王黎明(西安電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院，陜西 西安 710071)

醫(yī)學(xué)圖像分割是醫(yī)學(xué)圖像分析、處理等的關(guān)鍵技術(shù)[1-2]，它是醫(yī)學(xué)圖像處理中極為重要的內(nèi)容之一，是實(shí)現(xiàn)圖像測量、配準(zhǔn)、融合以及三維重建的基礎(chǔ)，在臨床診斷中也起著越來越重要的作用，分割的準(zhǔn)確性直接影響后續(xù)任務(wù)的有效性。 FCM(Fuzzy C-Means)對(duì)模糊特征具有很強(qiáng)的魯棒性[3-4]，而且比硬分割能保留更多的信息。雖然傳統(tǒng)的FCM算法在無噪聲或噪聲很低的圖像分割中得到好的分割效果，但由于它只考慮了圖像像素的灰度信息，未利用圖像像素的空間信息，從而使得該算法對(duì)噪聲很敏感。

近年來很多研究者在考慮像素空間信息的前提下，通過修改標(biāo)準(zhǔn)FCM聚類算法的目標(biāo)函數(shù)或者隸屬度函數(shù)使得圖像分割的性能大大提高[5-6]。參考文獻(xiàn)[6]通過引入一個(gè)均值濾波圖像對(duì)標(biāo)準(zhǔn)FCM算法的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行修改，提高了在分割帶有噪聲圖像時(shí)的性能，并已成功應(yīng)用到MRI數(shù)據(jù)的分割中。然而，在計(jì)算中心像素的平均灰度值時(shí),鄰域內(nèi)每個(gè)像素對(duì)中心像素的影響程度不同，鄰域某像素與中心像素值差異性過大，則表明該鄰域像素是噪聲的可能性較大。

本文提出的算法MFCM(Modified Fuzzy C-Means)通過引入一個(gè)自適應(yīng)加權(quán)系數(shù)，自動(dòng)控制鄰域像素對(duì)中心像素的影響程度，從而確定中心像素的灰度值，而不僅僅是求鄰域均值。該算法的開始用FFCM確定初始聚類中心[7]，收斂速度大大提高。試驗(yàn)結(jié)果表明，該算法相當(dāng)有效，對(duì)噪聲具有很強(qiáng)的抑制能力。

1 標(biāo)準(zhǔn)FCM

由BEZDEK J C等人提出的標(biāo)準(zhǔn)FCM[8]聚類算法是從硬C-均值[9]算法發(fā)展而來的,其基本思想是通過迭代尋找最優(yōu)聚類中心 vi和隸屬度函數(shù) uik，使得如式(1)所示的目標(biāo)函數(shù)Jm(U,C)達(dá)到最小，以實(shí)現(xiàn)圖像的優(yōu)化分割。

顯然，標(biāo)準(zhǔn)FCM只考慮了圖像的灰度信息，而沒有考慮圖像的空間信息。

2 改進(jìn)的FCM算法

AHMED M N等人[5]通過加入空間信息修改了標(biāo)準(zhǔn)FCM的目標(biāo)函數(shù)，但是計(jì)算量相當(dāng)大。為了減少計(jì)算量，Chen等人在其基礎(chǔ)上引入鄰域均值濾波,將目標(biāo)函數(shù)修改如下[6]：

其中，α是控制原圖像和其相應(yīng)鄰域的均值平滑過后的圖像的參數(shù);是以xk為中心的鄰域像素的均值，可提前計(jì)算。該算法記為FCM_S1，當(dāng)α為0時(shí)，算法相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)的FCM算法；當(dāng)趨于無窮大時(shí)，就相當(dāng)于用標(biāo)準(zhǔn)的FCM算法對(duì)均值平滑過后的圖像進(jìn)行分割。

然而，通常情況下，在計(jì)算中心像素的灰度平均值時(shí)，鄰域像素對(duì)中心像素的影響程度不同，當(dāng)鄰域某像素與中心像素差異較大時(shí)，表明該鄰域像素是噪聲的可能性更大。為了區(qū)別鄰域像素對(duì)中心像素的不同影響度，本文引入自適應(yīng)加權(quán)系數(shù)AWC(Adaptive Weighted Coefficient)對(duì)原始圖像進(jìn)行濾波，從而改進(jìn)了均值濾波丟失邊緣信息和細(xì)節(jié)模糊的缺點(diǎn)；同時(shí),由于充分利用了空間信息，提高了對(duì)噪聲的抑制能力。自適應(yīng)加權(quán)均值濾波實(shí)現(xiàn)描述如下：

定義一個(gè)方形的加權(quán)窗口(n×n)，對(duì)于一個(gè)如圖1所示的3×3(n=3)的窗口來說，窗口內(nèi)圖像灰度值為：

其中,xj代表窗口內(nèi)像素的灰度值,窗口內(nèi)像素的最大灰度級(jí)記為L,用N=n×n表示窗口內(nèi)像素的總個(gè)數(shù)。

圖1中的窗口 wj(j=1,2,…，n×n）是模板中對(duì)應(yīng)像素的自適應(yīng)加權(quán)系數(shù)，wj由式(8)確定。

圖1 加權(quán)窗口

其中,xi為中心像素，xj是其鄰域像素，Nk是窗口內(nèi)鄰域像素的總數(shù)目，wj對(duì)應(yīng)于像素xj的自適應(yīng)加權(quán)系數(shù)。如果xj與中心像素xi的差值越大，則表明該鄰域像素是噪聲的可能性比較大，其對(duì)中心像素的加權(quán)系數(shù)應(yīng)當(dāng)盡量地小;如果xi與中心像素xj差值越小，則表明該鄰域像素是原始數(shù)據(jù)的可能性大，其對(duì)中心像素的加權(quán)系數(shù)應(yīng)當(dāng)盡量大，通過式(8)便可輕易實(shí)現(xiàn)這一自動(dòng)控制。

窗口內(nèi)中心像素的自適應(yīng)加權(quán)均值可按照式(9)計(jì)算:

類似于式(4)，本文算法修改后的目標(biāo)函數(shù)為：

本文改進(jìn)MFCM算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

(1)給定ε、c和Nk后，使用FFCM計(jì)算初始聚類中心V(0)；

(2)運(yùn)用式（9）計(jì)算自適應(yīng)加權(quán)均值濾波圖像；

(3)根據(jù)式(11)和式(12)計(jì)算新的隸屬度函數(shù) uik和 vi；

(4)選取合適的矩陣范數(shù)，如果‖V(n+1)-V(n)‖≤ε,運(yùn)算終止,否則轉(zhuǎn)到步驟(3)；

(5)根據(jù)隸屬度矩陣，利用最大隸屬度原則將軟分割結(jié)果轉(zhuǎn)化為硬分割結(jié)果，輸出分割結(jié)果，算法結(jié)束。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本算法的高效性和對(duì)噪聲的魯棒性，用標(biāo)準(zhǔn)測試圖像“攝像人”和真實(shí)MR腦部圖像做了大量實(shí)驗(yàn)，并且分別與標(biāo)準(zhǔn)FCM和FCM_S1的分割結(jié)果做了對(duì)比。 算法中的參數(shù)設(shè)置分別為：c=4，ε=1.0e-6,m=2，α=3.8,Nk=8(n=3)。由于算法的開始使用FFCM確定初始聚類中心，經(jīng)過幾次迭代就迅速收斂，具有較強(qiáng)的實(shí)時(shí)性。

3.1 采用標(biāo)準(zhǔn)測試圖像的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖2(a)所示為標(biāo)準(zhǔn)測試圖像“攝像人”。將均值為0， 方 差 為 0.02 的 高 斯 噪 聲 （Gaussian Noise，μ=0,σ=0.02）和噪聲濃度為0.02的椒鹽噪聲 （Salt&Pepper Noise,d=0.02）分別加到原始圖像中，被噪聲污染的圖像分別如圖 2(b)和圖2(c)所示。類別數(shù)c=2，分別用標(biāo)準(zhǔn)FCM、FCM_S1和MFCM分割結(jié)果如圖3和圖4所示。

從圖 3(c)和圖 4(c)可見，同 FCM聚類算法相比，MFCM算法提高了對(duì)噪聲的魯棒性，即有效地消除了噪聲對(duì)圖像分割的影響。

為了定量地評(píng)價(jià)聚類算法的性能，通常采用分割系數(shù)（Partition Coefficient）Vpc和分割熵（Partition Entropy）Vpe進(jìn)行評(píng)價(jià)。Vpc和Vpe定義如下：

這兩個(gè)驗(yàn)證函數(shù)的準(zhǔn)則是：Vpc最大且Vpe最小時(shí)，分割效果 (性能)最好。表 1列出了 FCM、FCM_S1和MFCM算法在分割加有高斯噪聲和椒鹽噪聲的 “攝像人”圖像時(shí)的Vpc和Vpe。從表1可看出，在分割加有高斯噪聲和椒鹽噪聲的 “攝像人”圖像時(shí)，MFCM算法的分割系數(shù)最大,分割熵最小，說明改進(jìn)算法MFCM分割效果好。

表1 三種算法分割加有兩種噪聲的“攝像人”圖像的 Vpc和Vpe對(duì)比

3.2 采用真實(shí)MR腦部圖像的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖5所示為一幅采集的真實(shí)MR腦部圖像，類別數(shù)c=4，分別利用 FCM、FCM_S1和 MFCM分割，結(jié)果如圖6所示，從左到右依次是白質(zhì)、灰質(zhì)、腦脊髓。

圖6表明，F(xiàn)CM_S1采用均值濾波雖然有效消除了噪聲對(duì)分割圖像的影響，但分割的圖像丟失了邊緣和細(xì)節(jié)信息，如圖6（b）中的部分邊緣和腦脊髓的分割甚至不如標(biāo)準(zhǔn)FCM。MFCM采用自適應(yīng)加權(quán)均值濾波，在抑制噪聲影響的前提下，不僅很好地保留了圖像的邊緣和細(xì)節(jié)信息，同時(shí)使得分割的圖像顯得很平滑，整體效果好于FCM和FCM_S1。

三種算法分割真實(shí)MR腦部圖像時(shí)的分割系數(shù)、分割熵如表2所示。

表2 三種算法分割真實(shí)MR腦部圖像的Vpc和Vpe對(duì)比

表2表明,本文提出的改進(jìn)算法MFCM的分割系數(shù)最大，分割熵最小，說明MFCM分割效果好。

針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)FCM對(duì)噪聲比較敏感的不足，本文提出了改進(jìn)算法MFCM，該算法通過引入自適應(yīng)加權(quán)均值濾波修改Chen的目標(biāo)函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。自適應(yīng)加權(quán)均值濾波考慮了計(jì)算中心像素灰度值時(shí)鄰域像素對(duì)中心像素的不同影響。該算法的開始采用FFCM確定初始聚類中心，使得算法的收斂速度大大提高。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文改進(jìn)算法在克服噪聲對(duì)分割結(jié)果的影響方面表現(xiàn)出較強(qiáng)的魯棒性和優(yōu)越性，是一種穩(wěn)健高效的醫(yī)學(xué)圖像分割方法。

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