一類Nehari函數(shù)族的擬共形延拓與系數(shù)偏差

謝志春,黃心中
(華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建泉州362021)

研究一類Nehari函數(shù)族的擬共形延拓,給出擬共形延拓的復(fù)伸張估計(jì).對(duì)該類函數(shù)在單位圓內(nèi)級(jí)數(shù)展開的系數(shù)給出一些精確估計(jì),改進(jìn)并推廣了楊宗信等人的相應(yīng)結(jié)果.

Nehari函數(shù)族;Schwarz導(dǎo)數(shù);擬共形延拓;系數(shù)估計(jì)

1 預(yù)備知識(shí)

1949年,Nehari[1]證明了,若f在D內(nèi)解析,滿足|Sf(z)|≤2/(1-|z|2)2,則f在D內(nèi)單葉.Ahlfors等[2]證明了,若f為D內(nèi)局部單葉的亞純函數(shù),滿足

則f在D內(nèi)單葉且可以擬共形延拓到整個(gè)復(fù)平面上.其延拓后的復(fù)特征為

1979年,Nehari[3]證明了,若f在D內(nèi)解析,滿足

的解析函數(shù)的全體.

文獻(xiàn)[4-9]對(duì)函數(shù)類進(jìn)行深入的研究,稱滿足式(2)的函數(shù)族為Nehari族.Nehari函數(shù)類與區(qū)域常數(shù)、區(qū)域的幾何特征有密切的聯(lián)系[10].可見,對(duì)該問(wèn)題的研究是一個(gè)重要的課題.

基于Ahlfors等[2]的研究,文獻(xiàn)[11-12]對(duì)f∈N k的擬共形延拓作了進(jìn)一步研究,文獻(xiàn)[11]得到

其中:M=M(α,k)是常數(shù).

2 主要結(jié)果及其證明

設(shè)f(z)為單位圓上局部單葉的解析函數(shù)滿足式(3),根據(jù)文獻(xiàn)[5]的方法,令

則在|z|>1上hα(z)的伸縮商為

為此,如定理A所述,希望找出適當(dāng)?shù)腗(α,k),使得上述的延拓是整個(gè)復(fù)平面上的擬共形映照,且使得∞為最小.對(duì)于|z|>1,經(jīng)計(jì)算可得

由文獻(xiàn)[11]的結(jié)果,可得hM(z)的伸縮商為

為了找到復(fù)伸張較好的延拓,對(duì)hM(z)的復(fù)特征進(jìn)行估計(jì).

(1)當(dāng)M>1時(shí),有

當(dāng)α=1時(shí),可以得到如下推論.

推論1 若f為單位圓盤D上的亞純函數(shù),且滿足式(1),則有

令N0表示N中滿足就范條件f(0)=0,f′(0)=1,f″(0)=0的子類.對(duì)f(z)=z+a3z3+…∈N0的系數(shù)進(jìn)行研究,可以得到

證明 由文獻(xiàn)[11]中的定理2.1可得

所以,對(duì)于|ζ|=1,0≤r<1有

由f′(0)=1,可得

因此有

將上式代入f(z),可得

經(jīng)整理,兩邊同時(shí)平方可得

當(dāng)z→0時(shí),有

整理后可得

當(dāng)α=2時(shí),文獻(xiàn)[12]對(duì)以上的結(jié)論作過(guò)相應(yīng)的研究,文中的定理2及推論2推廣了文獻(xiàn)[12]的結(jié)果.

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(責(zé)任編輯:陳志賢英文審校:張金順,黃心中)

On the Quasiconformal Extensionsand Coefficien ts Distortion for a Nehari Class

X IE Zhi-chun,HUANG Xin-zhong
(School of Mathematical Sciences,Huaqiao University,Quanzhou 362021,China)

The quasiconfo rmal extensions for one class of Nehari functions are considered,and their dilatations are estimated.Some sharp coefficient estimates are obtained for these Nehari functions with normal condition.Our results imp rove the one made by Yang and Chen.

Nehari class;Schwarzian derivative;quasiconfo rmal extension;coefficient estimate

O 174.55

A

1000-5013(2011)03-0343-05

2009-09-19

黃心中(1957-),男,教授,主要從事函數(shù)論的研究.E-mail:huangxz@hqu.edu.cn.

福建省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2008J0195)