楊珂玲，葛翔宇，石瑋瑋

（1.中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，武漢 430073；2.湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系，武漢 430205；3.華中師范大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，武漢 430079）

0 引言

貝葉斯統(tǒng)計(jì)是由T.R.Bayes于19世紀(jì)創(chuàng)立的數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)重要分支，20世紀(jì)50年代以H.Robins為代表提出了在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型估計(jì)中將經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法與經(jīng)典方法相結(jié)合理論，得到了廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[3]詳細(xì)分析了經(jīng)典線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型（正態(tài)線性單方程）的貝葉斯估計(jì)問題；文獻(xiàn)[4]、[5]和[6]把貝葉斯方法推廣到了非線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型中，主要討論了CES生產(chǎn)函數(shù)模型的貝葉斯估計(jì)問題，把CES生產(chǎn)函數(shù)模型通過兩邊取對數(shù)使其線性化，然后再利用線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的貝葉斯估計(jì)方法進(jìn)行分析。其中文獻(xiàn)[4]還驗(yàn)證了貝葉斯估計(jì)相比傳統(tǒng)估計(jì)方法所得的結(jié)果收斂性更好、經(jīng)濟(jì)意義更實(shí)際等優(yōu)點(diǎn)。本文將進(jìn)一步討論以CES生產(chǎn)函數(shù)模型為例分析單個(gè)方程非線性模型的貝葉斯估計(jì)問題。本文擬采用的模型線性化方法與文獻(xiàn)[4]、[5]和[6]的方法不同，將在CES生產(chǎn)函數(shù)顯性化的問題上進(jìn)行改進(jìn)，并用此方法分析CES生產(chǎn)函數(shù)模型在不同的先驗(yàn)分布下的貝葉斯估計(jì)問題。

1 貝葉斯估計(jì)與傳統(tǒng)估計(jì)方法的區(qū)別

貝葉斯估計(jì)是與經(jīng)典估計(jì)方法相對應(yīng)的一種估計(jì)方法，它的基本思路是：要估計(jì)的模型參數(shù)服從一定分布的隨機(jī)變量，先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)給出待估參數(shù)的先驗(yàn)分布（主觀分布），關(guān)于這些先驗(yàn)分布的信息稱為先驗(yàn)信息；然后根據(jù)這些先驗(yàn)信息與樣本信息相結(jié)合，應(yīng)用貝葉斯定理，求出待估參數(shù)的后驗(yàn)分布；再應(yīng)用損失函數(shù)，得出后驗(yàn)分布的一些特征值，并把它們作為待估參數(shù)的估計(jì)量。

貝葉斯估計(jì)與傳統(tǒng)估計(jì)方法的不同之處為:

（1）參數(shù)觀點(diǎn)的不同。經(jīng)典估計(jì)方法認(rèn)為待估參數(shù)θ∈Θ具有確定性。但是貝葉斯估計(jì)方法認(rèn)為待估參數(shù)θ具有隨機(jī)性,即在具體進(jìn)行觀測（得到樣本x）之前，人們對θ根據(jù)過去的經(jīng)驗(yàn)積累了一些知識。雖然θ的具體值未知，但它服從Θ上的概率分布f(θ)。該分布叫做θ的先驗(yàn)分布。

（2）利用的信息不同。經(jīng)典方法只利用樣本信息，但是貝葉斯方法要求事先提供一個(gè)參數(shù)的先驗(yàn)信息（一般根據(jù)專家經(jīng)驗(yàn)提供）,即非樣本信息，在參數(shù)估計(jì)過程中，這些非樣本信息與樣本信息一起被利用。

（3）對隨機(jī)誤差項(xiàng)的要求不同。經(jīng)典方法除了最大似然法，在參數(shù)估計(jì)過程中并不要求知道隨機(jī)誤差項(xiàng)的具體分布形式，但在假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)及在貝葉斯估計(jì)時(shí)都要知道隨機(jī)誤差項(xiàng)的具體分布形式。

（4）選擇參數(shù)估計(jì)量的準(zhǔn)則不同。經(jīng)典方法一般用最小二乘法和最大似然原理為準(zhǔn)則，求參數(shù)估計(jì)量；但是貝葉斯估計(jì)則需要構(gòu)造一個(gè)損失函數(shù)（一般采用二次損失函數(shù)），并以損失函數(shù)最小化為準(zhǔn)則求參數(shù)估計(jì)量。

2 單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型貝葉斯估計(jì)的過程

2.1 貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法

定理1（離散型）設(shè)A1,A2,...An,...是一完備事件組，則對任一事件B,P(B)＞0,有：

式（1）稱為貝葉斯公式。P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為原因的先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率。P(Ai)（i=1,2,....）是在不知道事件B是否發(fā)生的情況下諸事件發(fā)生的概率。在獲得新的信息（事件B發(fā)生）后，人們對諸事件發(fā)生的概率P(Ai|B)就有了新的估計(jì)。

定理2（連續(xù)型）設(shè)θ為待估參數(shù)，θ的先驗(yàn)分布為g(θ)，X為樣本觀測信息，X的密度函數(shù)記作f(X|θ)，g(θ|X)為θ的后驗(yàn)分布密度函數(shù)：

其中，對θ而言 ∫θf(X|θ)g(θ)dθ是常數(shù)，即f(X)可以認(rèn)為是常數(shù)。f(X|θ)在形式上同θ的似然函數(shù)L(θ|X)一致，所以（2）式可改寫為：

即后驗(yàn)信息正比于樣本信息與先驗(yàn)信息的乘積，f(x|θ)g(θ)稱為g(θ|X)的核，（3）式表明通過樣本信息對先驗(yàn)信息的修正來得到更準(zhǔn)確的后驗(yàn)信息。在得到后驗(yàn)分布的密度函數(shù)后，可以進(jìn)行參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。

2.2 損失函數(shù)

取損失函數(shù)為二次函數(shù)，則得

定理3[1]待估函數(shù)h(θ)取值于R1，損失函數(shù)為L(θ,d)=λ(θ)[h(θ)-d]2，0＜λ(θ)＜∞,θ∈Θ 。則h(θ)的貝葉斯估計(jì)為：

2.3 貝葉斯估計(jì)的過程

（1）確定模型的形式，找出待估參數(shù)β。

（2）給出待估參數(shù)β的先驗(yàn)分布。待估參數(shù)β是一個(gè)多維向量，此時(shí)需要給出多參數(shù)的聯(lián)合先驗(yàn)信息。若無先驗(yàn)信息，一般可取β為均勻分布。實(shí)際上常用的先驗(yàn)分布為自然共軛分布，即β的密度函數(shù)（先驗(yàn)信息）和X密度函數(shù)（樣本信息），以及兩者結(jié)合后產(chǎn)生的函數(shù)（后驗(yàn)分布）服從同一分布。

利用樣本信息，修正先驗(yàn)分布。利用貝葉斯定理2導(dǎo)出β的后驗(yàn)密度函數(shù)。

選擇二次損失函數(shù)，利用β的后驗(yàn)密度函數(shù)和定理3，進(jìn)一步推斷出β的點(diǎn)估計(jì)。

3 常替代彈性（CES）生產(chǎn)函數(shù)模型的貝葉斯估計(jì)

這里我們考慮在只有資本K和勞動L兩種要素下，規(guī)模報(bào)酬不變類型的常替代彈性（CES）生產(chǎn)函數(shù)模型：[2]

其中，Qi為第i個(gè)系統(tǒng)產(chǎn)出值，g=-ρ=(ε-1)/(ε),ε是替代彈性參數(shù)。先在（4）式兩邊都取g次冪，然后重排各項(xiàng)，得

設(shè)Y是一組n×1的向量觀測值，且滿足

應(yīng)該強(qiáng)調(diào)和s2都是g的函數(shù)。且貝葉斯估計(jì)分無先驗(yàn)信息和先驗(yàn)信息兩種。

(1)先驗(yàn)信息的貝葉斯估計(jì)

將（12）與（10）式的似然函數(shù)合并，得參數(shù)的后驗(yàn)分布為：

從（13）式可以看出，β的后驗(yàn)密度是一個(gè)3維多元正態(tài)分布，均值為。因此由定理3可得β的貝葉斯估計(jì)為。為了求得g的邊緣后驗(yàn)密度，將（13）式對β積分，得：

式(14)是g的邊緣后驗(yàn)密度。由定理3，根據(jù)這個(gè)密度,可用數(shù)值計(jì)算方法求出g的貝葉斯估計(jì)g。另外從（8）式容易由已有的估計(jì)和得到A,δ的估計(jì)。

(2)有先驗(yàn)信息的貝葉斯估計(jì)

β的先驗(yàn)分布為自然共軛分布,即取正態(tài)密度函數(shù)，用（13）式中的后驗(yàn)分布作為先驗(yàn)分布，為了區(qū)別這兩個(gè)樣本，分別用腳標(biāo)1和腳標(biāo)2表示，在（13）式中的后驗(yàn)密度可用來作為分析新樣本的先驗(yàn)密度。即：

對第二個(gè)樣本(Y2X2),其似然函數(shù)由下式給出：

其中Y2是n2×1的向量，是因變量在第二個(gè)樣本中的觀測值，假定第二個(gè)樣本的β與第一個(gè)樣本的β相同。

將（16）式的似然函數(shù)與（15）式的先驗(yàn)密度合并，可得

可以看出，（17）式與（13）式有完全相同的形式，因而它能用相同的方法來分析。此處假定σ2已知，但實(shí)際上σ2很少是已知的，那么當(dāng)σ2未知時(shí)，CES生產(chǎn)函數(shù)的貝葉斯估計(jì)有待進(jìn)一步討論。

[1]陳希孺.數(shù)理統(tǒng)計(jì)引論[M].北京：科學(xué)出版社，1997.

[2]李子奈.高等計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2000.

[3]李子奈.計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2000.

[4]徐卓順.CGE模型：建模原理、參數(shù)估計(jì)方法與應(yīng)用研究[D].吉林大學(xué)博士論文，2009.

[5]A.Hoff.The Linear Approximation of the CES Function with an Input Variables[J].Marine Resource Economics,2004,(19).

[6]L.C.Adkins,D.S.Rickman,A.Hameed.Bayesian Estimation of Regional Production for CGE Modeling[J].Journal of Regional Science,2003,43(4).