劉立陽，張金成，吳中林，倪 鵬

(空軍工程大學(xué)導(dǎo)彈學(xué)院，陜西三原 713800)

無線傳感器網(wǎng)絡(luò)(Wireless Sensor Network，WSN)就是由部署在監(jiān)測區(qū)域內(nèi)大量的廉價(jià)微型傳感器節(jié)點(diǎn)組成，通過無線通信方式形成的一個多跳的自組織的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)［1］。在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的眾多應(yīng)用領(lǐng)域中，目標(biāo)定位是其中的一個重要方面，它是利用網(wǎng)絡(luò)內(nèi)多個傳感器節(jié)點(diǎn)檢測到的目標(biāo)信息估計(jì)出某一時刻該目標(biāo)的位置。而基于接收信號強(qiáng)度指示(Received Signal Strength Indicator，RSSI)的聲源目標(biāo)的定位方法由于其不受視線影響、隱蔽性好、能耗小、易于實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)普遍存在于常見目標(biāo)和檢測環(huán)境中。

聲源目標(biāo)定位算法可分為兩類，一類以最大似然方法為基礎(chǔ)，得到以聲源位置和能量為參數(shù)的似然函數(shù)，然后通過搜索或者迭代的方式求出結(jié)果。另一類以最小二乘方法為基礎(chǔ)，將不同節(jié)點(diǎn)接收到的能量相比，消去聲源能量，然后用最小二乘的方法進(jìn)行計(jì)算。通過對聲源定位算法進(jìn)行分析不難發(fā)現(xiàn)，最大似然方法要比最小二乘方法的定位精度高很多，所以在對定位精度要求比較高的場合往往采用前一種方法。Zhao Feng等人［2－4］采用聲音幅值衰減模型，推導(dǎo)出似然函數(shù)的概率分布，借助序貫貝葉斯估計(jì)對目標(biāo)進(jìn)行定位;Sheng Xiaohong等人［5－6］基于聲音能量衰減模型，應(yīng)用極大似然法對目標(biāo)進(jìn)行定位。在最大似然方法中，似然函數(shù)的建立直接決定了定位精度的好壞，同時在對似然函數(shù)進(jìn)行求解時，算法的選取往往也對收斂速度的快慢產(chǎn)生重要的影響。為此，本文以傳感器節(jié)點(diǎn)在二維空間中自由分布為背景，以聲源能量衰減模型為基礎(chǔ)，用最大似然方法將聲源的定位問題轉(zhuǎn)化為似然函數(shù)的最優(yōu)化問題，運(yùn)用DFP(Davidon-Fletcher-Powell)算法解決搜索似然函數(shù)極值的問題，從仿真結(jié)果來看，這種算法相比于其它運(yùn)用似然函數(shù)的算法而言，定位精度有明顯提高，并且能夠有效地提高算法迭代的收斂速度，符合對定位精度要求較高的實(shí)際應(yīng)用的需要。

1 聲源能量的衰減模型

1.1 聲源能量衰減模型的推導(dǎo)

在推導(dǎo)聲音能量衰減模型之前需要做如下假設(shè):(1)聲音在均勻介質(zhì)中全向傳播;(2)不考慮傳感器網(wǎng)絡(luò)內(nèi)障礙物的影響，并將目標(biāo)源看作一個點(diǎn)聲源;(3)假設(shè)背景噪音是均值為0，方差已知的高斯白噪聲;(4)假設(shè)聲源衰減能量與背景噪聲能量互不相關(guān)。

由聲音的傳播規(guī)律可知，聲音信號的能量與它傳播距離的平方成反比［7－10］，聲源能量衰減模型正是利用這一特性，通過將每個聲音傳感器節(jié)點(diǎn)檢測到的聲音信號轉(zhuǎn)化為能量值，代入模型估計(jì)出聲源的位置。模型具體推導(dǎo)如下:

假設(shè)聲源目標(biāo)某時刻t進(jìn)入無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的監(jiān)測區(qū)域，此時有N個節(jié)點(diǎn)檢測到聲音信號，則傳感器節(jié)點(diǎn)i檢測到的能量可表示為:

其中，ei(t)表示t時刻傳感器節(jié)點(diǎn)i測得的聲音信號能量;si(t)表示t時刻聲源傳播到節(jié)點(diǎn)i衰減后的能量值;εi(t)表示t時刻節(jié)點(diǎn)i處的噪聲能量值。

si(t)又可以表示為:

其中，gi表示傳感器節(jié)點(diǎn)i處的噪聲影響系數(shù);S(t)表示t時刻的聲源能量;ri表示節(jié)點(diǎn)i的位置坐標(biāo);r(t)表示t時刻聲源目標(biāo)的位置坐標(biāo)。節(jié)點(diǎn)和目標(biāo)位置坐標(biāo)均為二維坐標(biāo)。

令di(t)=|r(t)－ri|，可以得到聲音能量衰減公式:

1.2 噪聲能量εi(t)均值和方差的推導(dǎo)

噪聲能量εi(t)概率密度的求取非常關(guān)鍵，它反映了測量節(jié)點(diǎn)受噪聲的影響程度，對于后續(xù)的目標(biāo)定位算法有著重要的意義。假設(shè)在時間窗(t－T/2，t+T/2)內(nèi)采樣點(diǎn)的個數(shù)為M，采樣頻率為fs，則可以得到窗長為T=M/fs，假設(shè)ai(t)為t時刻傳感器節(jié)點(diǎn)i處噪聲的幅值，服從高斯分布N(0，)，則

其中，εi(t)服從χ2分布，根據(jù)中心極限定理，當(dāng)M足夠大時，εi(t)近似服從正態(tài)分布，并可以得到:

εi(t)的均值

εi(t)的方差

2 基于DFP的聲源定位算法

2.1 最大似然函數(shù)的求取

本文通過最大似然方法對聲源目標(biāo)進(jìn)行定位，首先需要完成對最大似然函數(shù)的求取，基于聲源能量的最大似然函數(shù)即未知量的先驗(yàn)概率密度函數(shù)是根據(jù)節(jié)點(diǎn)處噪聲能量εi(t)的概率密度函數(shù)來獲得的。由于 εi(t)服從正態(tài)分布N(μi)，所以ei(t)的概率密度函數(shù)為:

由于每個傳感器節(jié)點(diǎn)處的噪聲能量互不相關(guān)，所以最大似然函數(shù)可以表示為:

上式中節(jié)點(diǎn)接收的能量、噪聲能量均值和方差都為測得的量，未知量為信號能量s和聲源目標(biāo)的位置坐標(biāo)r，使似然函數(shù)最大的未知量的值即為待估計(jì)量的估計(jì)值。

2.2 DFP 算法

同時可以得到迭代公式:

在本文的聲源目標(biāo)定位中，DFP算法的具體迭代步驟為:

(4)檢驗(yàn)是否滿足收斂準(zhǔn)則，若‖▽L(rk+1)‖≤η則停止迭代，得到點(diǎn)=rk+!;否則，進(jìn)行步(5);

(5)若k=3則令r1=rk+!，返回步(2);否則進(jìn)行步(6);

(6)令 gk+1=▽L(rk+1)，Δrk=rk+1－rk，Δgk=gk+1－gk。利用式(10)計(jì)算Hk+!置k=k+1，返回步(3)。

2.3 DFP算法運(yùn)用中的幾個問題

2.3.1 未知聲源能量的估計(jì)

目標(biāo)函數(shù)中有三個未知數(shù)x，y，s，由于進(jìn)入無線傳感器網(wǎng)絡(luò)探測區(qū)域的目標(biāo)的聲音能量是未知的，其范圍也是不定的，這給DFP算法的迭代帶來很多麻煩，似然函數(shù)的收斂性也變得十分復(fù)雜，所以需要對參數(shù)s進(jìn)行估計(jì)處理，用范圍已知的x，y來表示聲源目標(biāo)的能量s。由于傳感器節(jié)點(diǎn)處接收到的聲源能量ei在實(shí)際應(yīng)用中是可以測到的，所以可以用聲音能量衰減公式對聲源能量進(jìn)行估計(jì)，本文中對能源能量s的估計(jì)采用對每個傳感器節(jié)點(diǎn)估計(jì)值進(jìn)行加權(quán)平均的方法確定，即0.05;

(2)置H1=I3(單位矩陣)，計(jì)算出在r1處的梯度g1=▽L(r1)，置k=1;

(3)令 dk=－Hkgk，從 rk出發(fā)，沿方向dk搜索，求步長λk，使它滿足

這種表示不僅有利于對目標(biāo)函數(shù)的分析，更重要的是對求s關(guān)于x，y導(dǎo)數(shù)也十分方便，如果s關(guān)于x，y的表達(dá)式非常復(fù)雜的話，導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式就難以表示出來，使得在DFP算法中s就必須作為一個參數(shù)參加迭代并且需要給出初始值，這樣就很難避免目標(biāo)函數(shù)局部最小，而不能得到全局最優(yōu)值。

2.3.2 迭代中收斂過慢的處理方法

由DFP算法的正定性和二次終止性可知，DFP算法的搜索方向?yàn)橄陆捣较?，即每次迭代使函?shù)值有所下降，但在實(shí)際中由于計(jì)算節(jié)點(diǎn)數(shù)量有限以及噪聲的干擾，往往會出現(xiàn)收斂速度過慢的問題［11－13］，對于此種情況處理方法有兩種，一種是增加處理節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，另一種是設(shè)定一個迭代的閾值。本文中，參與計(jì)算的節(jié)點(diǎn)是能夠探測到聲源能量的所有節(jié)點(diǎn)，所以前一種方法不適用于本文的討論，所以采用后一種方法進(jìn)行算法的討論和仿真。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

本文中傳感器節(jié)點(diǎn)的分布、聲源目標(biāo)的設(shè)置、能量模型的建立、噪聲的加入、模擬數(shù)據(jù)源的建立以及算法的運(yùn)算等都在MATLAB軟件中仿真實(shí)現(xiàn)。

假設(shè)無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的探測區(qū)域?yàn)?0 m×50 m的方形區(qū)域，傳感器節(jié)點(diǎn)的數(shù)量為10個，在探測區(qū)域中隨機(jī)分布(在軟件中用randn函數(shù)實(shí)現(xiàn))，聲源坐標(biāo)設(shè)為探測區(qū)域的中心，背景噪聲分布為N(0，1)。

3.1 目標(biāo)函數(shù)L的仿真實(shí)現(xiàn)

仿真中，x∈(－25 m，25 m)，y∈(－25 m，25 m)，聲源實(shí)際位置為(0，0)，由于目標(biāo)函數(shù)在不同點(diǎn)的值差距很大，所以為了顯示方便，顯示了目標(biāo)函數(shù)以e為底的對數(shù)的值?？梢宰C明該函數(shù)的對數(shù)形式和函數(shù)的單調(diào)性是一致的，完全可以由函數(shù)對數(shù)的單調(diào)性來判斷函數(shù)的單調(diào)性。圖1、圖2為目標(biāo)函數(shù)示意圖。

圖1 目標(biāo)函數(shù)側(cè)視圖

圖2 目標(biāo)函數(shù)俯視圖

由似然函數(shù)的物理意義可知，圖中最大值所在的位置為傳感器節(jié)點(diǎn)的位置，它們的坐標(biāo)是已知的，函數(shù)只有一個全局最小值，它所在的位置即為待估的目標(biāo)聲源的位置。

3.2 DFP算法的仿真實(shí)現(xiàn)

本次仿真目標(biāo)聲源位置坐標(biāo)的初始迭代點(diǎn)設(shè)為x0=(1 1)，經(jīng)過計(jì)算得到目標(biāo)聲源的最終位置坐標(biāo)為x=(0.048 4 －0.056 5)，迭代次數(shù)為50次，耗時為0.161 841 s。其中傳感器節(jié)點(diǎn)與聲源目標(biāo)的分布如圖3所示，x，y在迭代中的變化如圖4所示。

圖3 傳感器節(jié)點(diǎn)與目標(biāo)分布圖

圖4 DFP方法在迭代過程中x，y收斂情況

由上圖可以看到，在迭代10次以后x，y就比較平穩(wěn)不再有大的起伏，向更高的精度逼近，而且收斂速度也比較快，只迭代了50次就搜索到了全局最優(yōu)解，而在相同條件下分布式EM算法［14］需要更多的迭代次數(shù)，精度也比DFP算法下降十倍左右，所以說DFP方法是非常優(yōu)秀的一種解決無線傳感器網(wǎng)絡(luò)聲源目標(biāo)定位的方法。

4 結(jié)論

本文基于聲音能量衰減模型和最優(yōu)化理論中的DFP算法研究了傳感器節(jié)點(diǎn)隨機(jī)分布條件下的無線傳感器網(wǎng)絡(luò)聲源目標(biāo)定位問題。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，文中提出的算法能夠滿足對目標(biāo)定位精度和速度要求較高的場合，具有一定的實(shí)際應(yīng)用意義。但此種算法是建立在集中式的處理方式之上的，這種處理方式會使整個網(wǎng)絡(luò)擔(dān)負(fù)較高的能耗，這一問題可以用分布式的思想加以解決，這也是下一步需要進(jìn)行深入研究的問題。

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