田社平，陳洪亮，張 峰

(上海交通大學(xué)電子信息學(xué)院，上海200240)

互易電路是一類較為特殊的電路，它是電路課程教學(xué)中較為重要的教學(xué)內(nèi)容之一。互易二端口電路是互易電路的典型形式，其性質(zhì)可由互易定理加以描述。二端口電路的互連亦是電路課程教學(xué)的重要內(nèi)容。如果將互易二端口電路互連，互連后得到的二端口電路是否仍然滿足互易性?如果要滿足互易性則需設(shè)定什么條件?互易二端口電路的互連有何應(yīng)用?這些都是筆者在教學(xué)過程中碰到的問題。

1 互易二端口電路的判定規(guī)則

二端口電路的參數(shù)矩陣元素間的關(guān)系可以用來判定一個(gè)二端口電路是否為互易二端口電路。如果已知二端口電路的開路電阻矩陣R，或電路電導(dǎo)矩陣G，或混合參數(shù)矩陣H和，或傳輸參數(shù)矩陣A和，則當(dāng)二端口參數(shù)矩陣元素滿足如下關(guān)系時(shí)，該二端口電路為互易二端口電路［1]:

2 互易二端口電路互連的互易性

常見的二端口互連形式包括串聯(lián)、并聯(lián)、串-并聯(lián)、并-聯(lián)和級(jí)聯(lián)等。如果互連的二端口電路是互易的，則在各種互連形式下得到的總二端口電路的互易性具有下述結(jié)論:對(duì)互易二端口電路N1和N2，如果互連(串聯(lián)、并聯(lián)串－并聯(lián)、并－串聯(lián)和級(jí)聯(lián))后N1和N2仍然滿足端口定義，則互連得到的總二端口電路也是互易的。以下分別予以證明。

(1)串聯(lián)和并聯(lián)

假設(shè)N1和N2的r參數(shù)矩陣分別為

串聯(lián)后總二端口電路r參數(shù)矩陣為R。由于串聯(lián)后N1和N2仍然滿足端口定義，因此有［2]

因N1和N2是互易的，由式(1)可得r21=r12，r'21=r'12，因此有

即R為對(duì)稱矩陣，因此串聯(lián)后總二端口電路是互易的。

同理，可證互易二端口電路N1和N2并聯(lián)后總二端口電路也是互易的。

(2)串－并聯(lián)和并－串聯(lián)

假設(shè)N1和N2的h參數(shù)矩陣分別為

串－并聯(lián)后總二端口電路h參數(shù)矩陣為H。由于串－并聯(lián)后的N1和N2仍然滿足端口定義，因此有［2]

因N1和N2是互易的，由式(1)可得，h21=-h12，h'21=-h'12，因此有

即H為對(duì)稱矩陣，因此，串－并聯(lián)后總二端口電路是互易的。

同理，可證互易二端口電路N1和N2并－串聯(lián)后總二端口電路也是互易的。

(3)級(jí)聯(lián)電路。

假設(shè)N1和N2的a參數(shù)矩陣分別為

級(jí)聯(lián)后總二端口電路a參數(shù)矩陣為A。由于級(jí)聯(lián)后N1和N2總是滿足端口定義，因此有［2]

從而得到

因N1和N2是互易的，由式(1)可得a11a22－a12a21=1，a'11a'22－a'12a'21=1，由該兩式及式(7)可得由式(1)可知，級(jí)聯(lián)后總二端口電路是互易的。由上述證明過程可知，對(duì)多個(gè)互易二端口電路的互連，上述結(jié)論仍然成立。

［例1]試判斷圖1所示電路是否為互易二端口電路。

圖1 級(jí)聯(lián)二端口電路

解:將圖1電路看作兩個(gè)二端口電路(從虛線處斷開)的級(jí)聯(lián)，由于虛線右邊電路僅由電阻構(gòu)成，因此該二端口電路為互易電路。虛線左邊二端口電路的r參數(shù)矩陣滿足互易條件，因此圖1電路為互易的。

我們也可通過求出圖1電路的參數(shù)矩陣進(jìn)行判斷，但過程會(huì)復(fù)雜一些。

3 互易二端口電路互連的有效性判斷

二端口電路在串聯(lián)、并聯(lián)和串－并聯(lián)和并－串聯(lián)時(shí)存在有效連接(二端口電路互連后仍滿足端口定義)的問題［3]。如果要求互易二端口互連后總二端口電路仍然是互易的，則須保證互連是有效連接。如果互連不是有效連接，則可采用變壓器隔離法來實(shí)現(xiàn)有效連接，圖2給出了并聯(lián)二端口電路的變壓器隔離方法。

值得指出的是，變壓器可連接在二端口電路N1和N2的輸入、輸出端口的任一端口。對(duì)串聯(lián)和串－并聯(lián)和并－串聯(lián)二端口電路的變壓器隔離方法，可給出類似結(jié)果。

圖2 并聯(lián)二端口電路的變壓器隔離

4 對(duì)稱二端口電路的互連

如果互易二端口電路的兩個(gè)端口可以交換而端口的電壓和電流的數(shù)值不變，則稱該二端口電路是對(duì)稱的。對(duì)稱二端口電路的參數(shù)矩陣的元素除滿足式(1)之外，還滿足如下關(guān)系:

采取類似的推導(dǎo)方法，我們可以得到如下結(jié)論:對(duì)兩個(gè)對(duì)稱二端口電路N1和N2，如果互連(串聯(lián)、并聯(lián)和串－并聯(lián)、并－串聯(lián)、級(jí)聯(lián))后N1和N2仍然滿足端口定義，則互連得到的總二端口電路也是對(duì)稱的。

5 結(jié)語

本文針對(duì)互易二端口電路互連的互易性進(jìn)行了討論，并給出了一般性結(jié)論。盡管電路的互易性不具有普遍性，互易電路的性質(zhì)(互易定理)的應(yīng)用面也較窄，但筆者認(rèn)為，通過對(duì)電路包括二端口電路互連的互易性進(jìn)行深入討論，有助于加深學(xué)生對(duì)互易電路及二端口電路互連等概念的理解。本文的討論拓寬了電路教材中關(guān)于互易電路及二端口電路互連的教學(xué)內(nèi)容，有助于電路課程的教學(xué)，可供從事電路教學(xué)的教師參考。

［1] 李瀚蓀.簡(jiǎn)明電路分析基礎(chǔ)［M] .北京:高等教育出版社.2002

［2] 陳洪亮，張峰，田社平.電路基礎(chǔ)［M] .北京:高等教育出版社.2007

［3] 田社平，張峰，陳洪亮.雙口網(wǎng)絡(luò)有效互連的判據(jù)和實(shí)現(xiàn)［J] .南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2005(5)