衛(wèi)洪濤,孔憲仁

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所,黑龍江 哈爾濱 150086)

0 引言

蜂窩夾層板因其高比硬度和比剛度在工業(yè)領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用,尤其是航天器大量采用蜂窩夾層結(jié)構(gòu)用于外殼面板、承載結(jié)構(gòu),研究蜂窩夾層結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)對研究整個航天器的動力學(xué)響應(yīng)意義重大。對蜂窩板自由振動的研究獲得了大量成果,由不同假設(shè)前提可建立不同的位移場,進而通過虛位移原理和變分方法得到夾層板的運動方程以預(yù)測蜂窩夾層板自由振動[1]。研究多針對蜂窩板的自由振動進行建模分析[2、3]。文獻(xiàn)[2]用一階和高階剪切理論,通過漢密爾頓方程推導(dǎo)了四邊簡支蜂窩夾層板的自由振動運動方程,假設(shè)解為納維解的簡化形式,代入運動方程,用解得的代數(shù)方程組得到夾層板的低階基頻,另還研究了蜂窩胞元構(gòu)造、夾心層高度及蜂窩胞元大小對蜂窩夾層板自由振動基頻的影響。文獻(xiàn)[3]用漢密爾頓方法推導(dǎo)了一階剪切理論蜂窩夾層板的自由振動運動方程,用類似文獻(xiàn)[2]的方法求解夾層板基頻,討論了經(jīng)典理論和一階剪切理論模型在求解蜂窩板不同階次振動頻率時的差別,以及蜂窩芯剪切模量和蜂窩夾芯密度對蜂窩板低階頻率的影響。本文從受迫振動角度分析了蜂窩夾層板受迫振動響應(yīng),比較了經(jīng)典假設(shè)和一階剪切理論兩種方法的計算結(jié)果,用一階剪切理論運動方程研究了蜂窩夾芯層泊松比對整板振動響應(yīng)的影響。

1 位移場定義

采用經(jīng)典板假設(shè)和一階剪切理論研究夾層板的受迫振動,蜂窩夾層板的坐標(biāo)系如圖1、2所示。圖中：h為蜂窩夾芯的沿y向的壁板邊長;θ為蜂窩夾芯傾斜壁板與ox軸的夾角;t為蜂窩夾芯胞元的壁板厚度;l為蜂窩夾芯胞元的傾斜壁板邊長。

圖1 蜂窩夾層板坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate of sandwich panel

圖2 蜂窩夾芯胞元示意Fig.2 Cell of honeycomb core

經(jīng)典板假設(shè)位移場可表示為

式中：ui,vi,wi分別為蜂窩夾層板各層任意點x、y、z向的位移;x,y,z為坐標(biāo)。此處：i=1,2,3。

一階剪切理論夾層板位移場可表示為

式中：φ(x,y,t),ψ(x,y,t)分別為平面xoz、yoz內(nèi)夾層板中面垂線彎曲后的角度。

2 夾層板運動方程

由虛位移原理,對整個夾層板可得

式中：σix,σiy,σixy,σixz,σiyz為 蜂窩夾層板各層應(yīng)力;εix,εiy,εixy,γixz,γiyz為蜂窩板各層應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變;ρi為蜂窩夾層板各層的密度;q(x,y,t)為蜂窩夾層板面板所受的均布載荷;δ為變分符號。將式(3)代入位移場,經(jīng)變分運算并在z向積分得運動方程為

a)經(jīng)典板假設(shè)

b)一階剪切理論

式中：Qixz,Qiyz分別為蜂窩夾層結(jié)構(gòu)各層在平面xoz、yoz的剪切力;σix=[Ei/(1-(μi)2)](εix+μiεiy);σiy=[Ei/(1-(μi)2)](εiy+μiεix);σixy=[Ei/(2+μi)]γixy;Mij為蜂窩夾層板各層力矩,且Mij=,Ii,分別為各層密度及其與z2乘積在各層內(nèi)z向的積分,且。此處：Ei,μi分別為蜂窩夾層板各層的彈性模量和泊松比;j=x,y,xy。

3 數(shù)值仿真及典型算例

工程上關(guān)注的低階振動頻率可用伽遼金方法近似獲得。對四邊簡支的蜂窩夾層板,滿足邊界條件的近似解為

a)經(jīng)典板假設(shè)

b)一階剪切理論

式中：a為蜂窩夾層板長。令i=j=1,即得低階的振動頻率。運用伽遼金方法的步驟為：

a)將應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系代入運動方程,蜂窩夾芯層彈性模量取文獻(xiàn)[2]數(shù)值;

b)將滿足邊界條件的解代入運動方程,同時在式(5)的3個分式兩邊分別乘cos(πx/a)sin(πx/b),sin(πx/a)cos(πx/b),sin(πx/a)sin(πx/b)(經(jīng)典板假設(shè)理論乘sin(πx/a)sin(πx/b));

c)在整個板面進行面積分,得由φ(t),ψ(t),w(t)表示的偏微分方程(經(jīng)典板假設(shè)理論是用w(t)表示的一個等式)。

這樣可得有3個未知數(shù)的偏微分方程組,本文用Matlab/Simulink軟件求數(shù)值仿真解。步驟為：

a)建立Simulink模型,偏微分方程組的未知數(shù)為φ(t),ψ(t),w(t);

b)選擇一適當(dāng)?shù)耐饧虞d荷幅值及仿真外加激勵力的頻率范圍;

c)用Matalb軟件中的m文件控制Simulink仿真,根據(jù)所選的幅值在選擇的頻率范圍內(nèi)進行批量仿真;

d)返回步驟b),改變外加載荷幅值,重復(fù)步驟b)、c)可得蜂窩夾層板不同外加載荷幅值的幅頻響應(yīng)圖。

設(shè)典型鋁蜂窩夾芯板的面板及正六邊形蜂窩芯的材料均為鋁,各參數(shù)為：a=1 m,寬b=1 m,鋁密度ρ=2 780 kg/m3,芯層厚度hc=24.4 mm,面板層厚度d=0.3 mm,面板彈性模量E s=70 GPa,l=4 mm,t=0.04 mm。比較經(jīng)典理論與一階理論間的差異,并用一階理論研究泊松比對振動頻率的影響。

為便于比較,令芯層厚度為0,改變面板層厚度,比較兩種方法。令hc=0 mm,在d分別為0.1,0.2 mm(其他參數(shù)不變)條件下,兩種板假設(shè)理論獲得的夾層板幅頻響應(yīng)如圖3、4所示。由圖可得夾層板的一階基頻。

比較發(fā)現(xiàn)：經(jīng)典理論和一階剪切理論所得的蜂窩夾層板基頻相差10-1Hz量級,表明一階剪切理論模型可靠。

圖3 d=0.1 mm時仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of a classical plate theory and low order shear deformation when d=0.1 mm

圖4 d=0.2 mm時仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of a classical plate theory and low order shear deformation when d=0.2 mm

4 蜂窩夾芯泊松比對整板振動的影響

單獨的蜂窩夾芯層的靜態(tài)力學(xué)研究可得泊松比較大的結(jié)論[4、5]。部分文獻(xiàn)在用數(shù)值方法研究蜂窩夾層板的振動響應(yīng)時,均采用工程數(shù)值0.3。本文基于一階剪切理論模型,討論蜂窩夾芯的泊松比對動力學(xué)響應(yīng)的影響。設(shè)蜂窩板參數(shù)不變,hc=10 mm,d=0.3 mm,泊松比從0.2增至1.0,步長0.1,仿真所得不同泊松比的一階頻率響應(yīng)見表1,幅頻響應(yīng)如圖5所示。由圖中共振峰位置可得不同蜂窩夾層泊松比的蜂窩夾層板一階頻率。

由仿真結(jié)果可知：當(dāng)蜂窩夾芯泊松比為0.1～0.9時,對結(jié)果的影響較小;當(dāng)泊松比為0.9～0.999 9…時,響應(yīng)結(jié)果間的差異明顯增大,尤其是當(dāng)泊松比為0.999～0.999 9…時,夾芯彎矩急劇增加,顯著改變了響應(yīng)。根據(jù)該算例,泊松比為0.999 9,0.9間的差異可達(dá)19.3%。

表1 不同蜂窩夾芯泊松比的一階頻率響應(yīng)Tab.1 Low order natural frequency with various Poisson ratio

圖5 選擇不同蜂窩夾芯層泊松比蜂窩板的幅頻響應(yīng)Fig.5 Amplitude under frequency of a specific honeycomb coresandwich panel with dif ferent Poisson ratio

5 結(jié)束語

本文對蜂窩夾層板受迫振動進行了研究。比較了經(jīng)典假設(shè)和一階剪切理論的計算結(jié)果。分析表明后者可行?；诶碚撃Ｐ?討論了研究蜂窩夾芯的泊松比對響應(yīng)結(jié)果的影響,發(fā)現(xiàn)泊松比在接近1時對響應(yīng)有顯著的影響。研究對蜂窩夾層板的非線性振動響應(yīng)和工程應(yīng)用有一定的參考價值。

[1]IRVING H.Energy and finite element methods in structural mechanics[M].Washington：Hemisphere Pub,1996.

[2]LIU Q L,ZHAO Y.Effect of soft honeycomb core on flexural vibration of sandwich panel using low order and high order shear deformation models[J].Journal of Sandwich Structures and Materials,2007(9)：95.

[3]LIU Q L,ZHAO Y.Prediction of natural f requencies of a sandwich panel using thick plate theory[J].Journal of Sandwich Structures and Materials,2001(3)：289.

[4]GIBSON L J.The mechanics of two-dimensional cellular materials[J].Proc R Soc Lond,1982.

[5]祝 濤,王德禹.蜂窩芯層非線性等效彈性參數(shù)[J].上海航天,2008,25(4)：51-54.