符 俊,周 英,張士峰,蔡 洪

(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天與材料工程學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410073)

0 引言

一般來說,共面橢圓軌道轉(zhuǎn)移主要可分為三種情況：兩個(gè)橢圓軌道的拱線相同,僅大小不同;兩個(gè)橢圓軌道大小相同,但拱線不同;兩個(gè)橢圓的大小和拱線均不相同[1]。第二種轉(zhuǎn)移中,僅改變拱線的相位(即改變?chǔ)?而不改變其他軌道根數(shù)。其中：由于兩橢圓軌道相交,可在交點(diǎn)處施加一次速度沖量改變拱線的相位,但該方法消耗的能量較大[1]。采用能量最省的最優(yōu)軌道轉(zhuǎn)移中,研究自由時(shí)間最省能量的最優(yōu)軌道轉(zhuǎn)移方法常需解決施加速度沖量的次數(shù)、位置和方向[2]。在多數(shù)最優(yōu)軌道轉(zhuǎn)移中,除施加速度沖量的方向要求與當(dāng)?shù)厮俣确较蛞恢?如經(jīng)典的霍曼轉(zhuǎn)移)外,另兩個(gè)問題均很難解決。本文根據(jù)文獻(xiàn)[3]提出的對(duì)稱轉(zhuǎn)移軌道,基于對(duì)稱轉(zhuǎn)移軌道用遺傳算法對(duì)最省能量橢圓拱線相位調(diào)節(jié)方法進(jìn)行了研究。

1 單脈沖轉(zhuǎn)移

單脈沖轉(zhuǎn)移如圖1所示。圖中：下標(biāo)I、F分別表示初始和目標(biāo)軌道。對(duì)相交軌道的單脈沖轉(zhuǎn)移,其速度沖量的施加點(diǎn)必須是兩個(gè)橢圓的交點(diǎn)[2],即點(diǎn)C或點(diǎn)D。

圖1 共面橢圓軌道單脈沖轉(zhuǎn)移Fig.1 Single pulsetransfer of coplanar elliptical orbit

設(shè)變軌點(diǎn)為C,其在初始與目標(biāo)軌道中的位置可用真近點(diǎn)角表示,分別為

式中：Δω為需調(diào)整的相位角。在點(diǎn)C,令初始軌道中航天器的速度及其傾角分別為vI,ΘI,目標(biāo)軌道中航天器的速度及其傾角分別為vF,ΘF。因兩橢圓大小相同,僅拱線方向不一致,故有

則變軌所需的速度沖量大小

式中：ΔΘ=ΘF-ΘI。又因

故速度沖量可表示為

式中：μ為地球引力常數(shù);e為偏心率;p為半通徑。施加速度沖量的方向?yàn)閺较??？勺C明,若在交點(diǎn)D進(jìn)行變軌,所需的Δv與上述結(jié)果相同。

2 對(duì)稱轉(zhuǎn)移

對(duì)稱轉(zhuǎn)移如圖2所示。圖中：下標(biāo)T表示轉(zhuǎn)移軌道。轉(zhuǎn)移軌道與初始與目標(biāo)軌道均相切。與霍曼轉(zhuǎn)移類似,在對(duì)稱轉(zhuǎn)移中,先沿航天器速度方向施加一次速度沖量,使航天器進(jìn)入轉(zhuǎn)移軌道,再在轉(zhuǎn)移軌道和目標(biāo)軌道的切點(diǎn)處施加第二次速度沖量,使航天器進(jìn)入目標(biāo)軌道。由于初始軌道與目標(biāo)軌道關(guān)于轉(zhuǎn)移軌道的主軸對(duì)稱,這種轉(zhuǎn)移方法稱作對(duì)稱轉(zhuǎn)移。因它已確定了施加速度沖量的方向和次數(shù),故對(duì)稱轉(zhuǎn)移的關(guān)鍵是求解最優(yōu)變軌點(diǎn)的位置,使軌道轉(zhuǎn)移需要的特征速度最小。

圖2 對(duì)稱轉(zhuǎn)移Fig.2 Symmetric transfer

首先以轉(zhuǎn)移軌道的主軸為極軸,實(shí)焦點(diǎn)為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系。設(shè)φ為變軌點(diǎn)在轉(zhuǎn)移軌道中的真近點(diǎn)角,則最優(yōu)變軌點(diǎn)的位置可用極坐標(biāo)表示。建立初始軌道的曲線方程,在極坐標(biāo)系中可表示為

轉(zhuǎn)移軌道的曲線方程為

式中：p1,p2為半通徑;e1,e2為偏心率。在最優(yōu)變軌點(diǎn)處,應(yīng)滿足關(guān)系

則轉(zhuǎn)移軌道的偏心率和長(zhǎng)半軸分別為

解出轉(zhuǎn)移橢圓后,可得轉(zhuǎn)移軌道中最優(yōu)變軌點(diǎn)處的速度

初始橢圓軌道中最優(yōu)變軌點(diǎn)處的速度

由此可得第一次變軌需要的速度沖量

由于第二次變軌點(diǎn)的位置與第一次變軌點(diǎn)的位置關(guān)于轉(zhuǎn)移軌道的主軸對(duì)稱,它需要的速度沖量大小與第一次變軌相同,故整個(gè)變軌過程需要的總速度沖量大小為2Δv。

3 遺傳算法

遺傳算法是模仿自然界生物進(jìn)化機(jī)制的隨機(jī)全局搜索和優(yōu)化方法,是一種高效、并行、全局搜索的方法。它能在搜索過程中自動(dòng)獲取和積累有關(guān)搜索空間的知識(shí),并以自適應(yīng)的控制搜索過程求得最優(yōu)解。遺傳算法運(yùn)算流程如圖3所示[4]。

圖3 遺傳算法運(yùn)算流程Fig.3 Operation flowchart of genetic algorithm

4 仿真

以橢圓軌道為例,分析拱線相位調(diào)節(jié)中的能量需求。用遺傳算法計(jì)算最優(yōu)變軌點(diǎn)的位置。本文取遺傳算法的參數(shù)為：最大遺傳代數(shù)50,代溝0.9,選擇使用隨機(jī)遍歷抽樣,交叉概率0.7,變異概率0.017。

4.1 最優(yōu)變軌點(diǎn)的位置與a,e,Δω的關(guān)系

最優(yōu)變軌點(diǎn)的位置決定了對(duì)稱轉(zhuǎn)移最小特征速度的大小。在對(duì)稱轉(zhuǎn)移中,影響最優(yōu)變軌點(diǎn)位置的因素有初始軌道的半長(zhǎng)軸a、偏心率e和拱線的Δω。

a)半長(zhǎng)軸

a決定橢圓軌道的大小。e=0.5,Δω=4°時(shí),仿真所得不同a的最優(yōu)變軌點(diǎn)位置如圖4所示。因e為定值,且地球軌道的近地點(diǎn)地心距應(yīng)大于地球半徑,故取a的范圍為13 000～30 000 km。由圖4可知：最優(yōu)變軌點(diǎn)的位置不隨a而變,即初始橢圓軌道的大小不影響最優(yōu)變軌點(diǎn)在轉(zhuǎn)移橢圓中的位置。

圖4 不同a的最優(yōu)變軌點(diǎn)位置Fig.4 Position of optimum transfer point with various semimajor axis

b)偏心率

e決定橢圓軌道的形狀。a=30 000 km,Δω=4°時(shí),仿真所得不同e的最優(yōu)變軌點(diǎn)位置如圖5所示。e范圍為0.1～0.9。由圖5可知：最優(yōu)變軌點(diǎn)在轉(zhuǎn)移橢圓軌道中的真近點(diǎn)角隨e增加而單調(diào)增大,即初始橢圓軌道越扁,最優(yōu)變軌點(diǎn)的真近點(diǎn)角就越大。

圖5 不同e的最優(yōu)變軌點(diǎn)位置Fig.5 Position of optimum transfer point with various eccentricity

c)拱線相位調(diào)節(jié)角度

初始橢圓軌道a=18 000 km,e=0.6時(shí),仿真所得不同Δω的最優(yōu)變軌點(diǎn)位置如圖6所示。

圖6 不同Δω的最優(yōu)變軌點(diǎn)位置Fig.6 Position of optimum transfer point with various angle of apsidal line

由圖6可知：最優(yōu)變軌點(diǎn)的位置不僅與橢圓的形狀有關(guān),還受Δω的影響。當(dāng)Δω＜12.7°時(shí),最優(yōu)變軌點(diǎn)在轉(zhuǎn)移軌道中的真近點(diǎn)角隨Δω增大而增大;當(dāng)Δω＞12.7°時(shí),最優(yōu)變軌點(diǎn)在轉(zhuǎn)移軌道中的真近點(diǎn)角隨Δω增大而減小,且當(dāng)Δω=180°時(shí),f=90°,轉(zhuǎn)移軌道成為圓軌道,對(duì)應(yīng)的軌道轉(zhuǎn)移如圖7所示。

圖7 Δω=180°時(shí)橢圓軌道的對(duì)稱轉(zhuǎn)移Fig.7 Symmetric transfer of elliptical orbit withΔω=180°

4.2 單脈沖轉(zhuǎn)移和雙脈沖對(duì)稱轉(zhuǎn)移比較

設(shè)橢圓軌道參數(shù)為：a=20 000 km,e=0.6,計(jì)算Δω在0°～10°時(shí)的能量需求,結(jié)果分別如圖8、9所示。

不同轉(zhuǎn)移相位時(shí)單脈沖轉(zhuǎn)移和雙脈沖對(duì)稱轉(zhuǎn)移需要的速度沖量計(jì)算結(jié)果見表1。由表1可知：用對(duì)稱轉(zhuǎn)移進(jìn)行拱線相位調(diào)節(jié)所需要的速度沖量約為單脈沖轉(zhuǎn)移的50%,方法明顯更優(yōu)。

圖8 優(yōu)化過程中目標(biāo)函數(shù)和種群均值Fig.8 Target value and mean value of population in optimization

圖9 拱線相位調(diào)節(jié)需要的速度沖量Fig.9 Velocity impulsewith various apsidal line angle

表1 單脈沖轉(zhuǎn)移和對(duì)稱轉(zhuǎn)移需要的速度沖量Tab.1 Velocity impulse of single-impulsetransfer and symmetric transfer

5 結(jié)束語

基于LAWDEN,PRIMMER的研究,本文對(duì)大小相同的橢圓拱線相位調(diào)節(jié)方法進(jìn)行了研究,提出了單脈沖轉(zhuǎn)移和雙脈沖對(duì)稱轉(zhuǎn)移方法。討論了對(duì)稱轉(zhuǎn)移,用遺傳算法求解最優(yōu)變軌點(diǎn)位置,獲得了最優(yōu)變軌所需特征速度的求解方法。仿真結(jié)果表明：對(duì)稱轉(zhuǎn)移較單脈沖轉(zhuǎn)移更省能量。

[1]郗曉寧,王 威.近地航天器軌道基礎(chǔ)[M].長(zhǎng)沙：國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2003.

[2]GOBETZ F W,WASHINGTON M,EDELBAUM T N.Minimum-impulse time-free transfer between elliptic orbits[R].NASA Contractor NASI-4688,1966.

[3]LAWDEN D F.Impulsive transfer between elliptical orbits：optimization techniques[A].LEITMANN G.New York：Academic Press,1962.

[4]雷英杰,張善文,李續(xù)武,等.MATLAB遺傳算法工具箱及應(yīng)用[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社,2005.