龔仲華

(常州機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇常州 213164)

光柵是數(shù)控機床等機電一體化設(shè)備常用的位置檢測裝置，其工作原理早為人們所熟知。一次偶然的機會，筆者發(fā)現(xiàn)某高校教材中所給出的莫爾條紋節(jié)距計算式存在錯誤，因而專門瀏覽了其他教材及相關(guān)參考書，不料這樣的錯誤竟然十分普遍，乃至于未見正確的計算式。為此，本文將對光柵莫爾條紋的正確計算式進行分析與證明，以供讀者參考。

1 問題的提出

眾所周知，絕大多數(shù)光柵都是通過如圖1b所示的夾角為θ的標(biāo)尺光柵與指示光柵所產(chǎn)生的莫爾條紋來放大柵距W(光柵的條紋間距)、提高測量分辨率的，因此，分析光柵工作原理需要確定莫爾條紋節(jié)距B與光柵柵距W、夾角θ的關(guān)系問題。歸納目前教材與參考書中所提供的莫爾條紋節(jié)距B計算式，主要有以下3種:

式(1)［1－2］與式(2)［3－4］為標(biāo)尺光柵與指示光柵在柵距同為W時的計算式;部分書籍還提供了指示光柵柵距為a、標(biāo)尺光柵柵距為b時的計算式［5－6］:

以上3個計算式都是錯誤或片面的。

從圖1b可見，式(1)誤將傾斜條紋被相鄰兩垂直條紋所截線段(圖1b中的粗線段)的長度直接當(dāng)成了莫爾條紋的節(jié)距B，這顯然不正確。

式(2)已注意到這一問題，它在計算式(1)的基礎(chǔ)上通過三角函數(shù)變換，由B=(W/sinθ)·cos(θ/2)=W/［2sin(θ/2)］得到結(jié)論。如僅從圖1b上看，這一結(jié)論似乎是正確的。但是，如進一步分析當(dāng)兩光柵夾角θ=180°時的情況，此時由于兩光柵相互平行，實際上不可能得到上下移動的莫爾條紋，但按計算式(2)得出的結(jié)果為B=W/2，這就意味著光柵能生成節(jié)距為W/2的莫爾條紋，此結(jié)論顯然與實際情況不符。

由下面的分析可知，式(3)所提供的莫爾條紋節(jié)距計算式是不正確的。

2 分析要點

以上計算式錯誤的原因在于，他們沒有根據(jù)莫爾條紋產(chǎn)生的一般規(guī)律來分析問題，所得到的結(jié)論或只適用于特定情況或存在錯誤，因此，不能正確解釋莫爾條紋的普遍現(xiàn)象。

計算莫爾條紋節(jié)距B必須先計算莫爾條紋的水平夾角α(圖2)，即確定條紋的運動方向，這是分析問題的關(guān)鍵。因為，α一旦為90°，條紋就不再有垂直方向的上下運動，節(jié)距也就失去了意義。

莫爾條紋的節(jié)距B、夾角α不但與兩光柵的夾角θ有關(guān)，而且還與光柵的柵距有關(guān)。柵距不同的光柵同樣可以生成莫爾條紋，這一點在分析時同樣必須清楚。莫爾條紋夾角α的分析方法如下:

假設(shè)傾斜條紋的寬度為b、垂直條紋的寬度為a，從圖2可以得到垂直條紋被相鄰兩傾斜條紋所截部分的長度h1為

傾斜條紋被相鄰兩條垂直條紋所截部分在垂直方向的投影長度h2為

h1與h2之間的關(guān)系是決定莫爾條紋水平夾角α、節(jié)距B的關(guān)鍵，必須由此入手，通過對不同情況的分析，才能得到正確結(jié)論。

3 正確的計算式

莫爾條紋的節(jié)距B、夾角α與h1、h2有關(guān)，在不同情況下的計算式可以推導(dǎo)如下。

3.1 h1≥h2

當(dāng)h1≥h2時，莫爾條紋的情況如圖2所示，因此有:

即莫爾條紋的節(jié)距B與垂直條紋寬度b直接相關(guān)。

由式(5)可見，若光柵夾角 θ=0°或180°，則夾角α為90°，故無垂直方向移動的莫爾條紋;或簡單地從式(6)上理解為B=∞，這也可解釋無莫爾條紋的實際情況。

對于a=b的特殊情況，可得到:

由此可見，式(2)僅是在特殊情況下所得到的特殊結(jié)論，而不能用來解釋普遍現(xiàn)象。

3.2 h1＜h2

h1＜h2時的情況較為復(fù)雜，分析如下。

① 如h1＜h2≤2h1，其情況如圖3所示，計算方法如下:

即:莫爾條紋的節(jié)距B與傾斜條紋寬度b直接相關(guān)。式(8)與式(9)同樣可以解釋θ=0°或180°兩種特殊情況。

對于a=2b的特殊情況，則存在以下結(jié)論:

與a=b的情況相比，這時所產(chǎn)生的莫爾條紋其水平夾角α不變，但節(jié)距B是a=b時的1/2(圖4)。

②對于柵距相差更大的光柵，同理可推出其計算式。如2h1＜h2≤3h1，則:

同樣對于a=3b的特殊情況，這時所產(chǎn)生的莫爾條紋水平夾角仍然為θ/2，但節(jié)距B是a=b時的1/3。依次類推，可得出3h1＜h2≤4h1等情況下的結(jié)論。以上結(jié)論可以直接通過實驗證明，也可以簡單地用CAD制圖進行模擬驗證。

4 結(jié)語

光柵莫爾條紋的分析與計算只需要簡單地利用三角函數(shù)便可進行，特別是在CAD技術(shù)普及的今天，還可用CAD直接進行驗證，因此，在教材、設(shè)計手冊等較為嚴(yán)肅的參考書籍中，還是有必要進行深入、仔細的分析，以防止出現(xiàn)基本概念上的錯誤而誤導(dǎo)讀者。

［1］何玉安.數(shù)控技術(shù)及其應(yīng)用［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2004.

［2］上海市電氣自動化研究所.機床數(shù)字控制與計算機應(yīng)用［M］.北京:機械工業(yè)出版社，1982.

［3］王永章.數(shù)控技術(shù)［M］.北京:高等教育出版社，2001.

［4］張燏.機電一體化概論［M］.北京:人民郵電出版社，2009.

［5］趙先仲.機電系統(tǒng)設(shè)計［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2004.

［6］李謀.位置檢測與測量技術(shù)［M］.北京:機械工業(yè)出版社，1991.