史曉鳴,許 泉,楊炳淵,唐國安

(1.復(fù)旦大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)系,上海 200433;2.上海機(jī)電工程研究所,上海 200233)

0 引言

對大型復(fù)雜的多自由度結(jié)構(gòu),雖可整體建立有限元模型,直接進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析,但模型的單元數(shù)和自由度數(shù)常多達(dá)數(shù)十萬甚至數(shù)百萬,需要很大的計(jì)算規(guī)模和機(jī)時(shí)。特別是顫振等耦合動(dòng)力學(xué)問題,由于氣動(dòng)矩陣的非稀疏性和非對稱性,計(jì)算規(guī)模和機(jī)時(shí)更是令人難以容忍。采用動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法是解決此類問題的有效途徑[1～5]。20世紀(jì)60年代,國外對將部件模態(tài)引入整體的動(dòng)力學(xué)分析進(jìn)行了研究[6]。文獻(xiàn)[7]提出了分枝模態(tài)法,對復(fù)雜結(jié)構(gòu)的各部件施加一定的約束,使其局部剛化,形成各個(gè)分枝系統(tǒng),并確保各分枝的運(yùn)動(dòng)型態(tài)組合能表征整體結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)型態(tài)[7]。此后,文獻(xiàn)[8～11]等先后提出并改進(jìn)了約束界面和自由界面的模態(tài)綜合法。文獻(xiàn)[12]用模態(tài)坐標(biāo)表達(dá)約束界面的位移,發(fā)展了約束界面模態(tài)綜合法。文獻(xiàn)[13]對自由界面模態(tài)綜合法作了改進(jìn),發(fā)展了雙協(xié)調(diào)動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)法。

分枝模態(tài)法在工程實(shí)踐中應(yīng)用較多,其分枝變形不重迭原則使模態(tài)剛度矩陣解耦,但模態(tài)質(zhì)量矩陣在分枝間一般仍存在慣性耦合。本文利用整體有限元模型計(jì)算面對稱布局飛行器固有模態(tài),根據(jù)整體模態(tài)具對稱或反對稱特征,按對稱和反對稱模態(tài)劃分分枝,用分枝模態(tài)法建立的結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程在不同分枝間也可實(shí)現(xiàn)慣性解耦,這利于問題的簡化,以及自由度和計(jì)算規(guī)模的縮小。為此,本文對基于分枝模態(tài)法的面對稱布局飛行器結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模進(jìn)行了研究。

1 飛行器模態(tài)分析

設(shè)飛行器外形如圖1所示。其中：機(jī)身、機(jī)翼、垂尾組成面對稱布局,機(jī)身、機(jī)翼和垂尾均為有縱向和橫向加勁的半硬殼式結(jié)構(gòu)。機(jī)身內(nèi)部除結(jié)構(gòu)件外,還安裝儀器設(shè)備、貯箱、發(fā)動(dòng)機(jī)和有效載荷等非結(jié)構(gòu)質(zhì)量。

圖1 飛行器外形Fig.1 Vehicle conf iguration

1.1 飛行器有限元建模及模態(tài)計(jì)算

根據(jù)飛行器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),用MSC.Patran軟件建立飛行器整體的有限元模型。其中：半硬殼式結(jié)構(gòu)用殼單元與梁單元混合建模,蒙皮部分用6自由度的殼單元模擬,桁條、翼肋和隔框等加勁部分用相同自由度的梁單元模擬。非結(jié)構(gòu)質(zhì)量則建立點(diǎn)質(zhì)量單元,通過多點(diǎn)約束(MPC)分散固定在對應(yīng)彈身艙段的結(jié)點(diǎn)上,量值和位置由杠桿原理算得。

用MSC.Nastran軟件的求解器解廣義特征值問題

即可得到固有模態(tài)。此處：k,m為結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量陣;ω2為系統(tǒng)特征值;φ為系統(tǒng)特征向量。

1.2 模態(tài)結(jié)果分析

飛行器的固有模態(tài)計(jì)算結(jié)果見表1。其中振型形態(tài)主要有關(guān)于機(jī)身垂直子午面對稱、關(guān)于機(jī)身垂直子午面反對稱和垂尾變形為主的三種(如圖2～4所示)。可發(fā)現(xiàn)：對稱振型中兩片機(jī)翼作關(guān)于機(jī)身垂直子午面對稱的垂向振動(dòng),機(jī)身作垂向彎曲振動(dòng),且兩者耦合程度很高,無顯著的純機(jī)身或純機(jī)翼的振動(dòng)模態(tài),而垂尾基本無垂直于垂尾平面的側(cè)向振動(dòng),只隨機(jī)身的振動(dòng)作垂直方向的剛體運(yùn)動(dòng);反對稱振型中兩片機(jī)翼作關(guān)于機(jī)身垂直子午面反對稱的垂向振動(dòng),機(jī)身作繞縱軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng),兩者耦合程度也很高,垂尾除隨機(jī)身扭轉(zhuǎn)作垂直于垂尾平面的剛體側(cè)向振動(dòng)外,還存在一定的側(cè)向彈性振動(dòng);垂尾變形為主的振型中垂尾作垂直于垂尾平面的側(cè)向彈性振動(dòng),機(jī)身和機(jī)翼只有量級很小的局部振動(dòng)。此外,僅在頻率86 Hz以上出現(xiàn)機(jī)身側(cè)向彎曲為主的側(cè)彎一階振型,低階模態(tài)中無明顯的機(jī)身或機(jī)翼側(cè)向彎曲。

表1 固有模態(tài)Tab.1 Natural modal

圖2 對稱振型形態(tài)振型Fig.2 Symmetrical mode shape

圖3 反對稱振型形態(tài)振型Fig.3 Antisymmetrical mode shape

圖4 垂尾振型形態(tài)振型Fig.4 Vertical tail mode shape

2 分枝模態(tài)法建模

采用分枝模態(tài)法建模。對本文的飛行器構(gòu)型,傳統(tǒng)方法是按自然結(jié)構(gòu)部件劃分分枝,如文獻(xiàn)[2、3]劃分為機(jī)身、機(jī)翼和尾翼三個(gè)分枝。但本文飛行器的機(jī)翼和機(jī)身融為一體,對將機(jī)翼剛化形成的機(jī)身分枝或?qū)C(jī)身約束形成的機(jī)翼分枝,獲取分枝模態(tài)的試驗(yàn)或計(jì)算均較難。另外,機(jī)翼機(jī)身間靜不定的連接,模態(tài)綜合時(shí)要求考慮約束模態(tài),計(jì)算繁瑣且增加多個(gè)自由度[14]。根據(jù)上述模態(tài)分析結(jié)果面對稱飛行器對稱反對稱振型的特征,本文的分枝劃分除在垂尾與機(jī)身的結(jié)合部仍將機(jī)身約束形成垂尾分枝外,對融為一體的機(jī)身機(jī)翼部分不按自然部件劃分為機(jī)身和機(jī)翼兩個(gè)分枝,而按對稱和反對稱振型劃分分枝。這樣不但克服了上述缺點(diǎn),分枝模態(tài)的獲取簡單易行,而且由于對稱和反對稱振型屬于同一結(jié)構(gòu)組成的主模態(tài),兩個(gè)分枝間也實(shí)現(xiàn)了慣性解耦。

2.1 分枝劃分

根據(jù)上述考慮,按分枝模態(tài)法分枝變形不重迭原則,全機(jī)可分為三個(gè)分枝。

a)機(jī)身機(jī)翼對稱振型分枝：包括簡化為自由梁的機(jī)身在xoz平面內(nèi)的彎曲振動(dòng)、簡化為平板的兩片機(jī)翼關(guān)于xoz平面對稱的彈性振動(dòng),以及全機(jī)的剛體沉浮、俯仰運(yùn)動(dòng)。垂尾作為剛體附連在機(jī)身上隨機(jī)身運(yùn)動(dòng)。

b)機(jī)身機(jī)翼反對稱振型分枝：包括簡化為扭轉(zhuǎn)軸的機(jī)身繞ox軸的扭轉(zhuǎn)、簡化為平板的兩片機(jī)翼關(guān)于xoz平面反對稱的彈性振動(dòng),以及全機(jī)剛體側(cè)移、偏航和滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。垂尾作為剛體附連在機(jī)身上隨機(jī)身扭轉(zhuǎn)作牽連運(yùn)動(dòng)。

c)垂尾分枝：垂尾簡化為彈性平板固定于不動(dòng)的機(jī)身軸線上。

在這三個(gè)分枝中,未考慮機(jī)身在xoy平面內(nèi)的側(cè)向彈性振動(dòng)。這是因?yàn)閮善瑱C(jī)翼與機(jī)身融為一體,機(jī)身在側(cè)向的剛度很大,側(cè)向振動(dòng)模態(tài)的頻率很高(大于表1中所有的頻率),在全機(jī)的低頻段上幾乎不存在側(cè)向的彈性變形。

2.2 結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

根據(jù)三個(gè)分枝的劃分,飛行器結(jié)構(gòu)物理坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)可表示為三個(gè)分枝模態(tài)振型的疊加,有

式中：t為時(shí)間;

ξ為全機(jī)結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標(biāo)矢量,且

此處：Φs,Φa,Φt分別為由機(jī)身機(jī)翼對稱振型分枝ns個(gè)模態(tài)、機(jī)身機(jī)翼反對稱振型分枝na個(gè)模態(tài)和垂尾分枝nt個(gè)模態(tài)振型函數(shù)組成的矩陣;上標(biāo)(z)、(y)分別表示垂向振動(dòng)和側(cè)向振動(dòng)。

忽略工程中常見的小阻尼影響,由拉格朗日方程可導(dǎo)出結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中：M,K分別為結(jié)構(gòu)的模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度陣;QA為廣義力矢量,由各分枝對應(yīng)的分量Qs,Qa,Qt構(gòu)成。設(shè)作用于飛行器表面單位面積dσ的載荷為Δp,則

2.3 運(yùn)動(dòng)方程解耦

模態(tài)質(zhì)量陣可表示為

式中：m(x,y,z)是局部質(zhì)量密度函數(shù);Φ(x,y,z)為振型函數(shù);d V為局部單元體積。

將模態(tài)質(zhì)量矩陣按三個(gè)分枝分塊,有

式中：下標(biāo)s,a,t分別表示機(jī)身機(jī)翼對稱振型分枝、機(jī)身機(jī)翼反對稱振型分枝和垂尾分枝模態(tài)對應(yīng)的行和列。

同一分枝內(nèi)的固有模態(tài)對質(zhì)量具加權(quán)正交性,故子矩陣Mss,Maa,Mtt均為對角線陣,可由各分枝結(jié)構(gòu)的模態(tài)計(jì)算或模態(tài)試驗(yàn)獲得。

機(jī)身機(jī)翼對稱振型分枝和機(jī)身機(jī)翼反對稱振型分枝同屬機(jī)身機(jī)翼結(jié)構(gòu)的主模態(tài),它們之間也滿足正交性條件,交叉項(xiàng)的模態(tài)質(zhì)量矩陣為零矩陣。即

垂尾分枝模態(tài)振型在機(jī)身機(jī)翼物理坐標(biāo)z向的數(shù)值為零,而機(jī)身機(jī)翼對稱振型分枝在垂尾物理坐標(biāo)y向的數(shù)值也為零,故有關(guān)機(jī)身機(jī)翼對稱振型分枝和垂尾分枝交叉項(xiàng)模態(tài)質(zhì)量陣為零矩陣,即

機(jī)身機(jī)翼反對稱振型分枝在垂尾物理坐標(biāo)上的數(shù)值不為零,故機(jī)身機(jī)翼反對稱振型分枝與垂尾分枝間存在慣性耦合,即

則模態(tài)質(zhì)量矩陣可表示為

由于分枝的選擇滿足變形不重迭原則,故模態(tài)剛度陣為一無剛度耦合的對角陣,即

式中：Kss,Kaa,Ktt為各分枝的模態(tài)剛度陣,可由各分枝結(jié)構(gòu)的模態(tài)計(jì)算或模態(tài)試驗(yàn)獲得。

對一般的動(dòng)力響應(yīng)問題,如發(fā)動(dòng)機(jī)脈動(dòng)、突風(fēng)、分離、姿控噴流等響應(yīng),載荷Δp=Δp(t)只是時(shí)間的函數(shù),由式(6)表示的廣義力矢量對應(yīng)各分枝的分量互相獨(dú)立,結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)微分方程式(5)可分為兩組互相獨(dú)立的微分方程

對顫振、伺服氣彈等運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問題,廣義力矢量是與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的參數(shù),則

式中：

此處：AB(σ),AC(σ)為與流場相關(guān)的參數(shù);σ為飛行器表面任意點(diǎn);l為氣流方向。

同樣可將B,C如式(8)按三個(gè)分枝分為3×3塊。因固有模態(tài)對氣動(dòng)力不具加權(quán)正交性,故此處的對角線子矩陣是非對角線陣,且C為非對稱陣。但機(jī)身機(jī)翼對稱和反對稱振型分枝的交叉項(xiàng)因?qū)C(jī)身和左右兩片機(jī)翼積分之和為零,仍有

由于垂尾分枝模態(tài)在機(jī)身物理坐標(biāo)上的位移為零,機(jī)身機(jī)翼對稱振型分枝在垂尾側(cè)向坐標(biāo)上的位移為零,故

因此,B,C也有與式(12)的M相同的形式,即

由此,對顫振、伺服氣彈等運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問題,結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)微分方程式(5)同樣可轉(zhuǎn)化為式(14)、(15)表示的兩組互相獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)微分方程。

3 驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文分枝模態(tài)法的建模精度,對圖1所示飛行器,按劃分的三個(gè)分枝分別建立有限元模型計(jì)算得到三個(gè)分枝的模態(tài)參數(shù),取機(jī)翼機(jī)身對稱振型分枝、機(jī)翼機(jī)身反對稱振型分枝和垂尾分枝前3階或4階模態(tài),建立式(14)、(15)的分枝模態(tài)法運(yùn)動(dòng)方程,令方程右端廣義力矢量為零,計(jì)算其固有頻率和振型,并與本文按飛行器整體建立有限元模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。固有頻率的計(jì)算結(jié)果見表2、3。由表可知：除個(gè)別階序偏差稍大外,多數(shù)模態(tài)階序的偏差小于5%,精度滿足工程設(shè)計(jì)要求,同時(shí)振差異亦很小,因篇幅所限文中未列出。

表2 直接法與分枝模態(tài)法計(jì)算固有頻率比較(對稱分枝)Tab.2 Some frequencies results by direct and branch mode method(symmetry branch)

表3 直接法與分枝模態(tài)法計(jì)算固有頻率比較(反對稱與垂尾分枝)Tab.3 Some frequencies results by direct and branch mode method(antisymmetry&vertical tail branches)

4 結(jié)束語

本文根據(jù)面對稱布局飛行器模態(tài)振型的特征,按對稱和反對稱形態(tài)劃分分枝,建立分枝模態(tài)法結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型。通過理論推導(dǎo)獲得只有機(jī)身機(jī)翼反對稱振型分枝與垂尾分枝存在慣性耦合,而對稱振型分枝不與垂尾分枝耦合,由此得到對部分分枝解耦的兩組互相獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)微分方程。本文方法對大型復(fù)雜多自由度的面對稱布局飛行器結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)分析和氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性分析有一定的參考價(jià)值,可用于減縮自由度和計(jì)算規(guī)模。

[1]吳興世,王文亮.彈性飛機(jī)艙內(nèi)噪聲分析的雙協(xié)調(diào)動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)法[J].力學(xué)學(xué)報(bào),1987,19(增)：127-131.

[2]楊炳淵.全彈組合體超音速顫振的一種工程計(jì)算方法[J].空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào),1983,3(4)：99-105.

[3]楊炳淵,樊則文.彈性飛行器氣動(dòng)伺服彈性耦合動(dòng)力學(xué)仿真[J].宇航學(xué)報(bào),2009,30(1)：134-138.

[4]惲偉君,朱農(nóng)時(shí),段根寶.多重動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)法在大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)計(jì)算中的應(yīng)用[J].振動(dòng)與沖擊,1987,(1)：13-23.

[5]邱吉寶,王建民,譚志勇.運(yùn)載火箭結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的一些新技術(shù)(第二部分)：運(yùn)載火箭結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析)[J].導(dǎo)彈與航天運(yùn)載技術(shù),2001(4)：16-21.

[6]王文亮.結(jié)構(gòu)振動(dòng)與動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社,1985.

[7]GLADWELL G.M L.Branch mode analysis of vibrating system[J].Journal of Sound and Vibration,1964,1(1)：41.

[8]HURTY W C.Vibration of structure systems by component mode synthesis[J].Journal Engreering Mech Div,ASCE,1960,86：51-59.

[9]CRAIG R R,BAM PTON M C C.Coupling of substructures for dynamic analysis[J].AIAA Journal,1968,6：1313-1319.

[10]HOU S N.Review of modal synthesis techniques and a new approach[J].Shock and Vibration Bulletin,1969,40(4)：25-39.

[11]RUBIN S.Improved component-mode representation for structural dynamic analysis[J].AIAA Journal,1975,13：995-1006.

[12]胡海昌.很多自由度體系的固有振動(dòng)問題(約束模態(tài)法)[J].航空學(xué)報(bào),1980(2)：28-36.

[13]王文亮,杜作潤,陳康元.模態(tài)綜合技術(shù)短評和一種新的改進(jìn)[J].航空學(xué)報(bào),1979(3)：32-51.

[14]王文亮.慣性耦合法述評及其一般原理[J].上海力學(xué),1982,2(1)：1-10.