趙教練

(渭南師范學院數(shù)學與信息科學系，陜西渭南714000)

一個包含特殊函數(shù)的方程的解

趙教練

(渭南師范學院數(shù)學與信息科學系，陜西渭南714000)

對任意正整數(shù)n，Smarandache LCM函數(shù)是滿足的最小的正整數(shù)，其中 [1，2，…，k]代表1，2，…，k的最小公倍數(shù);偽Smarandache函數(shù)Z(n)定義為最小的正整數(shù)m，使得．文章用分類討論和初等方法完全解決方程SL(n)=Z(n)的可解性，給出其所有解．

偽Smarandache函數(shù);Smarandache LCM函數(shù);可解性

對于任意的正整數(shù) n，著名的偽 Smarandache函數(shù) Z(n)［1］定義為最小的正整數(shù) m，使得．其中N表示所有正整數(shù)的集合．根據(jù)Z(n)的定義，我們很容易知道n比較小時的一些值，例如z(1)=1，z(2)=3，z(3)=2，z(4)=7，z(5)=4，z(6)=3，z(7)=6，z(8)=15，z(9)=8，z(10)=4，z(11)=10，z(12)=8，z(13)=12，…

偽Smarandache函數(shù)Z(n)是由Gorski David在文獻［2］中提出的，同時他還給出了這個函數(shù)的一些基本性質(zhì):

性質(zhì)1 對任意大于等于3的素數(shù)p，Z(p)=p－1．

性質(zhì)2 對任意的正整數(shù)k，Z(2k)=2k+1－1．

性質(zhì)3 對任意的正整數(shù)k及大于3的素數(shù)p，Z(pk)=pk－1．

性質(zhì)4 若正整數(shù)n為大于1的奇數(shù)，Z(n)≤n－1．

除了這些基本性質(zhì)外，許多學者還從其他方面對Z(n)進行了研究，并且得到了一些很有價值的結(jié)論．例如，在文獻［3］中利用初等方法研究了方程Z(n)=S(n)和Z(n)+1=S(n)的可解性，并給出了這兩個方程所有的正整數(shù)解，即:

(1)Z(n)=S(n)成立當且僅當n=p·m，其中p為奇素數(shù)

(2)Z(n)+1=S(n)成立當且僅當n=p·m，其中p為奇素數(shù)

結(jié)合Z(n)的基本性質(zhì)，研究它們之間的聯(lián)系，即探討方程

的可解性，利用初等方法獲得了該方程所有的正整數(shù)解，即以下定理

定理1 設(shè)n為任意正整數(shù)，方程SL(n)=Z(n)有:

i)n=1為方程(1)的解;

ii)設(shè)p為素數(shù)，k為任意正整數(shù)，則n=pk不是方程(1)的解;

下面對定理1進行證明:

i)n=1時，SL(1)=1，Z(1)=1，故n=1為方程(1)的解;

下面考慮n≥2的情況.

ii)當p=2時，即n=2k，SL(n)=2k，Z(n)=2k+1－1，顯然n=2k不是方程(1)的解.當p＞2時，n=pk，SL(n)=pk，Z(n)=pk－1，故n=pk，p＞2，不是方程(1)的解.

因此我們知道，若p為素數(shù)，n=pk不是方程(1)的解.

下面考慮Z(n).

當k≥2時，n為合數(shù)，則Z(n)≥Z(p?)=p?－1.

若SL(n)=Z(n)，則Z(n)=p?，因此

［1］Smarandache F.Only Problems，Not Solution［M］.Chicago:Xiquan Publishing House，1993.

［2］Murthy A.Some Notions On Least Common Multiples［J］.Smarandache Notions Journal，2001，(12):307－309.

［3］Le Maohua.An Equation concerning the Smarandache LCM Function［J］.Smarandache Notions Journal，2004，(14):186－18.

［4］潘承洞，潘承彪.初等數(shù)論(第二版)［M］.北京:北京大學出版社，2003.

［5］Apostol Tom M.Introduction to Analytic Number Theory［M］.New York，Spring－Verlag，1976.

［責任編輯 舒尚奇］

Abstract:For any positive integer n，the Smarandache LCM function is defined as the smallest positive integer k such thatn［1，2…，k］，where［1，2，…，k］denotes themost commonmultiple of.This paper uses the elementarymethods and classification discussion to study the solvability ofSL(n)=Z(n).

Key words:the Smarandache LCM function;Smarandache function;solvability

The Solution of Equation Involving Special Function

ZHAO Jiao-lian
(Department of Mathematics and Information Science，Weinan Teachers University，Weinan 714000，China)

O156．4

A

1009—5128(2011)02—0024—02

2010—09—01

陜西省教育廳專項科研計劃項目(09JK426);渭南師范學院科研計劃項目(10YKZ065)

趙教練(1979—)，男，陜西興平人，渭南師范學院數(shù)學與信息科學系講師，理學碩士．研究方向:特殊函數(shù)及數(shù)學不等式．