夏小青,黃心中

(華僑大學數學科學學院,福建泉州 362021)

一類雙調和映照的單葉半徑估計

夏小青,黃心中

(華僑大學數學科學學院,福建泉州 362021)

,即L是一個線性復算子.利用單位圓上有界調和函數的系數估計不等式,對雙調和映照L(F)的單葉半徑進行估計,所得到的結果優(yōu)于Chen和Ponnusamy等的結果.

Landau定理;雙調和映照;線性復算子;單葉半徑

1 預備知識

單連通區(qū)域D上的雙調和映照F=r2G+K.其中:G,K均為D上的調和映照[1].D上的調和映照G,K又可表示為:G=g1+,K=k1+.其中:g1,g2,k1,k2都是D上的解析函數[2].若單位圓D={z||z|<1}上的雙調和映照F,可表示為F=r2G+K滿足F(0)=K(0)=0,JK(0)=1,且|G(z)|

定理A 假設F=r2G+K是單位圓D={z||z|<1}上的雙調和映照,且滿足F(0)=K(0)=0, JK(0)=1.其中:G,K都是D上的有界調和映照.|G(z)|

定理B 假設F=r2G是單位圓D={z||z|<1}上的雙調和映照,且滿足G(0)=0,JG(0)=1.其中:G是D上的有界調和映照,|G(z)|

的解.其中:m1同定理A,L(F)(Dρ2)包含一個單葉圓DR,有

繼續(xù)對以上兩個定理的單葉半徑問題進行研究,進一步估計L(F)的單葉半徑,改進了文獻[4]相應的結果.

單位圓D={z||z|<1}上的復值函數f的Jacobian記為Jf,即Jf=|fz|2-|fˉz|2.記λf=||fz|-|fˉz||,Λ=|fz|+|fˉz|.若f是調和映照,Lew y[5]指出,它是局部單葉的當且僅當Jf(z)≠0,z∈D.

引理B[8]假設f(z)=h(z)+是單位圓D上的調和映照,h,g是D上的解析函數,具有冪級.如果Jf(0)=1,|f(z)|

2 主要結果及證明

定理1 假設F=r2G+K是單位圓D={z||z|<1}上的雙調和映照,且滿足F(0)=K(0)=0, JK(0)=1.其中:G,K都是D上的有界調和映照,且|G(z)|

的解,且L(F)(Dρ3)包含一個單葉圓DR,有

下面證明H(z)的單葉性問題.

固定0<ρ<1,要證明H在Dρ上的單葉性,任取Dρ上的兩點z1,z2,用γ表示線段[z1,z2],則有

從證明的過程中可看出,定理1中的ρ3一定比定理A中的ρ1大,從而定理1的結論比定理A的結論好.相應于定理B,有如下定理.

定理2 假設F=r2G是單位圓D={z||z|<1}上的雙調和映照,且滿足G(0)=0,JG(0)=1.其中:G是D上的有界調和映照,|G(z)|

的解,且包含一個單葉圓有

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(責任編輯:陳志賢英文審校:張金順,黃心中)

On the Estimates of Univalen t Radius for Certain Biharmonic Mappings

XIA Xiao-qing,HUANG Xin-zhong
(School of Mathematical Sciences,Huaqiao University,Quanzhou 362021,China)

landau theorem;biharmonic mapping;linear complex operator;univalent radius

O 174.5

A

1000-5013(2011)02-0218-05

2009-10-11

黃心中(1957-),男,教授,主要從事函數論的研究.E-mail:huangxz@hqu.edu.cn.

福建省自然科學基金項目(2008J0195)