史曉鳴,許 泉,楊炳淵,唐國安

(1.復(fù)旦大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)系,上海 200433;2.上海機(jī)電工程研究所,上海 200233)

0 引言

對大型復(fù)雜的多自由度結(jié)構(gòu),雖可整體建立有限元模型,直接進(jìn)行動力學(xué)分析,但模型的單元數(shù)和自由度數(shù)常多達(dá)數(shù)十萬甚至數(shù)百萬,需要很大的計算規(guī)模和機(jī)時。特別是顫振等耦合動力學(xué)問題,由于氣動矩陣的非稀疏性和非對稱性,計算規(guī)模和機(jī)時更是令人難以容忍。采用動態(tài)子結(jié)構(gòu)方法是解決此類問題的有效途徑[1～5]。20世紀(jì)60年代,國外對將部件模態(tài)引入整體的動力學(xué)分析進(jìn)行了研究[6]。文獻(xiàn)[7]提出了分枝模態(tài)法,對復(fù)雜結(jié)構(gòu)的各部件施加一定的約束,使其局部剛化,形成各個分枝系統(tǒng),并確保各分枝的運(yùn)動型態(tài)組合能表征整體結(jié)構(gòu)的運(yùn)動型態(tài)[7]。此后,文獻(xiàn)[8～11]等先后提出并改進(jìn)了約束界面和自由界面的模態(tài)綜合法。文獻(xiàn)[12]用模態(tài)坐標(biāo)表達(dá)約束界面的位移,發(fā)展了約束界面模態(tài)綜合法。文獻(xiàn)[13]對自由界面模態(tài)綜合法作了改進(jìn),發(fā)展了雙協(xié)調(diào)動態(tài)子結(jié)構(gòu)法。

分枝模態(tài)法在工程實(shí)踐中應(yīng)用較多,其分枝變形不重迭原則使模態(tài)剛度矩陣解耦,但模態(tài)質(zhì)量矩陣在分枝間一般仍存在慣性耦合。本文利用整體有限元模型計算面對稱布局飛行器固有模態(tài),根據(jù)整體模態(tài)具對稱或反對稱特征,按對稱和反對稱模態(tài)劃分分枝,用分枝模態(tài)法建立的結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程在不同分枝間也可實(shí)現(xiàn)慣性解耦,這利于問題的簡化,以及自由度和計算規(guī)模的縮小。為此,本文對基于分枝模態(tài)法的面對稱布局飛行器結(jié)構(gòu)動力學(xué)建模進(jìn)行了研究。

1 飛行器模態(tài)分析

設(shè)飛行器外形如圖1所示。其中：機(jī)身、機(jī)翼、垂尾組成面對稱布局,機(jī)身、機(jī)翼和垂尾均為有縱向和橫向加勁的半硬殼式結(jié)構(gòu)。機(jī)身內(nèi)部除結(jié)構(gòu)件外,還安裝儀器設(shè)備、貯箱、發(fā)動機(jī)和有效載荷等非結(jié)構(gòu)質(zhì)量。

圖1 飛行器外形Fig.1 Vehicle conf iguration

1.1 飛行器有限元建模及模態(tài)計算

根據(jù)飛行器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),用MSC.Patran軟件建立飛行器整體的有限元模型。其中：半硬殼式結(jié)構(gòu)用殼單元與梁單元混合建模,蒙皮部分用6自由度的殼單元模擬,桁條、翼肋和隔框等加勁部分用相同自由度的梁單元模擬。非結(jié)構(gòu)質(zhì)量則建立點(diǎn)質(zhì)量單元,通過多點(diǎn)約束(MPC)分散固定在對應(yīng)彈身艙段的結(jié)點(diǎn)上,量值和位置由杠桿原理算得。

用MSC.Nastran軟件的求解器解廣義特征值問題

即可得到固有模態(tài)。此處：k,m為結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量陣;ω2為系統(tǒng)特征值;φ為系統(tǒng)特征向量。

1.2 模態(tài)結(jié)果分析

飛行器的固有模態(tài)計算結(jié)果見表1。其中振型形態(tài)主要有關(guān)于機(jī)身垂直子午面對稱、關(guān)于機(jī)身垂直子午面反對稱和垂尾變形為主的三種(如圖2～4所示)。可發(fā)現(xiàn)：對稱振型中兩片機(jī)翼作關(guān)于機(jī)身垂直子午面對稱的垂向振動,機(jī)身作垂向彎曲振動,且兩者耦合程度很高,無顯著的純機(jī)身或純機(jī)翼的振動模態(tài),而垂尾基本無垂直于垂尾平面的側(cè)向振動,只隨機(jī)身的振動作垂直方向的剛體運(yùn)動;反對稱振型中兩片機(jī)翼作關(guān)于機(jī)身垂直子午面反對稱的垂向振動,機(jī)身作繞縱軸的扭轉(zhuǎn)振動,兩者耦合程度也很高,垂尾除隨機(jī)身扭轉(zhuǎn)作垂直于垂尾平面的剛體側(cè)向振動外,還存在一定的側(cè)向彈性振動;垂尾變形為主的振型中垂尾作垂直于垂尾平面的側(cè)向彈性振動,機(jī)身和機(jī)翼只有量級很小的局部振動。此外,僅在頻率86 Hz以上出現(xiàn)機(jī)身側(cè)向彎曲為主的側(cè)彎一階振型,低階模態(tài)中無明顯的機(jī)身或機(jī)翼側(cè)向彎曲。

表1 固有模態(tài)Tab.1 Natural modal

圖2 對稱振型形態(tài)振型Fig.2 Symmetrical mode shape

圖3 反對稱振型形態(tài)振型Fig.3 Antisymmetrical mode shape

圖4 垂尾振型形態(tài)振型Fig.4 Vertical tail mode shape

2 分枝模態(tài)法建模

采用分枝模態(tài)法建模。對本文的飛行器構(gòu)型,傳統(tǒng)方法是按自然結(jié)構(gòu)部件劃分分枝,如文獻(xiàn)[2、3]劃分為機(jī)身、機(jī)翼和尾翼三個分枝。但本文飛行器的機(jī)翼和機(jī)身融為一體,對將機(jī)翼剛化形成的機(jī)身分枝或?qū)C(jī)身約束形成的機(jī)翼分枝,獲取分枝模態(tài)的試驗或計算均較難。另外,機(jī)翼機(jī)身間靜不定的連接,模態(tài)綜合時要求考慮約束模態(tài),計算繁瑣且增加多個自由度[14]。根據(jù)上述模態(tài)分析結(jié)果面對稱飛行器對稱反對稱振型的特征,本文的分枝劃分除在垂尾與機(jī)身的結(jié)合部仍將機(jī)身約束形成垂尾分枝外,對融為一體的機(jī)身機(jī)翼部分不按自然部件劃分為機(jī)身和機(jī)翼兩個分枝,而按對稱和反對稱振型劃分分枝。這樣不但克服了上述缺點(diǎn),分枝模態(tài)的獲取簡單易行,而且由于對稱和反對稱振型屬于同一結(jié)構(gòu)組成的主模態(tài),兩個分枝間也實(shí)現(xiàn)了慣性解耦。

2.1 分枝劃分

根據(jù)上述考慮,按分枝模態(tài)法分枝變形不重迭原則,全機(jī)可分為三個分枝。

a)機(jī)身機(jī)翼對稱振型分枝：包括簡化為自由梁的機(jī)身在xoz平面內(nèi)的彎曲振動、簡化為平板的兩片機(jī)翼關(guān)于xoz平面對稱的彈性振動,以及全機(jī)的剛體沉浮、俯仰運(yùn)動。垂尾作為剛體附連在機(jī)身上隨機(jī)身運(yùn)動。

b)機(jī)身機(jī)翼反對稱振型分枝：包括簡化為扭轉(zhuǎn)軸的機(jī)身繞ox軸的扭轉(zhuǎn)、簡化為平板的兩片機(jī)翼關(guān)于xoz平面反對稱的彈性振動,以及全機(jī)剛體側(cè)移、偏航和滾轉(zhuǎn)運(yùn)動。垂尾作為剛體附連在機(jī)身上隨機(jī)身扭轉(zhuǎn)作牽連運(yùn)動。

c)垂尾分枝：垂尾簡化為彈性平板固定于不動的機(jī)身軸線上。

在這三個分枝中,未考慮機(jī)身在xoy平面內(nèi)的側(cè)向彈性振動。這是因為兩片機(jī)翼與機(jī)身融為一體,機(jī)身在側(cè)向的剛度很大,側(cè)向振動模態(tài)的頻率很高(大于表1中所有的頻率),在全機(jī)的低頻段上幾乎不存在側(cè)向的彈性變形。

2.2 結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程

根據(jù)三個分枝的劃分,飛行器結(jié)構(gòu)物理坐標(biāo)下的運(yùn)動可表示為三個分枝模態(tài)振型的疊加,有

式中：t為時間;

ξ為全機(jī)結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標(biāo)矢量,且

此處：Φs,Φa,Φt分別為由機(jī)身機(jī)翼對稱振型分枝ns個模態(tài)、機(jī)身機(jī)翼反對稱振型分枝na個模態(tài)和垂尾分枝nt個模態(tài)振型函數(shù)組成的矩陣;上標(biāo)(z)、(y)分別表示垂向振動和側(cè)向振動。

忽略工程中常見的小阻尼影響,由拉格朗日方程可導(dǎo)出結(jié)構(gòu)的運(yùn)動微分方程為

式中：M,K分別為結(jié)構(gòu)的模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度陣;QA為廣義力矢量,由各分枝對應(yīng)的分量Qs,Qa,Qt構(gòu)成。設(shè)作用于飛行器表面單位面積dσ的載荷為Δp,則

2.3 運(yùn)動方程解耦

模態(tài)質(zhì)量陣可表示為

式中：m(x,y,z)是局部質(zhì)量密度函數(shù);Φ(x,y,z)為振型函數(shù);d V為局部單元體積。

將模態(tài)質(zhì)量矩陣按三個分枝分塊,有

式中：下標(biāo)s,a,t分別表示機(jī)身機(jī)翼對稱振型分枝、機(jī)身機(jī)翼反對稱振型分枝和垂尾分枝模態(tài)對應(yīng)的行和列。

同一分枝內(nèi)的固有模態(tài)對質(zhì)量具加權(quán)正交性,故子矩陣Mss,Maa,Mtt均為對角線陣,可由各分枝結(jié)構(gòu)的模態(tài)計算或模態(tài)試驗獲得。

機(jī)身機(jī)翼對稱振型分枝和機(jī)身機(jī)翼反對稱振型分枝同屬機(jī)身機(jī)翼結(jié)構(gòu)的主模態(tài),它們之間也滿足正交性條件,交叉項的模態(tài)質(zhì)量矩陣為零矩陣。即

垂尾分枝模態(tài)振型在機(jī)身機(jī)翼物理坐標(biāo)z向的數(shù)值為零,而機(jī)身機(jī)翼對稱振型分枝在垂尾物理坐標(biāo)y向的數(shù)值也為零,故有關(guān)機(jī)身機(jī)翼對稱振型分枝和垂尾分枝交叉項模態(tài)質(zhì)量陣為零矩陣,即

機(jī)身機(jī)翼反對稱振型分枝在垂尾物理坐標(biāo)上的數(shù)值不為零,故機(jī)身機(jī)翼反對稱振型分枝與垂尾分枝間存在慣性耦合,即

則模態(tài)質(zhì)量矩陣可表示為

由于分枝的選擇滿足變形不重迭原則,故模態(tài)剛度陣為一無剛度耦合的對角陣,即

式中：Kss,Kaa,Ktt為各分枝的模態(tài)剛度陣,可由各分枝結(jié)構(gòu)的模態(tài)計算或模態(tài)試驗獲得。

對一般的動力響應(yīng)問題,如發(fā)動機(jī)脈動、突風(fēng)、分離、姿控噴流等響應(yīng),載荷Δp=Δp(t)只是時間的函數(shù),由式(6)表示的廣義力矢量對應(yīng)各分枝的分量互相獨(dú)立,結(jié)構(gòu)運(yùn)動微分方程式(5)可分為兩組互相獨(dú)立的微分方程

對顫振、伺服氣彈等運(yùn)動穩(wěn)定性問題,廣義力矢量是與運(yùn)動有關(guān)的參數(shù),則

式中：

此處：AB(σ),AC(σ)為與流場相關(guān)的參數(shù);σ為飛行器表面任意點(diǎn);l為氣流方向。

同樣可將B,C如式(8)按三個分枝分為3×3塊。因固有模態(tài)對氣動力不具加權(quán)正交性,故此處的對角線子矩陣是非對角線陣,且C為非對稱陣。但機(jī)身機(jī)翼對稱和反對稱振型分枝的交叉項因?qū)C(jī)身和左右兩片機(jī)翼積分之和為零,仍有

由于垂尾分枝模態(tài)在機(jī)身物理坐標(biāo)上的位移為零,機(jī)身機(jī)翼對稱振型分枝在垂尾側(cè)向坐標(biāo)上的位移為零,故

因此,B,C也有與式(12)的M相同的形式,即

由此,對顫振、伺服氣彈等運(yùn)動穩(wěn)定性問題,結(jié)構(gòu)運(yùn)動微分方程式(5)同樣可轉(zhuǎn)化為式(14)、(15)表示的兩組互相獨(dú)立的運(yùn)動微分方程。

3 驗證

為驗證本文分枝模態(tài)法的建模精度,對圖1所示飛行器,按劃分的三個分枝分別建立有限元模型計算得到三個分枝的模態(tài)參數(shù),取機(jī)翼機(jī)身對稱振型分枝、機(jī)翼機(jī)身反對稱振型分枝和垂尾分枝前3階或4階模態(tài),建立式(14)、(15)的分枝模態(tài)法運(yùn)動方程,令方程右端廣義力矢量為零,計算其固有頻率和振型,并與本文按飛行器整體建立有限元模型的計算結(jié)果進(jìn)行比較。固有頻率的計算結(jié)果見表2、3。由表可知：除個別階序偏差稍大外,多數(shù)模態(tài)階序的偏差小于5%,精度滿足工程設(shè)計要求,同時振差異亦很小,因篇幅所限文中未列出。

表2 直接法與分枝模態(tài)法計算固有頻率比較(對稱分枝)Tab.2 Some frequencies results by direct and branch mode method(symmetry branch)

表3 直接法與分枝模態(tài)法計算固有頻率比較(反對稱與垂尾分枝)Tab.3 Some frequencies results by direct and branch mode method(antisymmetry&vertical tail branches)

4 結(jié)束語

本文根據(jù)面對稱布局飛行器模態(tài)振型的特征,按對稱和反對稱形態(tài)劃分分枝,建立分枝模態(tài)法結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型。通過理論推導(dǎo)獲得只有機(jī)身機(jī)翼反對稱振型分枝與垂尾分枝存在慣性耦合,而對稱振型分枝不與垂尾分枝耦合,由此得到對部分分枝解耦的兩組互相獨(dú)立的運(yùn)動微分方程。本文方法對大型復(fù)雜多自由度的面對稱布局飛行器結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)分析和氣動彈性穩(wěn)定性分析有一定的參考價值,可用于減縮自由度和計算規(guī)模。

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