董慧穎 李文廣

1.沈陽(yáng)理工大學(xué)，沈陽(yáng)，110159 2.山東省機(jī)器人與制造自動(dòng)化技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，濟(jì)南，250014

0 引言

在進(jìn)行離線編程時(shí)，需要標(biāo)定仿真機(jī)器人模型與實(shí)際機(jī)器人本體間的誤差，機(jī)器人一般有較好的重復(fù)定位特性，但是其絕對(duì)定位精度并不高。因此，很長(zhǎng)一段時(shí)間以來(lái)人們一直采用“錄播”的方式來(lái)讓機(jī)器人工作，忽略了它的絕對(duì)定位精度。標(biāo)定的目的就是要調(diào)整機(jī)器人關(guān)節(jié)零位偏差與末端位姿間的關(guān)系，提高其絕對(duì)定位精度。一個(gè)機(jī)器人的標(biāo)定任務(wù)分為運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建立、位姿測(cè)量、參數(shù)辨識(shí)和誤差補(bǔ)償4個(gè)基本步驟。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是決定機(jī)器人精度的一個(gè)很重要因素，它必須能夠描述所有影響機(jī)器人末端位姿的因素。目前，應(yīng)用最為廣泛的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是D－H模型。對(duì)任意兩鄰接連桿，該模型有圖1所示坐標(biāo)關(guān)系，圖中4個(gè)D－H參數(shù)分別是連桿長(zhǎng)度ai、連桿偏轉(zhuǎn)?i、連桿偏移di、關(guān)節(jié)角度θi。劉宇等[1]在對(duì)空間機(jī)器人位姿精度的研究中采用了D－H建模方法，并采用極大似然算法對(duì)機(jī)器人的連桿參數(shù)進(jìn)行了辨識(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，位姿精度提高了3倍多。

圖1 D－H模型

Lim等[2]提出了一種能同時(shí)標(biāo)定機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差及彈性形變誤差的算法，并針對(duì)實(shí)時(shí)應(yīng)用編寫(xiě)了相應(yīng)的Windows應(yīng)用程序，模型描述的誤差因子越全面，則機(jī)器人控制驅(qū)動(dòng)器的位姿就越接近實(shí)際的機(jī)器人位姿，末端誤差可以減小到1mm以?xún)?nèi)。Radkhah等[3]提出了一種新穎的問(wèn)題建模方法，并用于自標(biāo)定，該方法基于正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方法，整合了幾何與非幾何誤差參數(shù)，最終將機(jī)器人末端精度從7×10－3～2×10－2mm提高到了1×10－9～1×10－4mm。馮濤等[4]對(duì)穿刺機(jī)器人采用指數(shù)積方法建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，然后導(dǎo)出只需位置量的線性誤差模型，并設(shè)計(jì)了簡(jiǎn)便有效的末端位置標(biāo)定方案，從而避免了D－H建模方式的奇異問(wèn)題，將誤差量減小了50%。Lou等[5]解釋了原始指數(shù)積標(biāo)定因關(guān)節(jié)偏移而總失敗的原因，并提出了一種修正的指數(shù)積建模方法，設(shè)計(jì)了更為簡(jiǎn)易實(shí)用的末端單點(diǎn)測(cè)量法。

2 位姿測(cè)量

測(cè)量是機(jī)器人標(biāo)定過(guò)程的關(guān)鍵步驟。最初的機(jī)器人標(biāo)定都是基于開(kāi)環(huán)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)鏈的?；陂_(kāi)環(huán)運(yùn)動(dòng)學(xué)鏈的機(jī)器人在標(biāo)定過(guò)程中，位姿測(cè)量是必不可少的步驟，測(cè)量結(jié)果的精度直接關(guān)系到標(biāo)定精度。然而，機(jī)器人末端位姿的高精度測(cè)量是比較困難的，尤其是姿態(tài)的測(cè)量，因此，目前很多的標(biāo)定方法都是基于位置精度的。葉聲華等[6]采用激光跟蹤儀作為測(cè)量工具，對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，通過(guò)建立工業(yè)機(jī)器人模型，測(cè)量獲取關(guān)節(jié)變量與末端法蘭盤(pán)中心位置在基坐標(biāo)系下的準(zhǔn)確映射關(guān)系，共標(biāo)定25個(gè)幾何參數(shù)，標(biāo)定后的平均誤差和均方根誤差改善40%以上。Ji等[7]采用三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x作為測(cè)量工具，提出了一種對(duì)操作機(jī)進(jìn)行標(biāo)定的位姿測(cè)量方法，并將該方法用于并聯(lián)機(jī)器人，經(jīng)試驗(yàn)，標(biāo)定后精度有了明顯的提高。Lee等[8]采用室內(nèi)全局定位系統(tǒng)（IGPS）作為測(cè)量手段，對(duì)工業(yè)六自由度弧焊操作機(jī)完成了運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定，標(biāo)定后，機(jī)器人位置精度提高至0.2mm。為解決機(jī)器人位姿難以測(cè)量的問(wèn)題，Bennett等[9]提出了機(jī)器人閉環(huán)運(yùn)動(dòng)學(xué)鏈自動(dòng)標(biāo)定方法，指出對(duì)閉環(huán)機(jī)構(gòu)機(jī)器人的標(biāo)定無(wú)須測(cè)量機(jī)器人末端位姿，僅從關(guān)節(jié)角度值就可以完成。

本文所采用的基于平面精度的標(biāo)定方法同樣屬于閉環(huán)標(biāo)定范疇，以末端限位的方式隱含了閉環(huán)條件，同時(shí)也繼承了部分開(kāi)環(huán)標(biāo)定方式下的測(cè)量成分。

3 參數(shù)辨識(shí)

使用平面精度標(biāo)定方法的前提是機(jī)器人各關(guān)節(jié)是可以獨(dú)立控制的，實(shí)際應(yīng)用中可以通過(guò)使用機(jī)器人示教盒實(shí)現(xiàn)控制。圖2中的理想平面是機(jī)器人空間一已知法向量的平面，通過(guò)示教盒控制機(jī)器人各關(guān)節(jié)，讓其在工作空間的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

圖2 平面誤差示意圖

在實(shí)際的測(cè)量過(guò)程中，為保證機(jī)器人末端手爪位于所選限位平面內(nèi)，可通過(guò)在機(jī)器人手爪位置安裝探針裝置，在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，控制機(jī)器人手爪與限位平面始終保持同等間距。如果不能完全保證機(jī)器人末端的平面運(yùn)動(dòng)，在測(cè)量數(shù)據(jù)充足的條件下，個(gè)別測(cè)量失誤對(duì)誤差的辨識(shí)影響不大。

在控制機(jī)器人平面運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，通過(guò)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)控制器記錄平面上每點(diǎn)處的關(guān)節(jié)角度值。由所記錄的關(guān)節(jié)角度數(shù)據(jù)經(jīng)各關(guān)節(jié)連桿傳遞后得到理想機(jī)器人坐標(biāo)系下的實(shí)際平面，也就是圖2中傾斜的平面，則評(píng)價(jià)方程如下：

其中，ri是所測(cè)量平面上的第i個(gè)點(diǎn)的位置量，m是所測(cè)量的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，n是平面的單位法向量，d是原點(diǎn)到所測(cè)量平面的距離，ρ是包含所有需要標(biāo)定的參數(shù)的向量，θ是所測(cè)量的關(guān)節(jié)角向量。不同于其他使用外部測(cè)量工具的測(cè)量方法，這里ri是通過(guò)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)基于參數(shù)ρ計(jì)算出來(lái)的位置量。

基于上述分析，將標(biāo)定問(wèn)題簡(jiǎn)化為評(píng)價(jià)方程式（1）最小的優(yōu)化問(wèn)題。

使用該方法的幾個(gè)前提假設(shè)：機(jī)器人末端能夠在空間平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)；關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器能夠記錄對(duì)應(yīng)平面上每點(diǎn)處機(jī)器人的關(guān)節(jié)角度值；整個(gè)系統(tǒng)的測(cè)量點(diǎn)數(shù)要足夠求解出所有的誤差參數(shù)。

假定參考坐標(biāo)空間一已知位姿的平面，讓機(jī)器人末端在該平面運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)平面上的每點(diǎn)，測(cè)量方程滿(mǎn)足：

其中，ρ0＝[ρ′ α P]，ρ0是機(jī)器人擴(kuò)展參數(shù)向量，P和α表示機(jī)器人基坐標(biāo)系的位姿向量，ρ′是機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)向量。由于ρ′存在誤差量，但該誤差量相對(duì)于機(jī)器人的名義參數(shù)值來(lái)說(shuō)是十分微小的，故可將式（2）泰勒展開(kāi)，只保留一階項(xiàng)得

其中，J（ρ0，θi）為該系統(tǒng)的雅可比矩陣，該雅可比矩陣是對(duì)應(yīng)機(jī)器人末端位置的分量矩陣，即機(jī)器人末端位置量對(duì)各個(gè)誤差量的微分。

根據(jù)式（3），將該平面上的m個(gè)點(diǎn)描述成：

然后就可以應(yīng)用最小二乘法求解誤差量dρ′：

4 誤差補(bǔ)償及雅可比矩陣分析

將式（7）所求得的誤差參數(shù)dρ′用于更新機(jī)器人的名義參數(shù)值，并將該值作為修正后的機(jī)器人參數(shù)。

線性誤差可以通過(guò)迭代參數(shù)辨識(shí)算法使得誤差dρ′變得足夠小或小于某一預(yù)先定義的參數(shù)。算法每次迭代后的參數(shù)值可表示如下：

雅可比矩陣是從關(guān)節(jié)速度到笛卡爾速度的轉(zhuǎn)換矩陣。雅可比矩陣中又包括位置速度雅可比和姿態(tài)速度雅可比項(xiàng)，本文使用位置速度雅可比項(xiàng)來(lái)描述機(jī)器人末端在相應(yīng)關(guān)節(jié)角度下的速度矩陣。

旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)對(duì)末端的影響如圖3所示，由于關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)而在末端產(chǎn)生的位移速度為

式中，Zi－1為索引i－1的Z軸方向向量為操作機(jī)末端在i－1坐標(biāo)系下的位置向量。

圖3 旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)對(duì)末端的影響

沿X、Z方向的平移誤差量在操作機(jī)末端產(chǎn)生的位移速度分別是各軸坐標(biāo)系在基坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)矩陣[n′ o a]對(duì)應(yīng)的n′、a向量。

因此對(duì)應(yīng)線性獨(dú)立的誤差分量，可以得到其雅可比矩陣：

式中，d為原點(diǎn)到末端的矢量。

5 仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)中使用Peter Corke的機(jī)器人工具箱建立兩連桿機(jī)器人模型，如圖4所示，其連桿參數(shù)如表1所示。

圖4 兩連桿機(jī)器人模型

表1 機(jī)器人D－H參數(shù)

由于單個(gè)平面標(biāo)定出的數(shù)據(jù)可能會(huì)導(dǎo)致所標(biāo)定的數(shù)據(jù)僅在某個(gè)平面內(nèi)有效，同時(shí)由于機(jī)器人的工作空間是某一有限空間，故我們?cè)谙薅C(jī)器人的平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，給出表2所示的有效約束平面。

表2 標(biāo)定平面

由于光電編碼器具有很高的精度，因此關(guān)節(jié)編碼器的讀數(shù)一般認(rèn)為是精確的。任何的關(guān)節(jié)角度值誤差只可能來(lái)自于關(guān)節(jié)偏移，因此，關(guān)節(jié)偏移被考慮到誤差參數(shù)中。每個(gè)關(guān)節(jié)連桿的誤差參數(shù)由θ1、d1、α1、a1、θ2、d2、α2、a2構(gòu)成。要求解所有誤差參數(shù)，至少需要測(cè)量8組數(shù)據(jù)。在每個(gè)限位平面上選取40個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)作為標(biāo)定數(shù)據(jù)，這些點(diǎn)隨機(jī)分布在各個(gè)平面上的（0.5×0.4）m2區(qū)域內(nèi)。將測(cè)得的數(shù)據(jù)應(yīng)用到式（7），便可得出對(duì)應(yīng)各誤差的實(shí)際值，如表3所示。

表3 誤差參數(shù)辨識(shí)

將表3所示的參數(shù)誤差附加至機(jī)器人的名義參數(shù)值中，可得到經(jīng)誤差矯正后的位置值，對(duì)比矯正前后的位置，便可評(píng)價(jià)該算法的有效性。表4所示為標(biāo)定前后原點(diǎn)到面的距離的均方根誤差。

表4 標(biāo)定前后點(diǎn)到面的距離的均方根誤差對(duì)比

上述仿真實(shí)驗(yàn)表明，基于平面精度的標(biāo)定方法能夠?qū)C(jī)器人的絕對(duì)定位精度提高50倍。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文將一種新穎的機(jī)器人標(biāo)定方法用于提高機(jī)器人的絕對(duì)精度。該方法測(cè)量過(guò)程簡(jiǎn)單，標(biāo)定數(shù)據(jù)獲取容易，有利于普及化。從標(biāo)定原理可看出，機(jī)器人基坐標(biāo)的校準(zhǔn)工作可以省去，簡(jiǎn)化了標(biāo)定過(guò)程，因而可以縮短機(jī)器人線下標(biāo)定時(shí)間。

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