袁 慶，樓立志，陳瑋嫻

(同濟大學測量與國土信息工程系，上海200092)

基于加權總體最小二乘的平面點云擬合方法

袁 慶，樓立志，陳瑋嫻

(同濟大學測量與國土信息工程系，上海200092)

根據(jù)每個點云激光反射強度不同以及對于系數(shù)陣A的部分修正，在地面三維激光的平面點云擬合中引入加權總體最小二乘的方法，建立較最小二乘方法和總體最小二乘方法更加合理的模型。根據(jù)相應的迭代算法，經實例計算證明該方法更加合理，可以獲得更高精度的參數(shù)解。

點云;EIV模型;平面擬合;加權總體最小二乘

一、引 言

在地面三維激光掃描的應用中，經常會遇到一些點云平面的擬合問題，如墻面平整度檢測、道路路面數(shù)據(jù)擬合等［1］。所謂平面點云擬合，即從掃面點云數(shù)據(jù)中得到一組有關平面的數(shù)據(jù)(xi，yi，zi)(i=1，2，…，n)，利用擬合算法確定空間平面方程參數(shù)。傳統(tǒng)的做法是建立高斯-馬爾科夫(Guass-Markov)模型，采用最小二乘(least squares，LS)方法擬合平面。用LS法可以求得參數(shù)的最或然值，此時需要有一個基本假設，即偶然誤差e只存在于觀測向量Y中，而系數(shù)矩陣A是不受偶然誤差影響的。然而，這并不符合事實，由于模型誤差、人為誤差、儀器誤差等使得點云數(shù)據(jù)中幾乎所有的觀測值中都存在誤差，因此，包含變量的系數(shù)矩陣A也含有誤差?？紤]引入總體最小二乘(total least squares，TLS)方法，建立變量誤差(EIV)模型，同時考慮觀測向量和系數(shù)矩陣的誤差。在此基礎上，根據(jù)每個點的激光反射強度定義擬合權陣，得到加權總體最小二乘(weighted total least squares，WTLS)的平面擬合方法。經實例計算證明，WTLS方法更加合理，可以得到更高精度的參數(shù)解。

二、最小二乘解算平面參數(shù)

經過預處理后得到一組平面點云數(shù)據(jù)(xi，yi，zi)(i=1，2，…，n)，利用擬合算法確定空間平面方程參數(shù)?？臻g平面方程為

式中，a、b、c為待求參數(shù)。利用線性回歸模型進行參數(shù)估計的Guass-Markov模型為

式中

LS估計準則為

單位權中誤差為

三、加權總體最小二乘解算平面參數(shù)

1.EIV模型

考慮系數(shù)矩陣A中誤差的EIV模型為

WTLS估計準則為

2.WTLS權陣的定義

在實際中，每次掃描得到的是被掃平面每個點云的一組信息，這組信息包含了掃描點云的坐標信息和激光反射強度信息，即每個點云的三維坐標和激光反射強度值。而激光反射強度與入射角度存在如下關系:E'i=E0cos αi(i=1，2，…，n) ，式中，為每個掃描點的激光反射強度;E0為垂直入射時的反射強度;αi為入射角。即入射角度越接近于90°，激光反射強度越大，點位精度越高，參與擬合的權重也應越大;相反，入射角越接近于0°，激光反射強度越小，點位精度越低，參與擬合的權重應越小［3］。通常的激光反射率是在 (0，255)之間的數(shù)值，通過相應的轉換關系 Ei=(E'i×0.303 7+621.872 9)/1 244將反射強度轉換為0～1之間的數(shù)值(即Ei)，再將Ei作為每個點云相應的權值。假設點云在x、y、z三個方向等精度獲取，對于平面靶標的系數(shù)陣列向量和觀測值，有σx=σy=σz，則具體權陣形式如下

式中，P0為系數(shù)陣A的列向量權陣，P0的第三個對角元素為0，表示系數(shù)陣A中的第三列不需要改正，其余對角線元素為1，表示系數(shù)陣A中的第一、二列的數(shù)據(jù)列中的元素是等精度獲取的;PY為觀測值權陣;PX為A陣行向量權陣。

3.迭代法求解參數(shù)及精度評定

根據(jù)Shaffrin提出的迭代法［4］求解點云平面參數(shù)的過程具體如下。

四、實例分析

本文采用Faro laser scanner對墻面、路面數(shù)據(jù)進行掃描得到原始點云，如圖1所示，具體步驟如下。

圖1 原始點云

1)為避免由于直線平行于某坐標軸而出現(xiàn)數(shù)值問題［5］，求出坐標 (xi，yi，zi)T(i=1，2，…，n) 中的三個坐標分量的最大值和最小值之差為Δx、Δy、Δz。在 Δx、Δy、Δz中，若 Δx最小，則按 x=ay+bz+c擬合;若Δy最小，則按y=az+bx+c擬合;若Δz最小，則按z=ax+by+c擬合。

2)將反射率轉化為0～1之間的數(shù)值，設置閾值，濾去噪聲點。

3)在點云平面中任取三個點，求出平面參數(shù)初值，計算每個點到平面的距離，將距離小于2 mm的點刪除。

4)根據(jù)式(2)、式(8)組成觀測方程。

5)根據(jù)式(9)～式(11)求解參數(shù)，并由式(12)～式(14)進行平差精度評定，與TLS方法和LS進行比較，得到的結果如表1、表2所示。墻面擬合的殘差如圖2所示。

表1 墻面擬合參數(shù)及精度

表2 路面擬合參數(shù)及精度

由表1、表2可以看出，WTLS方法擬合的單位權中誤差要小于LS方法和TLS方法。墻面擬合中WTLS方法得到的精度相對LS方法和TLS方法提高了58%，路面擬合中WTLS方法得到的精度相對LS方法和TLS方法分別提高了61%和50%。由圖2可以看出，LS方法僅僅修改了觀測值向量，而TLS和WTLS方法則修改了系數(shù)陣和觀測值，使得殘差同時出現(xiàn)在觀測向量和系數(shù)矩陣中。且引入點云的權陣，得到更加合理的擬合模型和更高精度的參數(shù)解。

五、結 論

1)由于WTLS方法建立的EIV模型對所有變量中的誤差都進行了最小化約束，因此它比假設系數(shù)陣無誤差的LS方法更加合理。

2)根據(jù)點云的激光反射強度不同的特點，引入行向量權陣P、PX，給出P、PX的具體形式。得到的單位權中誤差小于LS方法和TLS方法，并且精度參數(shù)解更高。

3)引入列向量權陣P0，對系數(shù)陣A修改數(shù)據(jù)列而固定的常數(shù)列，并給出P0的具體形式，得到更合理的擬合模型。

圖2 墻面數(shù)據(jù)觀測值殘差及系數(shù)陣殘差比較

［1］曹力.多重三維激光掃描技術在山海關長城測繪中的應用［J］.測繪通報，2008(4):31-40.

［2］魏木生.廣義最小二乘問題的理論和計算［M］.北京:科學出版社，2006.

［3］張毅.地面三維激光掃描點云數(shù)據(jù)處理方法研究［D］.武漢:武漢大學，2008.

［4］SCHAFFRIN B，WIESER A.On Weighted Total Least-Squares Adjustment for Linear Regression［J］.Journal of Geodesy，2008，82(7):415-421.

［5］王解先，季凱敏.工業(yè)測量擬合［M］.北京:測繪出版社，2008.

Applying Weighted Total Least-Squares to the Plane Point Cloud Fitting of Terrestrial Laser Scanning

YUAN Qing，LOU Lizhi，CHEN Weixian

0494-0911(2011)03-0001-03

P232

B

2010-09-03

袁 慶(1986—)，女，安徽宣城人，碩士生，研究方向為大地測量數(shù)據(jù)處理。