朱美玲

（太原理工大學(xué)，山西 太原 030024；太原城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 太原 030027）

常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

朱美玲

（太原理工大學(xué)，山西 太原 030024；太原城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 太原 030027）

本文簡要介紹了常微分方程的發(fā)展和數(shù)學(xué)建模的過程以及常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的一些應(yīng)用，并對數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位和作用作了一些展望。

常微分方程；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)應(yīng)用

一、引言

常微分方程起源于生產(chǎn)實踐，在解決科學(xué)技術(shù)的許多問題中發(fā)展并逐步完善。而用微分方程解決問題一般分為以下幾步：第一，實際問題的提出；第二，根據(jù)問題的規(guī)律列出微分方程（稱為建立數(shù)學(xué)模型）；第三，解此微分方程或?qū)Ψ匠踢M(jìn)行定性分析；第四，最后再用方程的解（或性質(zhì)）解釋或預(yù)測問題的發(fā)展，即用數(shù)學(xué)語言描述實際現(xiàn)象。這個過程其實就是數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)建模是微分方程解決實際問題的最主要的途徑。

二、常微分方程的發(fā)展

常微分方程的發(fā)展有著悠久的歷史。為了解決諸如某個物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離與時間的函數(shù)關(guān)系，火箭在發(fā)動機(jī)推動下在空間的飛行軌跡函數(shù)等等。為了解決此類問題產(chǎn)生了微分方程。含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程稱之為微分方程?？v觀微分方程的發(fā)展史，我們發(fā)現(xiàn)微分方程與物理、天文學(xué)、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)、力學(xué)等有著密切聯(lián)系，尤其是隨著科技的進(jìn)步，電子計算機(jī)的廣泛應(yīng)用使得微分方程的應(yīng)用日益廣泛。

三、常微分方程在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用

用微分方程求解實際問題的關(guān)鍵是建立實際問題的數(shù)學(xué)模型——微分方程。這首先要根據(jù)實際問題所提供的條件，選擇和確定模型的變量。再根據(jù)有關(guān)學(xué)科的理論，如物理、化學(xué)、生物、幾何、經(jīng)濟(jì)等，找到這些變量所遵循的定律，用微分方程將其表示出來。為此，必須了解相關(guān)學(xué)科的一些基本概念、原理和定律；要會用導(dǎo)數(shù)和微分表示幾何量和物理量。如在幾何中曲線切線的斜率對橫坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)），物理中變速直線運動的速度速度用數(shù)學(xué)語言將實際問題簡化，用數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)方法分析和解決實際問題，最后再回到實際對象中應(yīng)用。這些需要扎實深厚的數(shù)學(xué)功底，還需要有能抓住實際問題變化規(guī)律的能力。下面就幾個簡單的例子談?wù)勎⒎址匠淘跀?shù)學(xué)建模中的應(yīng)用。

1.常微分方程在物理學(xué)中的應(yīng)用

一個包裹從一個上升的氣球上掉落，當(dāng)時氣球位于離地面80m高空，正以12m/s的速度上升，問多長時間該包裹落到地面？設(shè)在時刻t，包裹的速度為v(t)，離地面的高度為s(t)，地球表面附近的加速度為9.8 m/s2。假設(shè)沒有另外的力作用在下落的包裹上負(fù)號是因為重力作用于減小的方向）。這就是包裹運動的數(shù)學(xué)模型。對微分方程積分，得把初值條件代入v(0)=12得C=12。于是v=-9.8t+12。因為速度是高度的導(dǎo)數(shù)，即，當(dāng)t=0時包裹掉落，當(dāng)時位于離地面80m高空，從而有對微分方程積分，代入初值 s(0)=80得C=80。所以，在時刻t包裹離地面的高度為s=-4.9t2+12t+80。為了求該包裹落到地面的時間，我們設(shè)s=0，即 0=-4.9t2+12t+80 解得 t1≈5.45,t2≈-3。所以包裹從氣球上掉落后大約5.45s落到地面。

2.水污染模型中的應(yīng)用

隨著我國經(jīng)濟(jì)的高速增長，環(huán)境污染問題已成為大家共km同關(guān)注的問題。設(shè)某水庫的現(xiàn)有庫存量為V（單位：Q

3），水庫已被嚴(yán)重污染。經(jīng)計算，目前污染物總量已達(dá)（0單位：t），且污染物均勻地分散在水中。如果現(xiàn)在不再向水庫排污，清水以不變的速度（r單位：km3/年），流入水庫，并立即和水庫的水相混合，水庫的水也以同樣的速度r流出。如果記當(dāng)前的時刻為t=0。那么求在時刻T，水庫中殘留污染物的數(shù)量Q(t)。在時刻t，Q(t)的變化率=-（污染物的流出速度）。其中負(fù)號表示禁止排污后，Q將隨時間逐漸減少，這時污染物的質(zhì)量濃度為Q(t)/V。因為水庫的水以速度r流出，所以污染物的流出速度=污水流出速度×。由此可得微分方程，這是一個可分離變量的微分方程。分離變量得，兩邊積分，得由題可知C=Q0故可得

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