林峰

(華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建泉州 362021)

Beurling-Ahlfors擴(kuò)張伸張函數(shù)在非光滑攝動(dòng)下的穩(wěn)定性

林峰

(華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建泉州 362021)

給出一種非光滑攝動(dòng)的定義,討論M-擬對(duì)稱函數(shù)h(x)發(fā)生非光滑攝動(dòng)時(shí),伸張函數(shù)D(z)的穩(wěn)定性問題.證明在邊界值發(fā)生這種攝動(dòng)時(shí),邊界值的M-擬對(duì)稱性保持不變,其Beurling-Ahlfo rs擴(kuò)張的伸張函數(shù)也具有穩(wěn)定性,同時(shí)得到該伸張函數(shù)的誤差估計(jì)式.

Beurling-Ahlfors擴(kuò)張;伸張函數(shù);非光滑攝動(dòng);穩(wěn)定性

設(shè)h(x)是實(shí)軸上的連續(xù)遞增函數(shù),h(∞)=∞,如果滿足所謂的M-條件,即

則稱h(x)是M-擬對(duì)稱函數(shù).復(fù)函數(shù)φ(z)=u(x,y)+iv(x,y),有

稱φ(z)為h(x)的Beurling-Ahlfo rs擴(kuò)張,函數(shù)h(x)稱為φ(z)的邊界函數(shù)或邊界值,記

則D(z)稱為 φ(z)的伸張函數(shù)[1-2].

在假設(shè)M-擬對(duì)稱函數(shù)h(x)滿足某種條件下,文獻(xiàn)[2]討論了Beurling-Ahlfors擴(kuò)張及其伸張函數(shù)的某些性質(zhì).對(duì)于任意x∈R,存在εx>0,當(dāng)0

式(1)中:K+和K-是與x無關(guān)的常數(shù).在假設(shè)M-擬對(duì)稱函數(shù)h(x)滿足上述條件下,文獻(xiàn)[3]討論了當(dāng)邊界值h(x)發(fā)生光滑攝動(dòng)時(shí),伸張函數(shù)D(z)的穩(wěn)定性問題.本文討論h(x)發(fā)生非光滑攝動(dòng)時(shí),伸張函數(shù)D (z)的穩(wěn)定性問題.以下均假設(shè)M-擬對(duì)稱函數(shù)h(x)滿足上述條件(1),并記K=min(K+,K-).

1 問題的提出

以Ω(R)表示R上滿足Lipschitz條件的有界連續(xù)函數(shù)類.對(duì)任意ω∈Ω(R),存在只與ω有關(guān)的非負(fù)數(shù)δ,使得對(duì)于任意x,y∈R,有

顯然,Ω(R)是線性空間.在其上定義范數(shù)為

其中:

設(shè)ρ0>0,記B(ρ0)={ω∈Ω(R)|‖ω‖1<ρ0}.對(duì)于ω∈B(ρ0),稱hω(x)=h(x)+ω(x)為h(x)的非光滑攝動(dòng).以Ψ(z)表示hω(x)的Beurling-Ahlfors擴(kuò)張,Dω(z)表示Ψ(z)的伸張函數(shù),如果

在上半平面一致成立,則稱伸張函數(shù)D(z)關(guān)于邊界值的非光滑攝動(dòng)是穩(wěn)定的[4-5].

2 預(yù)備知識(shí)

引理1[3]對(duì)于任意x∈R及任意t>0,有

引理2 設(shè)ω∈Ω(R),則對(duì)于任意a,b∈R,有

證明 對(duì)任意η>0,由定義可得

由η的任意性,可得

證畢.

3 主要結(jié)果

證明 對(duì)于任意x1,x2∈R,x1

由此可知,hω(x)為連續(xù)遞增函數(shù),h(∞)=∞.

仿照上述證明,可得

證畢.

由此容易估計(jì)出|U x|≤‖ω‖1,|U y|≤‖ω‖1,|V x|≤‖ω‖1,|V y|≤‖ω‖1.

事實(shí)上,選其中的一個(gè)給出估計(jì)過程為

于是,利用引理2有

由式(2)有

同理,由式(3)可得

證畢.

定理1 當(dāng)ρ0

在上半平面一致成立,即D(z)是穩(wěn)定的.其誤差估計(jì)式為

證明 經(jīng)化簡(jiǎn)可得

利用引理4,可得

于是,可得

利用引理3,5,可得

且有

在上半平面一致成立.證畢.

[1]鄭學(xué)良.Beurling-Ahlfo rs擴(kuò)張的伸張函數(shù)與ID-同胚[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2002,45(5):1036-1040.

[2]林峰.Beurling-Ahlfo rs擴(kuò)張的伸張函數(shù)的邊界極限性質(zhì)[J].華僑大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,25(4):352-355.

[3]林峰.Beurling-Ahlfo rs擴(kuò)張的伸張函數(shù)關(guān)于邊界值的穩(wěn)定性[J].南昌大學(xué)學(xué)報(bào):理科版,2005,29(5):432-434.

[4]王小林,龔亞方.一類奇異積分和Cauchy積分關(guān)于積分曲線的穩(wěn)定性[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1999,42(2):343-350.

[5]ZHANG Hong-mei,WANGChuan-rong,ZHU Yu-can.Stability of solutions to Hilbert boundary value problem under perturbation of the boundary curve[J].JMath Anal App l,2003(284):601-617.

[6]LEHTINEN M.The dilatation of Beurling-Ahlfors extension quasisymmetric function[J].Ann Avad Sci Fenn Ser A IMath,1983,8(1):187-191.

(責(zé)任編輯:陳志賢英文審校:張金順,黃心中)

Stability of Dilatation Function of Beurling-Ahlfors Extension Under Non-Smooth Perturbation

L IN Feng
(School of Mathematical Sciences,Huaqiao University,Quanzhou 362021,China)

In this paper,a definition of non-smooth perturbation is given.The stability of dilatation function of its Beurling-Ahlfors extension is diecussed under the invariant ofM-quasisymmetric function.The corresponding error estimate is obtained.

Beurling-Ahlfors extension;dilatation function;non-smooth perturbation;stability

O 174.5

A

1000-5013(2011)02-0222-04

2009-06-24

林峰(1962-),男,副教授,主要從事函數(shù)論的研究.E-mail:lfeng@hqu.edu.cn.

福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2007J0183)