河南省鄭州市商業(yè)技師學(xué)院 王曉紅

數(shù)學(xué)課程中應(yīng)用意識的強(qiáng)化

河南省鄭州市商業(yè)技師學(xué)院 王曉紅

數(shù)學(xué)課程改革的思路之一就是數(shù)學(xué)課程應(yīng)強(qiáng)化應(yīng)用意識，允許非形式化，這是改革數(shù)學(xué)課程的關(guān)鍵之處。

一、數(shù)學(xué)課程中應(yīng)用意識的發(fā)展現(xiàn)狀

事實(shí)上，數(shù)學(xué)課程中強(qiáng)化數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識早已成為發(fā)達(dá)國家的共識，而我國目前數(shù)學(xué)課程中數(shù)學(xué)應(yīng)用意識十分淡薄，與世界數(shù)學(xué)課程發(fā)展的潮流極不合拍。面對新世紀(jì)的挑戰(zhàn)，重建的數(shù)學(xué)課程應(yīng)該注意將民族的數(shù)學(xué)應(yīng)用成果及時(shí)納入教育內(nèi)容。在課程中及時(shí)增加反映在社會發(fā)展中的應(yīng)用知識，并研究培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力的對策，從而達(dá)到數(shù)學(xué)課程改革與社會進(jìn)步相一致。數(shù)學(xué)課程中強(qiáng)化“應(yīng)用”既是一個(gè)復(fù)雜問題，又是一個(gè)長期未能解決好的問題?！皯?yīng)用”在數(shù)學(xué)教育中有許多解釋，有些人為的非現(xiàn)實(shí)生活的例子，也可能有重要的教育價(jià)值，也可以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的技能，不能一概否定。還有一類傳統(tǒng)的例子是過分“現(xiàn)實(shí)”的，如直接從職業(yè)中拿出來的簿記、稅收；聯(lián)系特殊地方工業(yè)的“三機(jī)一泵”。這就有一個(gè)“誰的現(xiàn)實(shí)”問題，這些例子只是社會的一些特殊需要，不足取。數(shù)學(xué)的重要性主要不在于這樣的“應(yīng)用”，它不可能總是結(jié)合學(xué)生的“現(xiàn)實(shí)”。正如卡爾松（Carson）所言：“現(xiàn)實(shí)是主體和時(shí)間的函數(shù)，對我是現(xiàn)實(shí)的，對別人未必是現(xiàn)實(shí)的；在我兒時(shí)是現(xiàn)實(shí)的，現(xiàn)在不一定再是現(xiàn)實(shí)的了?！?/p>

前面說的都是“現(xiàn)實(shí)”例子用來為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)，當(dāng)數(shù)學(xué)用來為現(xiàn)實(shí)服務(wù)時(shí)，即應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題時(shí)，情況就完全不同了，它是用數(shù)學(xué)去描述、理解和解決學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)問題。這種問題不僅有社會意義，而且不局限于單一的教學(xué)，還要用到學(xué)生多方面的知識，在這方面英國數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)中的課程交叉值得學(xué)習(xí)借鑒。所謂課程交叉就是在某學(xué)科教學(xué)過程中，突出該學(xué)科與現(xiàn)實(shí)生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系。英國的數(shù)學(xué)課程交叉主要表現(xiàn)為：從現(xiàn)實(shí)生活題材中引入數(shù)學(xué)；加強(qiáng)數(shù)學(xué)與其他科目的聯(lián)系；打破傳統(tǒng)格局和學(xué)制限制，允許在數(shù)學(xué)課程中研究與數(shù)學(xué)有關(guān)的其他問題等。

二、數(shù)學(xué)課程中應(yīng)用意識的落實(shí)

數(shù)學(xué)課程中強(qiáng)化“應(yīng)用”意識。即在教材、教學(xué)、考試等方面增加應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。具體可分為如下三個(gè)層次。

1. 用結(jié)論、用數(shù)學(xué)的現(xiàn)成公式，這是最低層次，人們最容易看到的地方。

2. 用方法，如方程的方法、圖表的方法、分析與綜合邏輯推理的方法等。

3. 用思想研討問題的一般過程，觀察、分析、試驗(yàn)；從需要與可能兩個(gè)方面考慮問題；逐步逼近；分類與歸一；找特點(diǎn)、抓關(guān)鍵；從定性到定量等。通過用數(shù)學(xué)，學(xué)生才能理解知識、掌握知識；通過用數(shù)學(xué)，才能訓(xùn)練學(xué)生的思維。

值得注意的是，與課程中強(qiáng)化數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識相關(guān)的一個(gè)問題就是允許非形式化。首先，應(yīng)恰當(dāng)掌握數(shù)學(xué)理論形式化的水平，加強(qiáng)對理論實(shí)質(zhì)的闡述。筆者非常贊同“允許非形式化”的觀點(diǎn)，“不要把生動活潑的觀念淹沒在形式演繹的海洋里”，“非形式化的數(shù)學(xué)也是數(shù)學(xué)”。數(shù)學(xué)課程要從實(shí)際出發(fā)，從問題出發(fā)，開展知識的講述，最后落實(shí)到應(yīng)用。例如，極限概念可以在小學(xué)圓面積公式、初中平面幾何中圓周率的近似值的求法、高中代數(shù)等比數(shù)列求和等處逐步孕伏，在學(xué)微積分時(shí)正式引入，只要不在形式化上過分要求，學(xué)生是不難接受并能加以運(yùn)用的。其次，應(yīng)恰當(dāng)掌握對公式推導(dǎo)、恒等變形及計(jì)算的要求。隨著計(jì)算機(jī)的普及，21世紀(jì)對手工計(jì)算的要求大大降低。從增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識講，也應(yīng)降低對公式推導(dǎo)與恒等變形的要求，否則沒有時(shí)間來講應(yīng)用。要充分利用幾何直觀、形象地加以說明，否則應(yīng)用的重點(diǎn)難以突出，生動活潑的思維會淹沒在繁難的計(jì)算和公式推導(dǎo)中，增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識就會落空，學(xué)生思維水平也不會提高，新內(nèi)容的引入將障礙重重。

三、數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用

在此，筆者要強(qiáng)調(diào)的是，要使數(shù)學(xué)課程中應(yīng)用意識的增強(qiáng)落到實(shí)處，一個(gè)重要的舉措就是數(shù)學(xué)課程應(yīng)對數(shù)學(xué)建模給予極大的關(guān)注。數(shù)學(xué)模型是為了一定目的對現(xiàn)實(shí)原型作抽象、簡化后所得的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它是使用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子以及數(shù)量關(guān)系對現(xiàn)實(shí)原型簡化的本質(zhì)的描述。而對現(xiàn)實(shí)事物具體進(jìn)行構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的過程被稱為數(shù)學(xué)建模。也就是說，數(shù)學(xué)建模一般應(yīng)理解為問題解決的一個(gè)側(cè)面、一個(gè)類型。它解決的是一些非常實(shí)際的問題，要求學(xué)生能把實(shí)際問題歸納（或抽象）成數(shù)學(xué)模型（諸如方程、不等式等）加以解決。從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，數(shù)學(xué)建模是對所需研究的問題作一個(gè)模擬，舍去無關(guān)因素，保留其數(shù)學(xué)關(guān)系以形成某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從更廣泛的意義上講，建模則是一種技術(shù)、一種方法、一種觀念。

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容應(yīng)是數(shù)學(xué)科學(xué)內(nèi)容的“教育投影”，數(shù)學(xué)應(yīng)用范圍的不斷擴(kuò)大，迫切要求數(shù)學(xué)課程作出反應(yīng)。人們發(fā)現(xiàn)，這些應(yīng)用都有一個(gè)共同點(diǎn)，就是把非數(shù)學(xué)問題抽象成數(shù)學(xué)問題，借助于數(shù)學(xué)方法獲得解決。因此，數(shù)學(xué)模型作為一門課程首先在一些大學(xué)數(shù)學(xué)系里被提倡。后來，人們又發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的中小學(xué)數(shù)學(xué)課本中的應(yīng)用僅僅是把日常生活中的經(jīng)濟(jì)、商業(yè)、貿(mào)易和手工業(yè)中的問題用一定程序表達(dá)，內(nèi)容只涉及計(jì)數(shù)、四則運(yùn)算和測量等，這種應(yīng)用無論是方式還是內(nèi)容，與數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用相比，相差甚遠(yuǎn)。于是數(shù)學(xué)建模作為一種教學(xué)方式在中小學(xué)受到重視，讓學(xué)生通過“做數(shù)學(xué)”達(dá)到“學(xué)數(shù)學(xué)”的目的。

目前從世界范圍來看，各國課程標(biāo)準(zhǔn)都要求在各年級水平或多或少地含有數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，但各國的具體做法又存在著很大差異，主要有以下幾種：兩分法，多分法，混合法，課程內(nèi)并入法，課程間并入法。

上述做法孰優(yōu)孰劣，一般很難直接評判，只能據(jù)不同的情況采取不同的做法。現(xiàn)在有一種愿望：在中小學(xué)引進(jìn)跨學(xué)科的、以社會為基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)工作，在這種設(shè)計(jì)工作中，學(xué)生會看到數(shù)學(xué)如何才能夠應(yīng)用到真正的“現(xiàn)實(shí)生活”問題上去，并且可望獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動力。實(shí)際上關(guān)于數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)包括了各種水平的活動，現(xiàn)在有必要研究許多模型，明確“數(shù)學(xué)模型化”的確切意圖。20世紀(jì)的一個(gè)重大挑戰(zhàn)不僅是提供在學(xué)校能夠?qū)W的應(yīng)用的實(shí)例，而且是更深入地研究各種類型應(yīng)用的教育目的和正確性，所以學(xué)生如何應(yīng)用數(shù)學(xué)必定是21世紀(jì)數(shù)學(xué)課程要解決的一個(gè)主要問題。