楊 乾

(西南交通大學(xué)峨眉校區(qū),四川峨眉山 614202)

切比雪夫不等式證明的啟示及應(yīng)用

楊 乾

(西南交通大學(xué)峨眉校區(qū),四川峨眉山 614202)

通過對(duì)切比雪夫不等式的證明,得到含數(shù)學(xué)期望和方差的概率不等式的證法。闡述了切比雪夫不等式是證明切比雪夫大數(shù)定律的重要工具和理論基礎(chǔ),在概率論及其實(shí)際生活中有很多應(yīng)用。

切比雪夫不等式;數(shù)學(xué)期望;方差

一、啟示:含有期望和方差的概率不等式的證法

定理:(切比雪夫不等式)設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,則對(duì)任意的正數(shù)ε,有

證:設(shè)X為連續(xù)性隨機(jī)變量,概率密度為f(x),則

切比雪夫不等式的證明步驟:

1)先將隨機(jī)變量在區(qū)間內(nèi)取值的概率用其概率密度在該區(qū)間上的積分表示;

2)利用隨機(jī)變量取值滿足的不等式,將被積函數(shù)擴(kuò)大,產(chǎn)生概率不等式;

3)將積分區(qū)間擴(kuò)大到(-∞,+∞),將積分再次擴(kuò)大,切使積分化為隨機(jī)變量或隨機(jī)變量的函數(shù)的期望或方差的表達(dá)式,則得要證的概率不等式。

從中我們得到含期望和方差的概率不等式的證法。

二、切比雪夫不等式的應(yīng)用

切比雪夫不等式主要有2個(gè)方面的應(yīng)用:

1)利用切比雪夫不等式估計(jì)隨機(jī)變量X落入?yún)^(qū)間(a,b)內(nèi)的概率P(aXb),關(guān)鍵是將待估概率P(aXb)化為的形式,方法是將不等式aXb的各端同減去E(X)

解:第一步:求E(X)和D(X)

第二步:將不等式0X2(m+1)的各端同減去E(X)=m+1,把待估概率化成P(|X-E(X)|ε)的形式

第三步:取ε=m+1,利用切比雪夫不等式估計(jì)概率

2)求解或證明一些有關(guān)概率的不等式

例2 設(shè)在每次試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的概率為0.75,利用切比雪夫不等式求:

n需要多大時(shí),才能使得在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74～0.76之間的概率至少為0.90?

解:設(shè)X為n次試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的次數(shù),則X～B(n,0.75)

在切比雪夫不等式中取ε=0.01n,則

即n取18750時(shí),可以使得在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74～0.76之間的概率至少為0.90

[1]沈恒范.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].4版.北京:高等教育出版社,2003.

[2]陳永華.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2005.

(責(zé)任編輯周江川)

O21

A

1007-7111(2011)01-0119-02

2010-11-28

楊乾(1990—),男,研究方向:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。