張海燕，方 勇，彭章友

(上海大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，上海 200072)

小波分析、希爾伯特黃變換HHT(Hilbert Huang Transform)在數(shù)學(xué)、信號(hào)分析、地震勘探數(shù)據(jù)處理和機(jī)械故障診斷等許多領(lǐng)域已取得了具有科學(xué)意義和應(yīng)用價(jià)值的重要成果。

在信號(hào)處理教材中，信號(hào)頻譜分析的基本方法是經(jīng)典的傅里葉變換。教師所教和學(xué)生所學(xué)的是傅里葉變換的定義和性質(zhì)，而對(duì)其工程應(yīng)用以及應(yīng)用上的局限性卻了解不多。我們?cè)谥v授本科生“信號(hào)與系統(tǒng)”和“教學(xué)信號(hào)處理”課程時(shí)，感到將傅里葉變換經(jīng)典理論和最新技術(shù)相互融合是教學(xué)改革的一個(gè)方向［1］。為此本文介紹了傅里葉變換、小波變換和HHT三種頻譜分析方法，利用一個(gè)簡(jiǎn)單非平穩(wěn)信號(hào)，比較這三種頻譜分析方法，利用新的分析方法來(lái)解決工程實(shí)際問(wèn)題。

1 三種譜分析方法的特點(diǎn)

傳統(tǒng)的傅里葉分析是一種純頻域的分析方法，如果一個(gè)信號(hào)函數(shù)f(t)L2(R)(R為實(shí)數(shù))代表模擬信號(hào)，且能量有限，其Fourier變換為［1］

它用頻率不同的各復(fù)正弦分量的疊加來(lái)擬合原函數(shù)，也即用F(ω)來(lái)分辨 f(t)。但是，F(xiàn)(ω)只能刻畫(huà)f(t)在整個(gè)時(shí)間域(-∞，∞)上的頻譜特征，不能反映出信號(hào)在時(shí)間的局部區(qū)域上的頻率特征，特別是非平穩(wěn)信號(hào)在時(shí)間軸上的任何突變，其頻譜將散布在整個(gè)頻率軸上。在傅立葉變換中，人們?nèi)粝氲玫叫盘?hào)的時(shí)域信息，就得不到頻域信息。反之亦然。

小波分析是一種窗口面積固定但時(shí)間窗和頻率窗都可改變的時(shí)頻局部化分析方法［2］。但這種變換實(shí)際上沒(méi)有完全擺脫傅立葉變換的局限.且小波變換結(jié)果很大程度上依賴于基小波，不同的基小波得到精度不同的結(jié)果，基小波的選用往往給研究造成了一定的障礙。

HHT是1998年由Huang等提出的信號(hào)處理方法［3］。該方法適用于非平穩(wěn)的信號(hào)分析，被認(rèn)為是近年來(lái)對(duì)以傅立葉變換為基礎(chǔ)的穩(wěn)態(tài)譜分析的一個(gè)重大突破。但HHT在低信噪比時(shí)性能下降，在對(duì)信號(hào)用HHT分析之前，需要進(jìn)行預(yù)處理以降低噪聲。

HHT變換完全獨(dú)立于傅立葉變換，有如下兩個(gè)主要步驟:①對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，即通過(guò)EMD(Empirical Mode Decomposition)方法，把數(shù)據(jù)分解為滿足Hilbert變換要求的一系列固有模式函數(shù)IMF(Intrinsic Mode Decomposition;②對(duì)分解出的每一階IMF做Hilbert變換，得出各瞬時(shí)頻率，匯總所有IMF分量得到原始非平穩(wěn)信號(hào)的Hilbert譜。

2 簡(jiǎn)單非平穩(wěn)信號(hào)頻譜分析方法舉例

本文應(yīng)用上面介紹的三種方法對(duì)一個(gè)非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行分析。我們通過(guò)對(duì)分析結(jié)果的比較，說(shuō)明在信號(hào)處理中引入新方法的必要性。

假定一個(gè)頻率突變的正弦信號(hào)，在1s之前的頻率是10Hz，在1s之后的頻率突變?yōu)?0Hz，其表達(dá)式寫(xiě)為［4］

該信號(hào)的時(shí)域波形如圖1(a)所示，該正弦信號(hào)不存在噪聲干擾。從圖1可以看出，F(xiàn)ourier譜小波變換和HHT譜一樣都可以反映信號(hào)的頻率特征，也即包含了10Hz和20Hz兩種頻率成分，但精確度卻有差別。圖1(b)給出了Fourier頻譜。

圖1(c)所示的Morlet基小波變換譜，在10Hz和20Hz附近的頻率分辨率比較差。這是由于小波變換本質(zhì)上是一種窗口可調(diào)的傅里葉變換，如果增加頻率分辨率，便會(huì)降低時(shí)域分辨率。同時(shí)，小波變換不能脫離選擇基函數(shù)的困擾，運(yùn)用不同的基小波其結(jié)果也會(huì)相差很遠(yuǎn)。與Fourier譜和小波變換譜相比，圖1(d)所示的HHT譜的分辨率在10Hz和20Hz處更具有頻率聚焦性，分辨率較高。

圖2給出了Haar和Gaussian基的小波變換譜。圖2(a)中Haar小波基20Hz分量的頻譜較寬，10Hz的頻譜峰值只是略微能夠觀察到。圖2(b)中10Hz和20Hz處的頻譜峰值出現(xiàn)不同程度的偏移。與圖1(c)中Morlet基小波變換譜比較可見(jiàn)，Morlet小波基的頻譜特性較好，其頻譜峰值與兩個(gè)頻率分量具有較好的對(duì)應(yīng)性。

圖1 正弦信號(hào)及其頻譜

圖2 正弦信號(hào)Haar和Gaussian基小波變換譜

圖3給出了不同信噪比下正弦信號(hào)的HHT頻譜?？梢钥吹?，低信噪比如(SNR=10dB)時(shí) HHT的頻譜嚴(yán)重失真，不能區(qū)分10Hz和20Hz兩種頻率成分。隨著信噪比的提高，頻譜分辨率提高，在信噪比達(dá)到40dB時(shí)即可接近理想情況。而Fourier頻譜和Morlet基小波變換譜在低信噪比時(shí)只會(huì)引起旁瓣幅度增加，并沒(méi)有影響兩個(gè)主頻分量。圖4所示為信噪比為10dB時(shí)的信號(hào)頻譜。

圖3 不同信噪比下正弦信號(hào)的HHT譜

圖4 SNR=10dB正弦信號(hào)的信號(hào)頻譜

3 結(jié)語(yǔ)

教學(xué)效果成敗的關(guān)鍵不在于學(xué)生認(rèn)識(shí)和記憶了多少定義和定理，而是能否引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具分析典型的物理問(wèn)題［5］。本文通過(guò)一些簡(jiǎn)單示`例，使學(xué)生了解各種信號(hào)處理方法的特點(diǎn)以及適用性，引導(dǎo)學(xué)生在課堂之外關(guān)注信號(hào)處理的新方法，為其盡早進(jìn)入科研領(lǐng)域奠定良好的基礎(chǔ)。

［1］ 鄭君里，應(yīng)啟珩，楊為理.信號(hào)與系統(tǒng)(第二版)［M］.北京:高等教育出版社，2000

［2］ 方勇.數(shù)字信號(hào)處理－原理與實(shí)踐［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2010

［3］ Huang N E，Shen Z，Long S R.The empirical mode decomposition and Hilbert spectrum for nonlinear and non－stationary time series analysis［M］.Proc.R.Soc.London.A.1998，903-95

［4］ 張海燕等.HHT在Lamb波檢測(cè)信號(hào)分析中的應(yīng)用［J］.南京振動(dòng)、測(cè)試與診斷，2010，30(3):223-26

［5］ 鄭君里.信號(hào)與系統(tǒng)第二版寫(xiě)作手記［M］.南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2000，22(4):61-63，82