●李玉榮 (金陵中學(xué)河西分校 江蘇南京 210019)

題目如圖 1，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC.點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PA=，PB=5，PC=2，求△ABC的面積.

(2011年“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

圖1

圖2

原解 如圖2，作△ABQ，使得

由AB=2AC，知相似比為2，因此

又由AQ ∶AP=2 ∶1知，∠APQ=90°，得

點(diǎn)評(píng)此解法先通過(guò)作2個(gè)對(duì)角相等的一對(duì)相似三角形，使分散的線段PA，PB，PC相對(duì)集中，進(jìn)而得到2個(gè)直角三角形，為解決問(wèn)題打開(kāi)了突破口.但解法中的

沒(méi)給出過(guò)程.實(shí)際上，四邊形BPAQ是梯形，還需過(guò)點(diǎn)A作梯形的高，進(jìn)一步用勾股定理才能得到.再把這個(gè)式子整體代入三角形面積公式

從而求出△ABC的面積.輔助線的添加無(wú)疑是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.筆者對(duì)此題作了研究，利用圖形變換給出另2種解法，供參考.

另解1 如圖3，分別作點(diǎn)P關(guān)于 BC，AC，AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P1，P2，P3，連結(jié) P1B，P1C，P2C，P2A，P3A，P3B，P3P2，P3P1.由∠BAC=60°，AB=2AC，易知∠BCA=90°，∠ABC=30°，得

因此點(diǎn) P1，C，P2共線，于是

又由△P1BP3為等邊三角形得

得△P1P2P3為直角三角形，故

評(píng)注此解法通過(guò)對(duì)稱(chēng)性構(gòu)造出一個(gè)五邊形，轉(zhuǎn)化為3個(gè)特殊三角形求出其面積，進(jìn)而求出△ABC的面積.

圖3

圖4

另解2 如圖4，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，使得CD=AC，連結(jié)BD.顯然，△ABD為等邊三角形.將△ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBE，DE=AP=，即△PBE為等邊三角形，故 PE=PB=5.延長(zhǎng)PC 至點(diǎn) F，使得CF=CP，則 PF=4.連結(jié) DF，EF，易證△APC≌△DFC，于是

因?yàn)镋F2+PF2=32+42=52=PE2，所以△PEF為直角三角形，故

評(píng)注此解法先構(gòu)造等邊三角形，再類(lèi)比一類(lèi)常規(guī)問(wèn)題解法，將等邊三角形內(nèi)的一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)，最終構(gòu)造出一個(gè)五邊形，然后轉(zhuǎn)化為3個(gè)特殊三角形求出其面積，進(jìn)而求出△ABC的面積.

收獲 從另解1可證得

從另解2也可證得

于是原題可編制成另一個(gè)問(wèn)題：

如圖 5，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC.點(diǎn) P在△ABC內(nèi)，且 PA =，PB=5，PC=2，求∠APC 的度數(shù).

圖5