張月蓮，黃祖達(dá)，楊家興

(湖南文理學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 常德 415000)

大學(xué)數(shù)學(xué)中演繹體系與構(gòu)造體系的鏈接及應(yīng)對策略＊

張月蓮，黃祖達(dá)，楊家興

(湖南文理學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 常德 415000)

從大學(xué)數(shù)學(xué)的視角，探討了收斂性思維與發(fā)散性思維即演繹體系與構(gòu)造體系的鏈接及相關(guān)的應(yīng)對策略，試圖找到學(xué)生的思維模式由演繹體系進(jìn)入構(gòu)造體系的適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)途徑、教學(xué)手段、教學(xué)理念，以適應(yīng)國家對高校人才培養(yǎng)目標(biāo)的要求。

大學(xué)數(shù)學(xué);演繹;構(gòu)造;鏈接;策略

演繹與構(gòu)造是數(shù)學(xué)思維體系中兩個不同的方向，演繹注重邏輯，思維縝密，是收斂性思維。構(gòu)造注重創(chuàng)建和模型，是發(fā)散性思維。中學(xué)階段的數(shù)學(xué)課程多數(shù)是演繹的，而大學(xué)階段的數(shù)學(xué)課程則是構(gòu)造的。中學(xué)強(qiáng)化了演繹而大學(xué)強(qiáng)調(diào)構(gòu)造，這是中學(xué)數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的區(qū)別所在。

一、存在的問題

《歐氏幾何》是以古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一些幾何學(xué)知識為基礎(chǔ)而誕生并經(jīng)過歐幾里德及其他學(xué)者的不斷修訂和完善而形成的經(jīng)典。明朝時期意大利傳教士利馬竇與我國的學(xué)者徐光啟合譯了前六卷。徐光啟對這部著作給予了高度的評價，稱此書有四不必:“不必疑，不必揣，不必試，不必改?！庇兴牟豢傻?“欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，鵝欲前后更置之不可得”［1］。這種智慧的演繹結(jié)果使人們認(rèn)識到理性的力量，同時也增強(qiáng)了人們利用這種才能獲得成功的信心。它讓我們認(rèn)識到邏輯的縝密，論證的準(zhǔn)確，演繹的完美以及演繹帶給我們的精確與權(quán)威。也因此我們認(rèn)為數(shù)學(xué)是絕對的真理，是不容質(zhì)疑的，是沒有缺憾的，我們在不知不覺中強(qiáng)化著這種演繹。

但每個學(xué)科是不斷發(fā)展不斷變化的，數(shù)學(xué)也不利外。十七世紀(jì)微積分的出現(xiàn)使數(shù)學(xué)發(fā)生了一次革命，極大地拓展了數(shù)學(xué)的研究和使用范圍，當(dāng)然也改變著人們的思維方式和處理問題的方法。于是當(dāng)學(xué)生們進(jìn)入大學(xué)階段的時候，問題出現(xiàn)了。首先是思維方式的根本性轉(zhuǎn)變，其次是處理的問題模型的根本性轉(zhuǎn)變，就其本質(zhì)是演繹和構(gòu)造兩種思維體系的轉(zhuǎn)變。那么，用什么樣的教學(xué)理念和教學(xué)方法引導(dǎo)和幫助學(xué)生調(diào)整思維結(jié)構(gòu)以盡快適應(yīng)大學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，確實是一個值得探討的問題，本文結(jié)合自己的教學(xué)實踐作了一些探討。

二、認(rèn)識有限與無限

無窮大!任何一個其他問題都不曾如此深刻地影響人類的精神，任何一個其他觀點(diǎn)都不曾如此有效地激勵人類的智力;但是沒有任何概念比無窮大需要澄清(希爾伯特)［2］。無論多么小的一個具體的數(shù)都不是無窮小，而一個無論多么大的具體的數(shù)也不是無窮大，那么，何謂無窮小?何謂無窮大?可見，了解無限是一個至關(guān)重要的事情。

數(shù)學(xué)家說;數(shù)學(xué)是無限的科學(xué)。我們在有限的世界里也能夠感覺到無限的存在，如自然數(shù)有多少個?不管你手中有多大的一個自然數(shù)，它總有后繼數(shù)。自然數(shù)集包括平方數(shù)集作為子集，但自然數(shù)集可以與平方數(shù)集建立一一對應(yīng)，這個對應(yīng)說明了什么?是整體等于部分?還是矛盾?等等這些都是學(xué)生在有限中不曾碰到的問題。而在認(rèn)識無限的過程中，常識有時是一個蹩腳的向?qū)?。因此，感知無限，解密無限，用無限的觀點(diǎn)解決問題是轉(zhuǎn)變學(xué)生思維體系的一個關(guān)鍵步驟。數(shù)學(xué)更嚴(yán)密地研究著有限和無限的關(guān)系，大大提高了人類認(rèn)識無限的能力。獲得把握無限的能力和技巧是人類的智慧。在獲得這些成果過程中體現(xiàn)出來的奮斗與熱情是人類的情感，對無限的認(rèn)識成果，則是人類智慧與熱情的共同結(jié)晶［3］。而教師必須引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識與了解無限，才能調(diào)整思維結(jié)構(gòu)，進(jìn)入大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)階段。

三、理解極限

極限奠定了微積分，是微積分的基礎(chǔ)。由于有了嚴(yán)格的極限的定義才使微積分日臻完善。而怎樣引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識極限，理解極限，運(yùn)用極限又是一個思維體系的架構(gòu)過程。函數(shù)的連續(xù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，定積分，二重積分，三重積分，曲線積分，曲面積分等等這些概念都是建立在極限的基礎(chǔ)之上的，只有充分理解和合理應(yīng)用了分割、求和、取極限這三部曲而建立的數(shù)學(xué)模型，充分地理解了這些抽象的數(shù)學(xué)知識，才能將這些具體的方法與實際的模型靈活地運(yùn)用于其他相關(guān)的學(xué)科。在這里，取極限是一個量變到質(zhì)變的過程，而怎樣講述極限這個非常重要的概念，也是思維體系的一個重大調(diào)整，是學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的關(guān)鍵所在。

四、挖掘公式、定理背后的真理

數(shù)學(xué)學(xué)科當(dāng)然離不開公式、定理，而正是公式和定理才構(gòu)成了數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂。要引導(dǎo)學(xué)生挖掘這些公式、定理背后隱藏的真、善、美，了解一代代數(shù)學(xué)工作者為了探索真理而前仆后繼的精神。在潛移默化中轉(zhuǎn)變學(xué)生的思維方式，調(diào)整思維方法。如微積分中的微積分基本定理，為什么叫基本定理，它的基本性體現(xiàn)在哪里呢?它是否是萬能的公式?它在什么條件下不能用?格林公式、高斯公式在其他學(xué)科中有更廣泛的應(yīng)用嗎?其他學(xué)科是怎樣使用的?又作了哪些調(diào)整，添加了什么，數(shù)學(xué)意義和物理意義分別是什么?等等。對于公式、定理不局限于課本的現(xiàn)有知識，通過介紹更多的背景知識，數(shù)學(xué)史知識，讓學(xué)生眼中的公式、定理動起來，飛起來，讓學(xué)生熱愛公式，鉆研公式，拓展公式，從而熱愛數(shù)學(xué)，熱愛科學(xué)。

五、結(jié)語

數(shù)學(xué)中的公理化體系一直是數(shù)學(xué)學(xué)科的驕傲。但以為數(shù)學(xué)教育就是對學(xué)生進(jìn)行演繹訓(xùn)練，不僅是對數(shù)學(xué)學(xué)科的一個誤解，也是十分有害的。純粹的演繹具有單向思維的特點(diǎn)，其思維指向及大體線索都已清楚，其邏輯起點(diǎn)與依據(jù)也已清楚。因此很難由演繹獲得開拓性的思維成果，很難由收斂性思維獲得開創(chuàng)性的發(fā)現(xiàn)。只強(qiáng)調(diào)公理的作用，過分注重演繹思維(收斂性訓(xùn)練)而忽視數(shù)學(xué)的發(fā)散性思維。雖然現(xiàn)在大家都意識到了這一點(diǎn)，但并沒有從根本上加以改變，這正是數(shù)學(xué)教育令人擔(dān)憂的現(xiàn)狀［3］。

要使學(xué)生具有竟?fàn)幜?，最關(guān)鍵的問題是培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力，而這種創(chuàng)新首先是從教師開始的，沒有創(chuàng)新的教育理念，沒有全新的文化視角，沒有承前啟后的治學(xué)態(tài)度，沒有腳踏實地的、立足本國、放眼世界的雄偉目標(biāo)，就沒有朝氣蓬勃、勇于創(chuàng)新的天之驕子。我們應(yīng)該與學(xué)生同行，在大學(xué)這個廣闊的舞臺上，給他們一雙騰飛的翅膀。同時也讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)、品味數(shù)學(xué)，領(lǐng)略和吸取數(shù)學(xué)千秋滄桑鍛造出的不朽思想，了解數(shù)學(xué)是人類文明結(jié)晶出的偉大智慧。而不是繼續(xù)著2000年前的歐氏幾何，300年前的微積分，反復(fù)在黑板上演繹著永恒的公式與定理。因此本文從大學(xué)數(shù)學(xué)入手，探討了演繹體系與構(gòu)造體系的鏈接及相關(guān)的應(yīng)對策略，試圖找到學(xué)生的思維模式由演繹體系進(jìn)入構(gòu)造體系的適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)途徑、教學(xué)手段、教學(xué)理念，以適應(yīng)國家對高校的人才教學(xué)目標(biāo)的要求。

［1］蕭建昌.人文數(shù)學(xué)導(dǎo)引［M］.成都:西南交通大學(xué)出版社，2006.

［2］張順燕.數(shù)學(xué)的美與理［M］.北京:北京大學(xué)出版社，2006.

［3］張楚廷.數(shù)學(xué)文化［M］.北京:高等教育出版社，2003.

2011－03－15

芙蓉學(xué)院教改項目

張月蓮(1965－)，女，副教授。