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        基于加權總體最小二乘的平面點云擬合方法

        2011-09-19 06:22:32樓立志陳瑋嫻
        測繪通報 2011年3期
        關鍵詞:平面激光精度

        袁 慶,樓立志,陳瑋嫻

        (同濟大學測量與國土信息工程系,上海200092)

        基于加權總體最小二乘的平面點云擬合方法

        袁 慶,樓立志,陳瑋嫻

        (同濟大學測量與國土信息工程系,上海200092)

        根據(jù)每個點云激光反射強度不同以及對于系數(shù)陣A的部分修正,在地面三維激光的平面點云擬合中引入加權總體最小二乘的方法,建立較最小二乘方法和總體最小二乘方法更加合理的模型。根據(jù)相應的迭代算法,經實例計算證明該方法更加合理,可以獲得更高精度的參數(shù)解。

        點云;EIV模型;平面擬合;加權總體最小二乘

        一、引 言

        在地面三維激光掃描的應用中,經常會遇到一些點云平面的擬合問題,如墻面平整度檢測、道路路面數(shù)據(jù)擬合等[1]。所謂平面點云擬合,即從掃面點云數(shù)據(jù)中得到一組有關平面的數(shù)據(jù)(xi,yi,zi)(i=1,2,…,n),利用擬合算法確定空間平面方程參數(shù)。傳統(tǒng)的做法是建立高斯-馬爾科夫(Guass-Markov)模型,采用最小二乘(least squares,LS)方法擬合平面。用LS法可以求得參數(shù)的最或然值,此時需要有一個基本假設,即偶然誤差e只存在于觀測向量Y中,而系數(shù)矩陣A是不受偶然誤差影響的。然而,這并不符合事實,由于模型誤差、人為誤差、儀器誤差等使得點云數(shù)據(jù)中幾乎所有的觀測值中都存在誤差,因此,包含變量的系數(shù)矩陣A也含有誤差??紤]引入總體最小二乘(total least squares,TLS)方法,建立變量誤差(EIV)模型,同時考慮觀測向量和系數(shù)矩陣的誤差。在此基礎上,根據(jù)每個點的激光反射強度定義擬合權陣,得到加權總體最小二乘(weighted total least squares,WTLS)的平面擬合方法。經實例計算證明,WTLS方法更加合理,可以得到更高精度的參數(shù)解。

        二、最小二乘解算平面參數(shù)

        經過預處理后得到一組平面點云數(shù)據(jù)(xi,yi,zi)(i=1,2,…,n),利用擬合算法確定空間平面方程參數(shù)??臻g平面方程為

        式中,a、b、c為待求參數(shù)。利用線性回歸模型進行參數(shù)估計的Guass-Markov模型為

        式中

        LS估計準則為

        單位權中誤差為

        三、加權總體最小二乘解算平面參數(shù)

        1.EIV模型

        考慮系數(shù)矩陣A中誤差的EIV模型為

        WTLS估計準則為

        2.WTLS權陣的定義

        在實際中,每次掃描得到的是被掃平面每個點云的一組信息,這組信息包含了掃描點云的坐標信息和激光反射強度信息,即每個點云的三維坐標和激光反射強度值。而激光反射強度與入射角度存在如下關系:E'i=E0cos αi(i=1,2,…,n) ,式中,為每個掃描點的激光反射強度;E0為垂直入射時的反射強度;αi為入射角。即入射角度越接近于90°,激光反射強度越大,點位精度越高,參與擬合的權重也應越大;相反,入射角越接近于0°,激光反射強度越小,點位精度越低,參與擬合的權重應越小[3]。通常的激光反射率是在 (0,255)之間的數(shù)值,通過相應的轉換關系 Ei=(E'i×0.303 7+621.872 9)/1 244將反射強度轉換為0~1之間的數(shù)值(即Ei),再將Ei作為每個點云相應的權值。假設點云在x、y、z三個方向等精度獲取,對于平面靶標的系數(shù)陣列向量和觀測值,有σx=σy=σz,則具體權陣形式如下

        式中,P0為系數(shù)陣A的列向量權陣,P0的第三個對角元素為0,表示系數(shù)陣A中的第三列不需要改正,其余對角線元素為1,表示系數(shù)陣A中的第一、二列的數(shù)據(jù)列中的元素是等精度獲取的;PY為觀測值權陣;PX為A陣行向量權陣。

        3.迭代法求解參數(shù)及精度評定

        根據(jù)Shaffrin提出的迭代法[4]求解點云平面參數(shù)的過程具體如下。

        四、實例分析

        本文采用Faro laser scanner對墻面、路面數(shù)據(jù)進行掃描得到原始點云,如圖1所示,具體步驟如下。

        圖1 原始點云

        1)為避免由于直線平行于某坐標軸而出現(xiàn)數(shù)值問題[5],求出坐標 (xi,yi,zi)T(i=1,2,…,n) 中的三個坐標分量的最大值和最小值之差為Δx、Δy、Δz。在 Δx、Δy、Δz中,若 Δx最小,則按 x=ay+bz+c擬合;若Δy最小,則按y=az+bx+c擬合;若Δz最小,則按z=ax+by+c擬合。

        2)將反射率轉化為0~1之間的數(shù)值,設置閾值,濾去噪聲點。

        3)在點云平面中任取三個點,求出平面參數(shù)初值,計算每個點到平面的距離,將距離小于2 mm的點刪除。

        4)根據(jù)式(2)、式(8)組成觀測方程。

        5)根據(jù)式(9)~式(11)求解參數(shù),并由式(12)~式(14)進行平差精度評定,與TLS方法和LS進行比較,得到的結果如表1、表2所示。墻面擬合的殘差如圖2所示。

        表1 墻面擬合參數(shù)及精度

        表2 路面擬合參數(shù)及精度

        由表1、表2可以看出,WTLS方法擬合的單位權中誤差要小于LS方法和TLS方法。墻面擬合中WTLS方法得到的精度相對LS方法和TLS方法提高了58%,路面擬合中WTLS方法得到的精度相對LS方法和TLS方法分別提高了61%和50%。由圖2可以看出,LS方法僅僅修改了觀測值向量,而TLS和WTLS方法則修改了系數(shù)陣和觀測值,使得殘差同時出現(xiàn)在觀測向量和系數(shù)矩陣中。且引入點云的權陣,得到更加合理的擬合模型和更高精度的參數(shù)解。

        五、結 論

        1)由于WTLS方法建立的EIV模型對所有變量中的誤差都進行了最小化約束,因此它比假設系數(shù)陣無誤差的LS方法更加合理。

        2)根據(jù)點云的激光反射強度不同的特點,引入行向量權陣P、PX,給出P、PX的具體形式。得到的單位權中誤差小于LS方法和TLS方法,并且精度參數(shù)解更高。

        3)引入列向量權陣P0,對系數(shù)陣A修改數(shù)據(jù)列而固定的常數(shù)列,并給出P0的具體形式,得到更合理的擬合模型。

        圖2 墻面數(shù)據(jù)觀測值殘差及系數(shù)陣殘差比較

        [1]曹力.多重三維激光掃描技術在山海關長城測繪中的應用[J].測繪通報,2008(4):31-40.

        [2]魏木生.廣義最小二乘問題的理論和計算[M].北京:科學出版社,2006.

        [3]張毅.地面三維激光掃描點云數(shù)據(jù)處理方法研究[D].武漢:武漢大學,2008.

        [4]SCHAFFRIN B,WIESER A.On Weighted Total Least-Squares Adjustment for Linear Regression[J].Journal of Geodesy,2008,82(7):415-421.

        [5]王解先,季凱敏.工業(yè)測量擬合[M].北京:測繪出版社,2008.

        Applying Weighted Total Least-Squares to the Plane Point Cloud Fitting of Terrestrial Laser Scanning

        YUAN Qing,LOU Lizhi,CHEN Weixian

        0494-0911(2011)03-0001-03

        P232

        B

        2010-09-03

        袁 慶(1986—),女,安徽宣城人,碩士生,研究方向為大地測量數(shù)據(jù)處理。

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