李 萍

(哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，哈爾濱150500)

由文獻(xiàn)[1]可知:設(shè)R為一個(gè)環(huán)，若對(duì)?x，y∈R，有依賴于x，y的整系數(shù)多項(xiàng)式p(t)使得[x-x2p(x)，y]=0，則R為交換環(huán).

由文獻(xiàn)[2]可知:設(shè)R為一個(gè)kothe半單純環(huán)，若對(duì)?a，b，c∈R，有依賴a，b，c于的整系數(shù)多項(xiàng)式f(x，y)，f(x，y)形如，其中f1(x，y)為一整系數(shù)多項(xiàng)式，其每一項(xiàng)關(guān)于x的次數(shù)2≥ ，關(guān)于y的次數(shù)≥K=K(a，b)， ，使得[f(a，b)，c]=0，則R為交換環(huán).

本文在這兩個(gè)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，證明了如下兩個(gè)定理:

定理1:設(shè)R為一個(gè)半質(zhì)環(huán)，若對(duì)?x1，x2，…，xn∈R，有依賴于x1，x2的整系數(shù)多項(xiàng)式p(t)使得)，則R為交換環(huán).

定理2:設(shè)R為一個(gè)kothe半單純環(huán)，若對(duì)?a，b，…，xn∈R，都有一正整數(shù)K=K(a，b)，一含有x2和n=n(a，b)(≥K)個(gè)y的字fx(x，y)及一整系數(shù)多項(xiàng)式 φx(x，y)使得

為了證明這兩個(gè)結(jié)論，我們先引進(jìn)導(dǎo)子的概念:設(shè)R為一個(gè)中心為Z(R)的環(huán)，d是R到R的一個(gè)映射.若對(duì)任意x，y∈R，有

d(x+y)=d(x)+d(y)，

且d(xy)=d(x)y+xd(y)成立，則稱d是R上的一個(gè)導(dǎo)子.

對(duì)?x，y∈R，[x，y]表示換位子xy-yx，對(duì)a∈R，Ia表示由a決定的內(nèi)導(dǎo)子，即

這里Ia(x+y)=[a，x+y]=[a，x]+[a，y]=Ia(x)+Ia(y)，

從而，內(nèi)導(dǎo)子Ia必為導(dǎo)子.

引理1:設(shè)R為質(zhì)環(huán)，若對(duì)?x，y∈R，有依賴于x，y的整系數(shù)多項(xiàng)式p(t)使得[x-x2p(x)，y]∈Z(R)，則R為交換環(huán).

證明:任意a，b∈R，有依賴于a，b的整系數(shù)多項(xiàng)式p(t)使得

則有

對(duì)c，ab有整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)使得

從而

若[b，c]=0，則由文獻(xiàn)[3]知R為交換環(huán).否則由[b，c]∈Z(R)知(a-a2g(a))∈Z(R)，從而R為交換環(huán).

引理2:滿足引理1條件的J半單環(huán)R為交換環(huán).

證明:由J半單環(huán)同構(gòu)于體上的階全陣環(huán)

令

結(jié)合工學(xué)結(jié)合的思想，我們從課堂教學(xué)理論與現(xiàn)實(shí)工作實(shí)際、現(xiàn)代教育技術(shù)的應(yīng)用、上課方式(教學(xué)模式、教學(xué)方法)的改變?nèi)齻€(gè)方面做了分析。

矛盾.故n=1，R可嵌入體.由引理1知R為交換環(huán).

引理3:設(shè)R為一個(gè)質(zhì)環(huán)，若對(duì)?x，y∈R，有[x，y]∈Z(R)，則R為交換環(huán).

證明:對(duì)任意x，y∈R，有[x，y]∈Z(R)，從而對(duì)xy，y有

由文獻(xiàn)[4]及[x，y]∈Z(R)知y∈Z(R)，故R為交換環(huán).

引理4:若對(duì)a∈R，有Ia∈Z(R)，則對(duì)?x，y∈R有[x，y]Ia(y)=0.

證明:由Ia∈Z(R)，對(duì)?x，y∈R有

故[x，y]Ia(y)=0.

引理5:設(shè)R為一個(gè)質(zhì)環(huán)，Z(R)≠0，若對(duì)a∈R及任意y∈R，有[a，y]∈Z(R)，則a2≠0.

證明:任意y∈R，有[a，y]∈Z(R)，即Ia∈Z(R).從而對(duì)?x，y∈R有

由Ia∈Z(R)及質(zhì)環(huán)的中心無(wú)零因子知[x，y]=0或Ia(y)=0.

若[x，y]=0，則R為交換環(huán)，a2≠0.

若Ia(y)=0，則a∈Z(R)，a2≠0.

引理6[5]:設(shè)R為一個(gè)質(zhì)環(huán)，I是R的非零理想，若I是交換環(huán)，則R也是交換環(huán).

引理7:滿足引理1條件的半質(zhì)環(huán)R為交換環(huán).

證明:半質(zhì)環(huán)同構(gòu)于質(zhì)環(huán)的亞直和，我們?cè)O(shè)R為質(zhì)環(huán)

對(duì)?x，y∈R有依賴于x，y的整系數(shù)多項(xiàng)式p(t)使得

由引理1知R為交換環(huán).

定理1的證明:n=1時(shí)，對(duì)?x∈R，有依賴于x的整系數(shù)多項(xiàng)式p(t)使得

由文獻(xiàn)[3]知R為交換環(huán).

n=2時(shí)，對(duì)?x1，x2∈R有依賴于x1，x2的整系數(shù)多項(xiàng)式p(t)使得

由引理6知R為交換環(huán).

設(shè)n=k時(shí)定理1成立，則n=k+1時(shí)

記為It，即It∈Z(R).

由It∈Z (R)及質(zhì)環(huán)的中心無(wú)零因子知[x，y]=0或It(y)=0.

若[x，y]=0，則R為交換環(huán).若It(y)=0，則由歸納假設(shè)知R為交換環(huán).

定理2的證明:n=1時(shí)，由文獻(xiàn)[6]知定理成立;

引理6知R為交換環(huán).

設(shè)n=k時(shí)定理1成立，則n=k+1時(shí)

記為It，即It∈Z(R).

由It∈Z(R)及質(zhì)環(huán)的中心無(wú)零因子知[x，y]=0或It(y)=0.

若[x，y]=0，則R為交換環(huán).若It(y)=0，則由歸納假設(shè)知R為交換環(huán).

推論:滿足下列任一條件的半質(zhì)環(huán)R為交換環(huán):

1)若對(duì)任意x，y∈R，有依賴于x，y的整系數(shù)多項(xiàng)[x-x2p(x)，y]∈Z(R);

至此，定理1和定理2得證，但這里的整系數(shù)多項(xiàng)式p(t)，fx(x，y)及 φx(x，y)是不依x3，…，xn而變化的，否則It就會(huì)發(fā)生變化.我們?cè)噲D證明:當(dāng)整系數(shù)多項(xiàng)式p(t)，fx(x，y)及 φx(x，y)依x1，x2，…，xn而變化時(shí)結(jié)果又將怎樣，例如，對(duì)?a，b，c∈R，有依a，b，c于的整系數(shù)多項(xiàng)式p(x)，使得[[a-a2p(a)，b]，c]∈Z(R)的環(huán)的交換性.

[1]HERSTEIN IN.Two remarks on the commutativity of rings[J].Canad.J.Math，1955，7:411-412.

[2]陳光海.環(huán)的交換性定理[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2006，36(4):246-249.

[3]HERSTEIN IN.The Structure of A Certain Class of Rings[J].Amer.J.Math，1953，75:864-877.

[4]JACOBSON N.Structure of Rings[J].Amer.Math.Soc.Colloq.Publ，1964，37:217.

[5]戴躍進(jìn).半素環(huán)的一個(gè)交換性定理[J].福建師范大學(xué)學(xué)報(bào)，1995，11(2):21-25.

[6]戴躍進(jìn).某些環(huán)的交換性條件[J].數(shù)學(xué)雜志，1994，14(3):246-249.

[7]傅昶林，楊新松.任意環(huán)的兩個(gè)交換性定理[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2002，45(4):635-638.

[8]李 萍，杜君花.半質(zhì)環(huán)的兩個(gè)交換性定理[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，25(1):114-116.