陳彥江，程建旗，閆維明，何浩祥，李 勇

(北京工業(yè)大學(xué) 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124)

吊桿是鋼管混凝土系桿拱橋重要的受力構(gòu)件，吊桿索力的精確測(cè)量不僅是整座橋梁施工監(jiān)控的重要環(huán)節(jié)，而且也是后期橋梁養(yǎng)護(hù)管理與健康監(jiān)測(cè)最關(guān)心的問(wèn)題。由于振動(dòng)法測(cè)索力有其很多優(yōu)勢(shì)而被廣泛應(yīng)用［1]。

目前，應(yīng)用各種加速度傳感器及頻譜分析技術(shù)，可以較精確得到吊桿的基頻或前幾階固有頻率［2]。因此利用振動(dòng)法測(cè)索力的精度主要取決于計(jì)算式的選取。從吊桿受力模型簡(jiǎn)化角度分，目前存在的振動(dòng)法測(cè)索力方法主要有以下三類:

第一類方法是基于拉緊的弦振動(dòng)理論的公式，忽略吊桿的抗彎剛度，并視吊桿兩端為鉸接［3，4]:

式中，f1為吊桿的基頻;T，m，l分別是吊桿索力、單位長(zhǎng)度質(zhì)量和計(jì)算長(zhǎng)度。

第二類方法考慮了吊桿的抗彎剛度，將吊桿視為兩端簡(jiǎn)支軸向受拉梁［5]:

式中，fn為吊桿的第n階固有頻率;EI為吊桿的抗彎剛度。

第三類方法考慮吊桿的抗彎剛度和兩端固結(jié)邊界條件，推導(dǎo)出了含索力、頻率的超越方程，并在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用能量法迭代計(jì)算出經(jīng)驗(yàn)擬合公式［6]。然而，上述的三類方法都存在著不同程度的缺陷:

(1)第一種方法忽略了吊桿抗彎剛度的影響。對(duì)于長(zhǎng)度較小的吊桿，抗彎剛度對(duì)吊桿頻率影響很大，用式(1)計(jì)算將得到偏大索力值。

(2)第二、三種方法雖然考慮了吊桿的抗彎剛度，但抗彎剛度的影響作為顯式的計(jì)算參數(shù)。在工程實(shí)踐中，吊桿內(nèi)部結(jié)構(gòu)形式、鋼絲間的粘結(jié)程度、索力大小等不確定因素的影響，吊桿的抗彎剛度 EI難以準(zhǔn)確識(shí)別。

(3)早期修建的鋼管混凝土系桿拱橋，多數(shù)吊桿錨固時(shí)采用鋼套管并內(nèi)灌水泥砂漿護(hù)索，吊桿兩端近似于固結(jié)［7]。近幾年吊桿多采用帶球形支座的錨具錨固，如圖4。且鋼套管內(nèi)不再灌水泥砂漿，而是設(shè)置橡膠減震器，顯然其兩端約束情況用固結(jié)來(lái)模擬已不再適用，而且索的計(jì)算長(zhǎng)度由于受減震器的影響，采用上下錨固點(diǎn)之間的距離也將產(chǎn)生很大的誤差。

(4)對(duì)于短吊桿，環(huán)境激勵(lì)下基頻很難被激發(fā)，限制了上述公式中用基頻計(jì)算索力的應(yīng)用，使得短吊桿(＜5m)不能通過(guò)振動(dòng)法來(lái)測(cè)出索力［8，9]。

針對(duì)上述計(jì)算方法中存在的缺陷，本文提出基于吊桿參數(shù)靈敏度的優(yōu)化算法計(jì)算索力值。該方法假設(shè)吊桿兩端鉸接并考慮抗彎剛度影響，以索力、抗彎剛度和計(jì)算長(zhǎng)度作為未知參數(shù)，通過(guò)計(jì)算長(zhǎng)度修正來(lái)考慮實(shí)際吊桿邊界條件簡(jiǎn)化為兩端簡(jiǎn)支后引入的誤差［10，11]。首先分析吊桿頻率對(duì)各參數(shù)的靈敏度，然后基于參數(shù)靈敏度矩陣進(jìn)行迭代計(jì)算。數(shù)值分析表明，這種算法不僅收斂速度快，且特別適用于固有頻率受抗彎剛度影響較大的短吊桿。并通過(guò)對(duì)一座鋼管混凝土拱橋的吊桿測(cè)試分析驗(yàn)證了該方法的可行性。

1 基于吊桿參數(shù)靈敏度的優(yōu)化算法

考慮索的抗彎剛度，忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，此時(shí)吊桿受力就相當(dāng)于一軸向受拉梁，其運(yùn)動(dòng)微分方程為［12]:

假定解具有形式:

即幅值Y(t)隨時(shí)間變化，Φ(x)是指定形狀函數(shù)。

分離變量得:

其中:

對(duì)于任意軸向力，式(6)中的 D1、D2、D3、D44 個(gè)參數(shù)定義了索振動(dòng)的形狀?？捎蓛啥算q接邊界條件得出:

把上式代入式(6)，D1、D2、D3、D4不全為零，則由方程組行列式為0可計(jì)算出:

上式就是考慮軸向力和抗彎剛度影響的吊桿固有頻率與索力的關(guān)系式。式中吊桿單位長(zhǎng)度質(zhì)量m在出廠時(shí)可精確測(cè)量，且在營(yíng)運(yùn)過(guò)程中變化量很小，作為已知量。將索力T、抗彎剛度EI和計(jì)算長(zhǎng)度l作為未知參數(shù)，構(gòu)成變量列陣P，即:

因此式(8)可記作fj=F(P)，其中fj是吊桿的第j階固有頻率(j=1，2…n)。

fj在設(shè)計(jì)變量P處按Taylor級(jí)數(shù)一階展開(kāi)得:

式中Pi是變量列陣P中第i個(gè)變量，這里P有3個(gè)元素，所以r=3，i=1，2，3。忽略高階項(xiàng)的影響，則固有頻率增量δfj為:

因?yàn)樗髁，抗彎剛度EI，和計(jì)算長(zhǎng)度l具有不同的量綱，且數(shù)值大小也相差幾個(gè)數(shù)量級(jí)，僅從靈敏度表達(dá)式Sp還不能判斷固有頻率最敏感的參數(shù)，因此，式(11)可進(jìn)一步寫(xiě)成:

將式(14)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為:

式中，U是n×1階列向量，表示各階頻率相對(duì)變化量;ε是r×1階列向量，表示參數(shù)變量的相對(duì)變化量;ε是n×r階矩陣，表示參數(shù)變量的差分相對(duì)靈敏度。具體形式如下:

應(yīng)用迭代法求解方程(15)可分以下6個(gè)步驟:

(1)置迭代步 k=0，設(shè)定設(shè)計(jì)變量 P的初始值P0= ［T0EI0l0]T;

(3)計(jì)算頻率的相對(duì)變化量Uk，可采用下式:

(5)計(jì)算參數(shù)的相對(duì)變化量:

(6)修正吊桿的參數(shù)變量，得到第k+1次迭代時(shí)參數(shù)估計(jì)值:

重復(fù)以上的迭代過(guò)程，直到列向量U收斂到0，迭代結(jié)束，此時(shí)的設(shè)計(jì)變量P即為吊桿參數(shù)精確值。

上述迭代算法實(shí)質(zhì)是非線性優(yōu)化問(wèn)題，考慮各參數(shù)變量的實(shí)際物理意義，并加快迭代收斂速度，引入各參數(shù)的約束條件，如下:

索力值T的上、下限可根據(jù)設(shè)計(jì)索力值設(shè)定一個(gè)較大的初始區(qū)間;計(jì)算長(zhǎng)度l的下限L0為最外側(cè)減震器間的間距，上限L為錨墊板間的間距，如圖4;對(duì)于抗彎剛度，文獻(xiàn)［8]用單根鋼絲的抗彎剛度之和作為整個(gè)吊桿的抗彎抗度，文獻(xiàn)［9]則用同等直徑的鋼柱作為吊桿的抗彎剛度。而事實(shí)上，吊桿的抗彎剛度介于上述最小值和最大值之間。因此，EImin為單根鋼絲的抗彎剛度值之和，EImax為同等直徑鋼柱的抗彎剛度。

2 數(shù)值分析

將第1節(jié)算法編成Mat lab程序，選取文獻(xiàn)［9]中4根吊桿，來(lái)驗(yàn)證該算法的可行性，各吊桿的參數(shù)如表1所示。

表1 各吊桿參數(shù)值Tab.1 Parameters of hanger rods

吊桿1長(zhǎng)度＜5 m，且ξ值很小，表示固有頻率受抗彎剛度影響較大［15];吊桿2、3雖然索力和抗彎剛度值不同，但ξ值近似相等，屬于受力性能相近的吊桿;吊桿4代表長(zhǎng)吊桿，索力值和計(jì)算長(zhǎng)度都較大，ξ值也比較大。

分析上述4根吊桿前20階固有頻率分別對(duì)索力、抗彎剛度和計(jì)算長(zhǎng)度的靈敏度，分析結(jié)果如圖1、圖2、圖3所示。

從下面3個(gè)圖可以看出:

(1)頻率對(duì)索力的相對(duì)靈敏度隨著階次的增加而減小，頻率對(duì)抗彎剛度、索長(zhǎng)的相對(duì)靈敏度隨著階次的增加而變大，且頻率對(duì)索長(zhǎng)的相對(duì)靈敏度是負(fù)值;

(2)相對(duì)于索力和抗彎剛度兩參數(shù)，索的各階頻率對(duì)索長(zhǎng)的相對(duì)靈敏度最大。低階頻率時(shí)，頻率對(duì)索力的相對(duì)靈敏度大于對(duì)抗彎剛度的相對(duì)靈敏度，高階頻率時(shí)，頻率對(duì)抗彎剛度的相對(duì)靈敏度大于對(duì)索力的相對(duì)靈敏度;

(3)2號(hào)、3號(hào)吊桿因?yàn)棣沃到葡嗟?，各參?shù)的相對(duì)靈敏度也基本相等。1號(hào)吊桿ξ值比4號(hào)吊桿ξ值小，因此頻率值對(duì)抗彎剛度的相對(duì)靈敏度1號(hào)吊桿比4號(hào)吊桿大，頻率值對(duì)索力的相對(duì)靈敏度1號(hào)吊桿比4號(hào)吊桿小。

圖1 各階頻率對(duì)索力的相對(duì)靈敏度Fig.1 Relative sensitivity to tension force

圖2 各階頻率對(duì)抗彎剛度相對(duì)靈敏度Fig.2 Relative sensitivity to flexural rigidity

圖3 各階頻率對(duì)索長(zhǎng)相對(duì)靈敏度Fig.3 Relative sensitivity to length

分別計(jì)算上述4根吊桿的前4階固有頻率，并假設(shè)為實(shí)際測(cè)量真實(shí)值，吊桿的索力、抗彎剛度和計(jì)算索長(zhǎng)作為未知參數(shù)，通過(guò)第1節(jié)中所述迭代算法計(jì)算各吊桿索力值T，抗彎剛度EI和計(jì)算長(zhǎng)度L。

為了驗(yàn)證算法對(duì)不同的初始值都收斂到精確解，迭代步驟(1)中初始值T0、EI0、L0取不同值:1號(hào)吊桿分別取真實(shí)值的80%，80%，80%;2號(hào)吊桿分別取真實(shí)值的120%，120%，120%;3號(hào)吊桿分別取真實(shí)值的80%，150%，60%;4號(hào)吊桿分別取真實(shí)值的130%，70%，150%。計(jì)算結(jié)果如表2所示，表中最后一列是式(1)在已知計(jì)算索長(zhǎng)，不考慮抗彎剛度時(shí)由基頻計(jì)算的索力值。

從表中計(jì)算結(jié)果可以看出:

(1)基于拉緊的弦振動(dòng)理論的公式在吊桿ξ值較小時(shí)，計(jì)算索力值將引起很大誤差，且是偏大值。如表中吊桿1的計(jì)算索力值相對(duì)誤差為10.5%，若用高階頻率計(jì)算時(shí)，誤差將更大，因?yàn)楦唠A頻率受抗彎剛度影響更大;

(2)采用本文介紹的迭代算法時(shí)，各參數(shù)的誤差基本都在5%以內(nèi)。其中，計(jì)算索長(zhǎng)精度最好，主要原因是各階頻率對(duì)索長(zhǎng)都較敏感，更容易收斂于真實(shí)值，而2號(hào)、3號(hào)、4號(hào)吊桿的抗彎剛度值的計(jì)算結(jié)果誤差較大，是由于這3根吊桿ξ值較大，各階頻率對(duì)抗彎剛度相對(duì)不敏感，迭代時(shí)收斂速度較慢，誤差也較大。

(3)2號(hào)、3號(hào)吊桿雖然長(zhǎng)度不等，但是力學(xué)性能基本相同。因此，長(zhǎng)、短吊桿的分類不能簡(jiǎn)單的只依賴于索的計(jì)算長(zhǎng)度的大小。用ηn表示考慮和不考慮抗彎剛度時(shí)吊桿的第n階頻率的比值，由式(1)、式(8)可得:

表2 吊桿各參數(shù)計(jì)算結(jié)果Tab.2 Estimation results of the parameters

3 工程應(yīng)用

102國(guó)道跨伊通河大橋是三跨飛燕式異性鋼管混凝土拱橋，主跨158 m，橋?qū)?0 m。主拱共設(shè)16對(duì)吊桿，順橋向間距6 m，規(guī)格均為L(zhǎng)ZM7－61型，索體采用PES(FD)系列新型低應(yīng)力防腐拉索。如圖4，每套吊桿包含吊桿兩端錨頭、螺母、減震器、和保護(hù)罩。吊桿長(zhǎng)度L是指每根吊桿兩端錨頭錨墊板之間的理論長(zhǎng)度值，L0是最外側(cè)減震器間距離。

在施工調(diào)索期間，選取其中3根吊桿進(jìn)行監(jiān)測(cè)，各吊桿的參數(shù)見(jiàn)表3。將A104型無(wú)線加速度傳感器固定在吊桿上，以200 Hz采樣頻率進(jìn)行采樣。后將時(shí)程序列重采樣并低通濾波將高頻部分濾掉，且去除趨勢(shì)項(xiàng)后，得到各吊桿的頻譜圖。吊桿B加速度時(shí)程曲線和頻譜圖分別如圖5、圖6所示。

從圖6中明顯識(shí)別出吊桿前6階頻率分別為5.792 Hz，11.665 Hz，17.698 Hz，23.896 Hz，30.241 Hz，36.278 Hz。

應(yīng)用第1節(jié)中所述迭代算法，A、B、C 3根吊桿各參數(shù)的上、下限如表3中所示，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4，表中式(1)的計(jì)算長(zhǎng)度選取本文的計(jì)算結(jié)果，即表中第4列。將各計(jì)算值與同步張拉吊桿的千斤頂油壓表讀數(shù)相比較，本文方法的計(jì)算索力值誤差較小，能滿足工程精度要求。

圖4 吊桿錨固詳圖Fig.4 Structure of hanger rod

圖5 吊桿B加速度時(shí)程曲線Fig.5 Acceleration time-history responses of rod B

圖6 吊桿B頻譜圖Fig.6 Power spectrum density of rod B

表3 吊桿拉索參數(shù)表Tab.3 Parameters of hanger rods

表4 吊桿各參數(shù)計(jì)算結(jié)果Tab.4 Estimation results of the parameters

4 結(jié)論

本文分析了吊桿頻率對(duì)索力、抗彎剛度和計(jì)算長(zhǎng)度3參數(shù)的靈敏度，同時(shí)提出了基于靈敏度分析的優(yōu)化算法，可同時(shí)計(jì)算出3參數(shù)。該方法有三點(diǎn)優(yōu)勢(shì):

(1)計(jì)算精度高，考慮了抗彎剛度對(duì)各階頻率的影響，特別適用于ξ值≤20的短吊桿;

(2)不引入考慮吊桿未知邊界條件的參數(shù)，而是用計(jì)算長(zhǎng)度來(lái)修正吊桿兩端等效成簡(jiǎn)支約束后的影響;

(3)不僅能計(jì)算出索力值，而且還能較精確得到吊桿的抗彎剛度。此方法用于振動(dòng)法監(jiān)測(cè)吊桿，不需要建立和修正吊桿的有限元模型，可實(shí)時(shí)用計(jì)算索力值和抗彎剛度雙參數(shù)對(duì)吊桿和整個(gè)橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行健康狀態(tài)評(píng)估。

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