柳 妮

(四川文理學院物理與工程技術(shù)系，四川 達州 635000)

1963年，美國氣象學家Lorenz構(gòu)造了著名的混沌Lorenz系統(tǒng)模型，開創(chuàng)了科學家研究混沌的先河.繼 Lorenz后，研究者構(gòu)造出了混沌Rossler系統(tǒng)、混沌Chua電路系統(tǒng)、混沌Chen系統(tǒng)、混沌Lü系統(tǒng)和混沌Liu系統(tǒng)等著名的三維自治混沌系統(tǒng)，并且將這些系統(tǒng)廣泛應用于保密通信、控制工程、生物工程等領域.然而，這些三維自治混沌系統(tǒng)只有一個正的Lyapnov指數(shù)，其動力學行為不足夠復雜，吸引子結(jié)構(gòu)比較簡單.隨著計算機的高速發(fā)展，短期預報、神經(jīng)網(wǎng)絡預測等攻擊方法的進步，三維混沌系統(tǒng)在信息安全、保密通信等工程中的應用，其優(yōu)勢越來越遭到削弱.近年來，許多研究者把目光集中在能產(chǎn)生兩個正的Lyapunov指數(shù)的四維超混沌系統(tǒng)研究上，出現(xiàn)一大批新的超混沌系統(tǒng)，例如超混沌Lorenz系統(tǒng)、超混Rossler系統(tǒng)、超混沌 Chen系統(tǒng)、超混沌 Liu系統(tǒng)和超混沌 Qi系統(tǒng)［1－15］及其電路實現(xiàn)等.

從現(xiàn)有文獻看，四維超混沌系統(tǒng)主要是在原有三維混沌系統(tǒng)基礎上添加線性或非線性控制項來構(gòu)造不同的超混沌系統(tǒng).這些四維超混沌系統(tǒng)中，許多系統(tǒng)的特征參數(shù)使系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)范圍遠遠大于使之處于超混沌狀態(tài)的范圍，且可能出現(xiàn)混沌和超混沌區(qū)域交替的現(xiàn)象.而在判斷系統(tǒng)是否處于混沌狀態(tài)的諸多方法中，只有李雅普諾夫指數(shù)法可以區(qū)分系統(tǒng)是處于混沌狀態(tài)還是超混沌狀態(tài)，其它的方法如功率譜法、龐加萊截面法等不能區(qū)分系統(tǒng)是處于混沌狀態(tài)還是超混沌狀態(tài).如果一個系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)的參數(shù)范圍過小，那么它在外界影響下，較容易得到混沌信號，而不容易區(qū)分所得到的信號是混沌的還是超混沌的.因此，最近研究的主要目標是擴大系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)的參數(shù)范圍［11－12］，研究方法是改變?nèi)S系統(tǒng)到四維系統(tǒng)中加入的控制器的類型和調(diào)整不同參數(shù)，這些方法局限于四維系統(tǒng)，由于系統(tǒng)參數(shù)甚多，要得到超混沌狀態(tài)范圍廣的參數(shù)十分不易.本文針對已有方法的不足，通過增加維數(shù)的方法，嘗試構(gòu)造出五維超混沌Lorenz系統(tǒng)，力求達到:1)擴大系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)的特征參數(shù)范圍;2)盡量減小或者除去系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)的參數(shù)范圍，避免混沌與超混沌交替出現(xiàn);3)從分岔圖看，力求完美呈現(xiàn)出系統(tǒng)從穩(wěn)定到周期、擬周期、混沌和超混沌狀態(tài)的演化過程.

1 新超混沌Lorenz系統(tǒng)描述

文獻［16］給出了一個三維超混沌Lorenz系統(tǒng)，系統(tǒng)方程為:

我們在系統(tǒng)(1)上加入一個非線性反饋控制器w到第一個方程，再加入一個線性狀態(tài)控制器u到第二個方程，構(gòu)成一個新的五維自治系統(tǒng)，以期擴大系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)的范圍，突顯系統(tǒng)從平衡點到周期軌道再到擬周期、混沌和超混沌的過程.具體動力學系統(tǒng)方程為:

2 系統(tǒng)耗散性分析和系統(tǒng)平衡點分析

2.1 系統(tǒng)耗散性分析

對系統(tǒng)(2)，有所以系統(tǒng)(2)是耗散系統(tǒng)，并且以指數(shù)速率收斂，當t→∞ 時，包含系統(tǒng)軌線的每個小體積元以指數(shù)速率收縮到0，最終系統(tǒng)所有的軌線將被限制在一個體積為0的極限點集上，并且它的漸近動力學行為會被固定在一個吸引子上，這說明混沌和超混沌吸引子存在.

2.2 系統(tǒng)平衡點分析

系統(tǒng)(2)的平衡狀態(tài)方程為

解方程組(4)可得系統(tǒng)唯一平衡點 S0(0，0，0，0，0)與系統(tǒng)的參數(shù) a，b，c，d，r都無關(guān).系統(tǒng)在平衡點S0處線性化系統(tǒng)(2)得到對應的Jaccobi矩陣為

其特征值方程為

(λ +b)(d- λ)［λ3+(a+1)λ2+

(a-ac+r)λ +ar］ =0

由Routh－Hurwitz定理可知:當r＞2970時，系統(tǒng)將穩(wěn)定于S0點;當r＜2970時，S0點是不穩(wěn)定平衡點，系統(tǒng)可能產(chǎn)生混沌、超混沌吸引子、擬周期運動狀態(tài)或周期運動狀態(tài).

3 系統(tǒng)分岔分析

眾所周知，在已有混沌方法中只有Lyapunov指數(shù)方法可以準確判定系統(tǒng)是處于混沌還是超混沌，因此假設系統(tǒng)(2)的Lyapunov指數(shù)分別為λLi(i=1，2，3，4，5)且滿足 λL1＞ λL2＞ λL3＞λL4＞λL5，由穩(wěn)定性理論可知:λL5＜λL4＜λL3＜λL2＜λL1＜0時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定點;當λL5＜λL4＜λL3＜λL2＜λL1=0時，系統(tǒng)處于周期狀態(tài);當λL5＜λL4＜λL3＜0和λL2=λL1=0時，系統(tǒng)處于擬周期狀態(tài);當λL5＜λL4＜λL3＜0，λL2=0，λL1＞0和λL5+λL4+λL3+λL2+λL1＜0時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài);當λL5＜λL4＜0，λL3=0，λL2＞0，λL1＞0和λL5+λL4+λL3+λL2+λL1＜0時，系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài).我們采用Wolf相空間重構(gòu)法和四階龍格－庫塔法計算系統(tǒng)(2)的5個lyapunov指數(shù)，取系統(tǒng)初始值為(1，1，1，1，1)，固定系統(tǒng)參數(shù) a=10，b=，c=28，d=-1，調(diào)整參數(shù)r的范圍為0＜r≤35，系統(tǒng)隨著參數(shù)r變化的lyapunov指數(shù)譜和狀態(tài)x對應的分岔圖如圖1(a)所示.

根據(jù)圖1(b)和圖1(c)所示，可以得出系統(tǒng)(2)隨參數(shù)r變化的動力學行為如下:當0＜r＜28時，系統(tǒng)具有2個正的Lyapunov指數(shù)，即λL1，λL2＞0，系統(tǒng)處于超混沌運動狀態(tài);當28＜r＜50時，系統(tǒng)處于擬周期運動狀態(tài);當50≤r＜2970時，系統(tǒng)處于周期軌道;當r＞2970時，系統(tǒng)處于平衡點.

圖1 當 a=10，b=8/3，c=28，d= －1，0 ＜r＜35時，系統(tǒng)(2)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜

圖2 當 a=10，b=8/3，c=28，d= －1，r=10 時系統(tǒng)(2)處于超混沌狀態(tài)時的相軌跡圖

圖3 當 a=10，b=8/3，c=28，d= －1，r=30 時系統(tǒng)(2)處于擬周期狀態(tài)時的相軌跡圖

圖4 當 a=10，b=8/3，c=28，d= －1，r=52 時系統(tǒng)(2)處于周期狀態(tài)時的相軌跡圖

4 結(jié)語

本文在四維自治動力學系統(tǒng)中加入線性反饋控制器構(gòu)造出五維自治超混沌動力學系統(tǒng)，通過對系統(tǒng)的動力學耗散性、平衡點性質(zhì)和分岔行為等分析發(fā)現(xiàn):1)五維超混沌系統(tǒng)具有很寬的使系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)的特征參數(shù)范圍，僅有很小的參數(shù)范圍使系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，在實際應用中可以避免系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的混沌信號和超混沌信號而難以區(qū)分的困難;2)系統(tǒng)從平衡點到周期狀態(tài)、擬周期狀態(tài)、混沌狀態(tài)，進而到超混沌狀態(tài)，過程十分明顯，沒有出現(xiàn)互相交替的現(xiàn)象，是一個完美的動力學演變過程，處于擬周期狀態(tài)的參數(shù)范圍較大;3)這種方法對其它要產(chǎn)生較寬超混沌范圍和較小的混沌范圍的系統(tǒng)具有一定的借鑒意義.

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