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(寧波市職業(yè)技術(shù)教育中心學(xué)校 浙江寧波 315041)

一堂探究性數(shù)學(xué)公開課的教學(xué)實錄與評價

●陳健

(寧波市職業(yè)技術(shù)教育中心學(xué)校 浙江寧波 315041)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：“探究性課題學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的嘗試，其主要目的在于培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)上的創(chuàng)新精神，敢于質(zhì)疑、提問、反思、推廣，初步經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過程，從而親身體驗數(shù)學(xué)探究的激情和愉悅”.筆者曾有幸聽取了寧波市高一數(shù)學(xué)的一節(jié)公開課，主題是如何使用課本知識激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇于探索和勇于創(chuàng)新的精神.選取的素材是一元二次方程根的分布，課題重點是一元二次方程根的分布情況，難點在于根的分布情況比較復(fù)雜，學(xué)生自行討論、發(fā)現(xiàn)具有一定的難度，并且每一種分布情況的充要條件不易寫出.現(xiàn)筆者把這一課堂教學(xué)實錄及對其的評價整理如下,供參考.

1課堂教學(xué)實錄

1.1 課題導(dǎo)入

教師：在初中階段，我們學(xué)習(xí)了一元二次方程根的判別，請一位同學(xué)回答一下具體情況.

學(xué)生1：當(dāng)Δgt;0時，方程有2個不相等的實根；當(dāng)Δ=0時，方程有2個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δlt;0時，方程沒有實數(shù)根.

教師：好.這說明大家對初中一元二次方程根的情況掌握較好,下面來看一個有關(guān)一元二次方程根的相關(guān)問題.

例1關(guān)于x的方程x2-kx+3-k=0.

(1)方程有2個正根，求實數(shù)k的取值范圍；

(2)方程有2個負(fù)根，求實數(shù)k的取值范圍；

(3)方程有1個正根1個負(fù)根，求實數(shù)k的取值范圍.

學(xué)生根據(jù)已有的知識得到了如下解法:

學(xué)生2：假設(shè)方程有2個實根x1，x2,則第(1)小題要滿足的條件是Δ≥0,x1+x2=kgt;0,x1x2=3-kgt;0.

學(xué)生3:第(2)小題要滿足的條件是Δ≥0,x1+x2=klt;0,x1·x2=3-kgt;0.

學(xué)生4:第(3)小題要滿足的條件是Δgt;0,x1+x2=klt;0,x1·x2=3-klt;0.

學(xué)生4按照前面2個學(xué)生的思路首先考慮判別式之后，進(jìn)而關(guān)注兩根之和及兩根之積，經(jīng)過教師的引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)此時兩根之和的符號不能確定.

教師：同學(xué)們在解決這個問題時主要應(yīng)用了根的判別情況和韋達(dá)定理，那么能否從函數(shù)圖像的角度去解決呢？

學(xué)生開始議論，表現(xiàn)出了興趣，因為這和初中階段的考慮方法不同，給問題的解決提供了一種全新的思路，也為下面的討論作了鋪墊.

學(xué)生5：感覺不可以.

教師：靠感覺不行，數(shù)學(xué)靠的是嚴(yán)密的邏輯，當(dāng)然感覺也是一種素質(zhì)的體現(xiàn)，但你的感覺正確嗎？

學(xué)生的興趣漸濃，很多學(xué)生認(rèn)為可以.

學(xué)生6：可轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)與x軸的交點問題.

教師：需要考慮哪些因素呢？

學(xué)生6：拋物線的開口、對稱軸、根的個數(shù).

教師：不錯，還可以作哪些改進(jìn)呢？我們說，二次方程的二次項系數(shù)始終可以轉(zhuǎn)化為大于0的情況，因此拋物線的開口都可以轉(zhuǎn)化為向上，看看還有哪些遺漏的因素？

從例1出發(fā)，具體分析需考慮的因素.由函數(shù)圖像可得如下解答：

(3)Δgt;0,f(0)=3-klt;0.

經(jīng)過師生共同探索發(fā)現(xiàn),第(3)小題中不需考慮Δ,只要滿足f(0)lt;0即可.

1.2 提出主題，學(xué)生探索

教師：剛才討論了一元二次方程根ax2+bx+c=0(agt;0)的正負(fù)情況，并從函數(shù)圖像的角度探討了所要滿足的條件.可以發(fā)現(xiàn)要考慮的條件包括Δ、對稱軸位置和特殊點的函數(shù)值.實際上,二次方程根的分布還有很多種情況，請大膽探索.

學(xué)生經(jīng)過討論、探索，不斷發(fā)現(xiàn)各種根的分布情況，教師在學(xué)生探索過程中巡視，了解學(xué)生的進(jìn)展情況，發(fā)現(xiàn)在探索中遇到的困難，并根據(jù)實際情況適時加以引導(dǎo).在整個過程中，學(xué)生都能積極思考，參與熱情較高，現(xiàn)場氣氛熱烈.

1.3 成果展現(xiàn)

教師：下面請同學(xué)來展示討論結(jié)果，假設(shè)x1，x2為方程的2個根.

學(xué)生7：2個根都大于2，即x1gt;2，x2gt;2．

教師：那此時的充要條件呢？

教師：很好.我們發(fā)現(xiàn)充要條件還是從Δ、對稱軸位置和特殊點的函數(shù)值去考慮，這是解決問題的基本思路.還有其他情況嗎？

學(xué)生8：2個根都小于2，即x1lt;2，x2lt;2．

教師：這個時候的充要條件呢？

教師：不錯.同學(xué)們找到了2種比較重要的分布情況.還有其他情況嗎？我們回過來再看例題,實際上剛才2種情況是把0改為2，因此能否得到第3種情況呢？

學(xué)生9：一根大于2，另一根小于2.

教師：此時的充要條件又是什么？

教師：大家看到這些條件可以推出方程的一根大于2一根小于2，由此可見它是方程的一根大于2一根小于2的充分條件，但是不是必要條件呢？剛才的條件有沒有多余的呢？

學(xué)生開始思索，經(jīng)過師生的共同探索逐漸排除了Δ和對稱軸這2個因素.

教師：除了這3種情況,還有其他形式嗎？剛才方程的根是和一個數(shù)比較，有沒有可能是和2個數(shù)比較呢？

學(xué)生開始討論，沉靜的教室一下子就沸騰起來，帶入了另一個探索的熱潮.學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力被激發(fā)出來，很多形式多樣的分布方式浮出水面.

學(xué)生10：一根小于1，一根大于2，即x1lt;1,x2gt;2?f(1)lt;0,f(2)lt;0.

學(xué)生12：1lt;x1lt;2lt;x2?f(1)gt;0,f(2)lt;0.

學(xué)生13:x1lt;1lt;x2lt;2?f(1)lt;0,f(2)gt;0.

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生的思路進(jìn)一步拓展，把方程的根與3個和4個數(shù)進(jìn)行比較.譬如：1lt;x1lt;2lt;x2lt;3；1lt;x1lt;2,3lt;x2lt;4等.

1.4 教學(xué)小結(jié)

這節(jié)課主要探討了一元二次方程根的分布情況，分布情況比較復(fù)雜，相應(yīng)的充要條件難以把握.基本的方法是從二次函數(shù)圖像的角度去考察，離不開幾個重要的要素即根的判別、對稱軸和特殊點的函數(shù)值等.主要討論了幾種重要的分布形式，可能還存在其他情況，希望感興趣的學(xué)生可以在課后關(guān)注其他形式的根的分布情況.

2課后反思和評價

2.1 主線清晰，主題突出

課堂教學(xué)探索學(xué)習(xí)的2個最為顯著的特征：其一是教學(xué)內(nèi)容的問題化，即以問題為中心組織教學(xué)內(nèi)容；其二是教學(xué)過程的探索化，即教師創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)環(huán)境，由學(xué)生獨立地探索發(fā)現(xiàn)知識和解決問題.本課在通過例題的引申和啟發(fā)開展探索性學(xué)習(xí)，逐步展現(xiàn)一元二次方程根的分布情況，時刻圍繞各種分布情況和相應(yīng)的充要條件去開展探究活動，主線清晰、主題突出，是學(xué)生創(chuàng)新思維的出發(fā)點和生長點.

2.2 引導(dǎo)和探索的成功結(jié)合

探索性課堂教學(xué)的開展在很大程度上取決于學(xué)生的認(rèn)知程度和能力水平，盡管我們都贊同探索性學(xué)習(xí)的重要意義，但在具體的實踐過程中卻存在著很大的難度，究其原因主要是探索中的不確定因素.這些因素主要來自于探索者即學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維水平，以及對問題的關(guān)注和投入程度，這些因素直接影響著探索的程度和水平，也影響著探索性學(xué)習(xí)目的的實現(xiàn).此外,課堂探索過程中又存在不定因素，譬如學(xué)生探索的方向原本明確，因為是自主探索，所以往往會偏離主題，相去甚遠(yuǎn).在這個時候往往會產(chǎn)生學(xué)生突發(fā)奇想的事物,教師的引導(dǎo)和應(yīng)變能力顯得尤為重要和迫切.在本課中，教師顯然已經(jīng)做了大量的準(zhǔn)備，根據(jù)學(xué)生的現(xiàn)實水平進(jìn)行了精心的設(shè)計.首先對學(xué)生的認(rèn)知水平有比較深刻的認(rèn)識，對學(xué)生的思維能力有較為全面的估計，因此能夠把握整個探索的進(jìn)程；其次，對學(xué)生不能根據(jù)已有的知識進(jìn)行探索的內(nèi)容作及時而有效的引導(dǎo)和交流，使整個探索過程順利而又熱烈，并且積極調(diào)動一切有利于學(xué)生探索的條件和因素，使課堂氣氛較為熱烈，產(chǎn)生了良好的效果，同時促進(jìn)了教師角色的更好發(fā)揮.我們認(rèn)為，探索性課堂教學(xué)的成功莫過于教師的引導(dǎo)和學(xué)生自主探索的自然結(jié)合，相互滲透、輝映成彩.

2.3 處處體察皆探究

按照傳統(tǒng)教學(xué)方法，教師將各種一元二次方程根的分布情況一一羅列出來，并根據(jù)每一種情況寫出相應(yīng)的充要條件，學(xué)生往往被動接受知識，體驗不到探究帶來的深切感受.學(xué)生對知識的認(rèn)識只停留在表面，當(dāng)然對問題的理解也停留在較低的水平，久而久之對知識的體系理解比較膚淺，更失去了對學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的大好機(jī)會.我們深切贊同探究性學(xué)習(xí)對傳統(tǒng)教學(xué)帶來的重大變革，贊同探究性教學(xué)重要的現(xiàn)實意義和理論價值，但往往對內(nèi)容的選擇，形式的組織存在很大困惑.從本節(jié)課的感受來講，探究的內(nèi)容和形式無處不在、無時不可，關(guān)鍵在于如何去挖掘教材中的可探究之處.這就要求教師更新教育觀念，注重學(xué)生的知識體驗和探究能力的培養(yǎng).教材中的很多基本內(nèi)容都可作為探究的基本素材，處處都是探究的土地，處處是探究的樂園.在今后的課堂教學(xué)中,發(fā)揮教材的最大探究度將是我們值得關(guān)注和探究的重要內(nèi)容.