劉小川，何 美

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

冪等矩陣與秩冪等矩陣的充要條件

劉小川，何 美

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

滿足A2=A的n階方陣A稱為冪等矩陣，它是矩陣環(huán)Mn（F）的一個(gè)冪等元；滿足r（A）=r（A2）的n階方陣A稱為秩冪等矩陣。它們與空間的分解、不變子空間的研究有密切關(guān)系。利用線性空間的理論方法研究?jī)绲染仃嚺c秩冪等矩陣的性質(zhì)，分別得到與它們等價(jià)的一些充要條件。

冪等矩陣；秩冪等矩陣；矩陣的核；矩陣的列空間；矩陣的秩

1 預(yù)備知識(shí)

冪等矩陣及秩冪等矩陣與空間的分解、不變子空間的研究有密切關(guān)系，本文利用線性空間的理論方法研究?jī)绲染仃嚺c秩冪等矩陣的性質(zhì)，分別得到與它們等價(jià)的一些充要條件。

文中A表示數(shù)域F上的n階矩陣，F(xiàn)n表數(shù)域F上的n維列空間，E表示n階單位矩陣，符號(hào)N（A），R（A），r（A）分別表示矩陣A的核空間，A的列空間，A的秩。若A2＝A，則稱n階方陣A為一個(gè)冪等矩陣，若r（A）＝r（A2），則稱n階方陣A為一個(gè)秩冪等矩陣。

引理1 Fn=R（A）+R（E-A）。

引理2 dim R（A）＝r（A）。

dim N（A）＝n-r（A）。

引理3 若A，E為n階可逆矩陣，則存在n階可逆矩陣P，使B=PA。

2 冪等矩陣的充要條件

定理1 設(shè)A是數(shù)域F上的n階矩陣，則下列命題彼此等價(jià)：

（1）A2＝A （2）N（A）＝R（E-A）

（3）r（A）+r（E-A）＝n （4）Fn=R（A）⊕R（E-A）

證明 （1）?（2） ?ξ∈N（A），Aξ＝0，

所以ξ=ξ-Aξ＝（E-A）ξ∈R（E-A）。

反之，?ξ∈R（E-A），?α∈Fn，使ξ＝（E-A）α，所以Aξ=A（E-A）α＝（A-A2）α＝0，故ξ∈N（A）。因此N（A）＝R（E-A）。

（2）?（3）由引理2得

r（E-A）＝dim R（E-A）＝dim N（A）＝n-r（A）。

故r（A）+r（E-A）＝n。

（3）?（4）由引理1，F(xiàn)n=R（A）+R（E-A），又由于r（A）+r（E-A）＝n，得

n＝dim Fn＝dim（R（A）+R（E-A））＝

dimR（A）+dimR（E-A）-dim（R（A）∩R（E-A））＝

r（A）+r（E-A）-dim（R（A）∩R（E-A））＝

n-dim（R（A）∩R（E-A）），

故dim（R（A）∩R（E-A））＝0，

所以R（A）∩R（E-A）＝｛0｝，

從而有Fn=R（A）⊕R（E-A）。

（4）?（1）?ξ∈Fn，A（E-A）ξ∈R（A），

（E-A）Aξ∈R（E-A），

而A（E-A）ξ＝（E-A）Aξ＝（A-A2）ξ，

所以（A-A2）ξ∈R（A）∩R（E-A）＝｛0｝，

故（A-A2）ξ＝0，因此A2＝A。

3 秩冪等矩陣的充要條件

定理2 設(shè)A是數(shù)域F上的n階矩陣，則下列命題彼此等價(jià)：

（1）r（A）＝r（A2） （2）N（A）＝N（A2）

（3）Fn=R（A）⊕N（A）（4）A2＝PA（P為可逆矩陣）

證明 （1）?（2）顯然N（A）?N（A2）。

又由于dimN（A）＝n-r（A）＝n-r（A2）＝dimN（A2），

所以N（A）＝N（A2）。

（2）?（3）顯然R（A）+N（A）?Fn。

?ξ∈R（A）∩N（A），則?α∈Fn，使ξ＝Aα，且A ξ＝A2α＝0，所以α∈N（A2）＝N（A），故ξ＝Aα＝0，即R（A）∩N（A）＝｛0｝。

于是

dim（R（A）+N（A））＝dimR（A）+dimN（A）＝

n＝dimFn.所以Fn＝R（A）⊕N（A）。

（3）?（4）取R（A）的一個(gè)基η1，η2，…，ηr，N（A）的一個(gè)基ηr+1，…，ηn。則η1，η2，…，ηn為Fn的一個(gè)基，而且Aη1，Aη2，…，Aηr與A2η1，A2η2，…，A2ηr也是R（A）的兩個(gè)基，并有Aηj＝A2ηj＝0，j＝r+1，…，n。

因?yàn)槿鬹1Aη1+k2Aη2+…+krAηr＝0，

則A（k1η1+k2η2+…+krηr）＝0，

故有k1η1+k2η2+…+krηr∈N（A），

因此k1η1+k2η2+…+krηr＝kr+1ηr+1+…+knηn，

得k1＝…＝kn＝0，所以Aη1，Aη2，…，Aηr線性無關(guān)，從而是R（A）的一個(gè)基。

同理可證A2η1，A2η2，…，A2ηr也是R（A）的一個(gè)基。

現(xiàn)在分別任意添加n-r列Ar+1，…，An與Br+1，…，Bn，使n階方陣

由此可得P（Aηi）＝PA（ηi）＝A2ηi，i＝1，…，r。

又PA（ηj）＝P（Aηj）＝0＝A2ηj，j＝r+1，…，n。

因此，對(duì)?k，有PA（ηk）＝A2ηk，k＝1，…，n。

即PA（η1，η2，…，ηn）＝A2（η1，η2，…，ηn）。

令C＝（η1，η2，…，ηn），則C可逆，從而PAC＝A2C，因此A2＝PA。

（4）?（1）由于P可逆，故r（A）＝r（A2）。

定理3 設(shè)A是數(shù)域F上的n階矩陣，λ1，λ2，…，λk是A的非零特征根。

則A是秩冪等矩陣?A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為

Ji為對(duì)應(yīng)于λi的若當(dāng)塊，即

證明 設(shè)A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為J，則存在可逆矩陣P使P-1AP＝J.不妨設(shè)J中對(duì)應(yīng)于非零特征根λ1，λ2，…，λk的子塊分別為

從而有r（A）＝r（J）＝r（B）+r（C），r（A2）＝r（J2）＝r（B2）+r（C2）＝r（B）+r（C2）。因此，

若r（A）＝r（A2），可得r（C）＝r（C2），而由于C中的若

由以上證明可知，r（A）＝r（B）＝r（B2）＝r（A2）。

［1］張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［2］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室.高等代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［3］張樹青，王曉靜.線性空間的冪等變換與對(duì)合變換的幾個(gè)等價(jià)表示［J］.煙臺(tái)師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，20（1）：4-5.

［4］宿維軍.冪等矩陣與冪等變換［J］.重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，27（2）：28-29.

［5］左可正.每個(gè)矩陣都能表成兩個(gè)秩冪等矩陣之和［J］.湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，28（4）：19-21.

［6］卜長(zhǎng)江，李娜，孫艷玲.矩陣線性組合冪等性及立方冪等性的一些結(jié)論［J］.哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，20（12）：1458-1460.

〔編輯 高?！?/p>

The Necessary and Sufficient Conditions for Idempotent Matrix and Rank-idempotent Matrix

LIU Xiao-chuan，HE Mei
（School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009）

A matrix of satisfying A＝A2is called idempotent matrix.It is an idempotent element of matrix ring Mn（F）.A matrix of satisfying r（A）＝r（A2）is called rank-idempotent matrix.They are closely related to decomposition of space and invariant subspace.Some properties of idempotent matrix and rank-idempotent matrix are discussed by using methods of linear space.The necessary and sufficient conditions for idempotent matrix and rank-idempotent matrix are given.

idempotent matrix；rank-idempotent matrix；kernel of matrix；column space of matrix；rank of matrix

O151.2

A

1674-0874（2011）01-0009-03

2010-11-26

劉小川（1964-），女，河北陽(yáng)原人，副教授，研究方向：矩陣論。