趙維濤,姚東林

(沈陽航空工業(yè)學(xué)院 航空宇航工程學(xué)院,遼寧 沈陽 110136)

0 引言

由于結(jié)構(gòu)載荷的復(fù)雜性,大多數(shù)結(jié)構(gòu)將同時(shí)承受靜載荷和疲勞載荷的共同作用,結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的元件可能出現(xiàn)靜強(qiáng)度失效,可能出現(xiàn)疲勞破壞。由于元件靜強(qiáng)度失效和疲勞失效間存在一定的相關(guān)性,如元件靜強(qiáng)度失效將導(dǎo)致該元件剛陣減縮、結(jié)構(gòu)內(nèi)力重分配等,這些都會(huì)影響其他未失效元件的應(yīng)力水平,進(jìn)而影響未失效元件的疲勞壽命;同樣元件疲勞破壞也會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)內(nèi)力重分配,另外疲勞載荷的作用會(huì)使結(jié)構(gòu)材料性能下降(如極限強(qiáng)度衰減),這些因素必將影響元件靜強(qiáng)度可靠性。因此,有必要對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)靜強(qiáng)度和疲勞進(jìn)行耦合分析。文獻(xiàn)[1]討論了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)靜強(qiáng)度與疲勞失效機(jī)理,認(rèn)為強(qiáng)度失效是瞬間完成,并認(rèn)為它與其前一級失效為同時(shí)發(fā)生。文獻(xiàn)[2～4]討論了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)靜強(qiáng)度與疲勞失效機(jī)理,并提出了當(dāng)量壽命概念,但未對當(dāng)量壽命作詳細(xì)討論。本文在此基礎(chǔ)上基于累積損傷對當(dāng)量壽命作進(jìn)一步討論,綜合蒙特卡羅方法確定當(dāng)量壽命的概率分布形式,并提出簡化處理方法。

1 當(dāng)量壽命概念

在使用過程中,結(jié)構(gòu)的極限強(qiáng)度為逐漸衰減[5]。文獻(xiàn)[6]給出了結(jié)構(gòu)極限強(qiáng)度與累積損傷度間的關(guān)系為

式中：σ為極限強(qiáng)度;σ0為初始極限強(qiáng)度;D為累積損傷度。

根據(jù)Miner累積損傷理論,可建立累積損傷度與疲勞壽命的對應(yīng)關(guān)系,結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中元件的疲勞壽命可表示為

式中：T為元件的疲勞壽命;Δ為元件發(fā)生疲勞破壞時(shí)的累積損傷度;A為疲勞強(qiáng)度的不確定性;B為計(jì)算過程中模型的不確定性;Ω為應(yīng)力參數(shù)(確定量);m為N-S曲線中的參數(shù)(確定量)[7-8]。由式(2)可得任意時(shí)間t內(nèi)元件的累積損傷度

將式(3)代入式(1),有

在結(jié)構(gòu)靜強(qiáng)度可靠性分析時(shí),元件的安全余量可表示為

式中：σ′為該元件所受應(yīng)力,即計(jì)算應(yīng)力,可由有限元求得。

在結(jié)構(gòu)疲勞可靠性分析時(shí),元件的安全余量可表示為

式中：TD為設(shè)計(jì)壽命。

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效過程中,由于疲勞載荷的作用,需計(jì)算每個(gè)元件在何時(shí)失效,以便計(jì)算在此時(shí)間內(nèi)疲勞載荷對其他元件的累積損傷。若元件疲勞失效,其失效時(shí)刻的計(jì)算可參見文獻(xiàn)[7];若元件靜強(qiáng)度失效,則令該元件靜強(qiáng)度安全余量(式(5))等于零,求得相應(yīng)的壽命

則當(dāng)量壽命

2 當(dāng)量壽命分析

式(8)可變?yōu)?/p>

式中：Δ′為當(dāng)量損傷,且Δ′=1-σ′/σ0。

在疲勞可靠性分析中,一般認(rèn)為A,B,Δ均服從對數(shù)正態(tài)分布;m,Ω為常量[7]。由式(2)可知,元件的T顯然服從對數(shù)正態(tài)分布,這便于可靠性分析。由Δ′的表達(dá)式可知,若Δ′服從對數(shù)正態(tài)分布,則t亦服從對數(shù)正態(tài)分布,但Δ′的分布形式主要取決于該元件計(jì)算應(yīng)力σ′和初始極限強(qiáng)度σ0,其中σ′的分布較難確定。若考慮實(shí)際的σ′,σ0的分布,t的分布形式將很難確定,這使得在可靠性分析過程中需進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)轉(zhuǎn)換(即RF轉(zhuǎn)換),雖然RF算法有較好的通用性,但會(huì)對大型結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)可靠性分析帶來困難。為此,本文討論Δ′服從不同分布時(shí)對t和元件失效概率的影響。由式(9)可得ln t=lnΔ′+ln A-m ln B-lnΩ,因lnΩ為常數(shù),不影響t的分布形式,因此只需討論Y的分布即可。有

用蒙特卡羅法,通過各變量的概率分布產(chǎn)生隨機(jī)數(shù),統(tǒng)計(jì)Y的分布形式,從而確定t的分布形式。設(shè)蒙特卡羅數(shù)量n=1 000 000,取各變量的中值和變異系數(shù)為A=1.15×1012,δA=0.3,B=1.0,δB=0.1,并均服從對數(shù)正態(tài)分布,m=3[7]。

2.1 Δ′服從正態(tài)分布和極值I型分布

2.1.1 Δ′服從正態(tài)分布

2.1.2 Δ′服從極值I型分布

同樣假定Y服從正態(tài)分布,采用同2.1.1的分析方法,給出了Y的均值和標(biāo)準(zhǔn)差以及95%的置信區(qū)間,見表2,其概率密度如圖2所示。由分析結(jié)果可知：當(dāng)Δ′服從極值I型分布時(shí),Y服從正態(tài)分布,即t服從對數(shù)正態(tài)分布。

表1 Δ′服從正態(tài)分布時(shí)Y的分布形參數(shù)Tab.1 Distribution parameter of Y whenΔ′obeys normal distribution

表2 Δ′服從極值Ⅰ型分布時(shí)Y的分布參數(shù)Tab.2 Distribution parameter of Y whenΔ′obeys I extreme value distribution

圖1 Δ′服從正態(tài)分布時(shí)Y的概率密度Fig.1 Probability density of Y whenΔ′obeys normal distribution

圖2 Δ′服從極值Ⅰ型分布時(shí)Y的概率密度Fig.2 Probability density of Y whenΔ′obeys I extreme valuedistribution

分析發(fā)現(xiàn)：Δ′服從正態(tài)分布和極值I型分布時(shí),Y均服從正態(tài)分布形式,即t服從對數(shù)正態(tài)分布。為與Δ′服從對數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行比較,根據(jù)表1、2,Δ′服從對數(shù)正態(tài)分布、正態(tài)分布和極值I型分布時(shí)Y的均值和變異系數(shù)分別如圖3、4所示。由圖可知：Δ′服從對數(shù)正態(tài)分布、正態(tài)分布和極值I型分布時(shí),Y的均值和變異系數(shù)相近。

圖3 Δ′服從不同分布時(shí)Y的均值Fig.3 Mean of Y whenΔ′obeys different distribution

圖4 Δ′服從不同分布時(shí)Y的變異系數(shù)Fig.4 Variability coefficient of Y when Δ′obeys different distribution

2.1.3 算例1

設(shè)有2個(gè)元件,元件1在當(dāng)量壽命t1時(shí)靜強(qiáng)度失效,則元件2的疲勞安全余量可表示為

式中：Ω1,Ω2分別為結(jié)構(gòu)中沒有失效單元時(shí)單元1、2的應(yīng)力參數(shù);Ω2/1為單元1失效后單元2的應(yīng)力參數(shù)。

假定Δ′服從對數(shù)正態(tài)、正態(tài)和極值I型不同分布形式,并有相同均值和變異系數(shù),用蒙特卡羅法計(jì)算M2/1對應(yīng)的失效概率。取n=1 000 000,Ω1=400,Ω2=200,Ω2/1=500,δΔ′=0.2,TD=20年,計(jì)算所得結(jié)果見表3。表中：相對誤差是相對Δ′服從對數(shù)正態(tài)分布的值。由表可知：雖然Δ′服從不同的分布形式,但所對應(yīng)的失效概率相近,相對誤差均小于5%,說明當(dāng)Δ′服從正態(tài)和極值I型分布時(shí),只要獲得其均值和標(biāo)準(zhǔn)差,就可近似用Δ′服從對數(shù)正態(tài)分布計(jì)算可靠性,簡化計(jì)算過程,提高計(jì)算效率。

2.2 Δ′服從威布爾分布

由Δ′的表達(dá)式可知,μΔ′大于零符合實(shí)際,因此假設(shè)威布爾分布中的位置參數(shù)為零,即認(rèn)為Δ′服從二參數(shù)的威布爾分布,其概率密度函數(shù)

式中：η為尺度參數(shù);ξ為形狀參數(shù)。

取不同的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)對Y的分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,并對Y服從正態(tài)分布與否進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn),分析結(jié)果見表4。由表4可知：當(dāng)Δ′服從威布爾分布時(shí),Y多數(shù)不服從正態(tài)分布,即t不服從對數(shù)正態(tài)分布。

為與Δ′服從對數(shù)正態(tài)分布比較,用方法1、2計(jì)算所得Y的均值和變異系數(shù)分別如圖5、6所示。此處：方法1中按Δ′服從威布爾分布;方法2中Δ′服從對數(shù)正態(tài)分布,兩種方法的均值和均方差相同。由圖可知：僅當(dāng)ξ=1即Δ′服從指數(shù)分布時(shí),方法1、2算得的Y均值和變異系數(shù)略有不同,其他情況下兩種方法算得的結(jié)果相近。用方法1、2對算例1進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果見表5。表中：相對誤差為方法2相對方法1的值。

表3 Δ′服從不同分布形式的失效概率Tab.3 Failure probability whenΔ′obeys dif ferent distribution

表4 Δ′服從威布爾分布的計(jì)算結(jié)果Tab.4 Results whenΔ′obeys Weibull distribution

3 結(jié)束語

本文基于元件靜強(qiáng)度失效時(shí)對應(yīng)的當(dāng)量壽命,提出了對應(yīng)的當(dāng)量損傷概念。用蒙特卡羅分析方法討論了當(dāng)量損傷服從不同分布時(shí)當(dāng)量壽命的分布形式。結(jié)果表明：當(dāng)量損傷服從對數(shù)正態(tài)分布、正態(tài)分布和極值I型分布時(shí),當(dāng)量壽命均服從對數(shù)正態(tài)分布,且統(tǒng)計(jì)參數(shù)(均值和變異系數(shù))相近;當(dāng)量損傷服從威布爾分布時(shí),多數(shù)情況下當(dāng)量壽命不服從對數(shù)正態(tài)分布。但算例表明,除ξ=1(即指數(shù)分布)外,所得失效概率誤差較小,均小于5%;當(dāng)ξ=1時(shí),失效概率誤差較大。由表5可知此時(shí)對應(yīng)的失效概率較小,即小失效概率時(shí)失效概率誤差較大,當(dāng)失效概率逐漸增大時(shí),失效概率誤差逐漸減小,在失效概率相對較大時(shí)誤差小于5%,屬可接受。另外由于當(dāng)量損傷的概率分布取決于計(jì)算應(yīng)力和初始極限強(qiáng)度,一般不服從指數(shù)分布。綜上所述,在多數(shù)情況下可不必考慮當(dāng)量壽命的具體分布形式,直接認(rèn)為當(dāng)量壽命服從對數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行當(dāng)量壽命分析即可,可避免當(dāng)量正態(tài)轉(zhuǎn)換,簡化了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)靜強(qiáng)度和疲勞耦合可靠性的計(jì)算過程,提高計(jì)算效率。

表5 方法1、2對算例1的計(jì)算結(jié)果Tab.5 Results of example 1 using method 1 and method 2

圖6 Δ′服從威布爾分布時(shí)Y的變異系數(shù)Fig.6 Variability coef ficient of Y whenΔ′obeys Weibull distribution

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