白噪聲和平穩(wěn)性檢驗

圖1 收益率的時間序列圖

圖2 收益率的白噪聲和平穩(wěn)性檢驗

對收益率序列進(jìn)行白噪聲和單位根檢驗可知（如圖2），收益率序列是平穩(wěn)非白噪聲序列.

2.3 收益率序列的正態(tài)性檢驗

從圖3收益率的描述性統(tǒng)計結(jié)果可以看出，上證指數(shù)的收益率具有以下一些統(tǒng)計特征：樣本數(shù)據(jù)偏度小于0，而峰度大于3，表明我國證券市場股票收益率存在尖峰厚尾性，所以不服從正態(tài)分布.

圖3 收益率的描述性統(tǒng)計結(jié)果

另外，從圖4的正態(tài)性檢驗也可以看出，各種正態(tài)檢驗的p值小于0.01，即顯著拒絕原假設(shè).

圖4 收益率的正態(tài)性檢驗結(jié)果

2.4 收益率序列異方差檢驗

圖5 收益率的異方差檢驗結(jié)果

從圖5中可以看出，直到高階收益率序列仍然存在著強(qiáng)烈的異方差性，因此用GARCH模型來擬合數(shù)據(jù)是合理的.

2.5 AR-GARCH模型模擬及擬合效果檢驗

經(jīng)過收益率序列異方差檢驗結(jié)果可知，用AR-GARCH模型擬合是合理的，經(jīng)過模擬，則在顯著性水平為0.05下，得到的模型為AR(2)-GARCH(1,1)：

由圖6可知，模型的各個參數(shù)除了收益率一階回歸常數(shù)顯著為零外，其余參數(shù)都顯著不為零，并且η1+λ1=0.9929<1，符合GARCH模型要求.Durbinh為0.226接近0.05.

圖6 AR-GARCH模型參數(shù)擬合結(jié)果及檢驗

3 結(jié)論

選擇謹(jǐn)慎科學(xué)的收益率度量模型，對我國目前處于發(fā)展初期不發(fā)達(dá)的股票市場來說尤其重要.本文中的AR(2)-GARCH(1,1)模型能較好地描述我國滬市收益率的“易變性聚類”現(xiàn)象，能對未來的收益率進(jìn)行很好地預(yù)測.從而可在大部分區(qū)間內(nèi)反映收益分部的“厚尾”特性將這一模型與風(fēng)險價值VAR方法相結(jié)合，還可以進(jìn)行較準(zhǔn)確的風(fēng)險度量.

〔1〕朱世武.基于SAS系統(tǒng)的金融計算[M].清華大學(xué)出版社,2005.

〔2〕王燕.應(yīng)用時間序列分析（第二版）[M].中國人民大學(xué)出版社,2009.

〔3〕李克娥，陳圣滔.基于GARCH模型的上證指數(shù)的Var分析[D].長江大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院學(xué)位論文,2008.

〔4〕吳霖.基于GARCH模型的股票市場價格波動分析[J].價值工程,2010(50).

F83

A

1673-260X（2011）02-0099-02