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        一種具有偏差自變量的瑞利方程正周期解的存在性

        2011-08-11 07:10:38劉一枝楊喜陶
        關(guān)鍵詞:瑞利時(shí)滯算子

        劉一枝,楊喜陶

        (湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,湘潭411201)

        0 引 言

        考慮如下具有偏差自變量的瑞利方程

        其中f,p,τi∈C(R,R)且p,τi以T(T >0)為周期;gi∈C(R2,R),(i=1,2,…n),且關(guān)于第一個(gè)變量以T為周期.

        很多學(xué)者對某些二階微分方程正周期解的存在性作了較為深入的研究,見文獻(xiàn)[1-4].而對瑞利方程正周期解存在性的研究相對較少.文[1]研究了當(dāng)n=1時(shí),系統(tǒng)(1)正周期解存在性,由于各種因素,時(shí)滯可能不只一個(gè),因此研究含有n個(gè)時(shí)滯的瑞利方程的正周期解存在性是有意義的.本文將建立方程(1)存在正的T周期解的條件.

        1 預(yù)備知識及引理

        引理1[5]設(shè)X 和Y 是Banach空間.L:D(L)∈X→Y是指標(biāo)為0的Fredholm算子,

        N:X→Y在Ω上是L-緊的,Ω是X上的有界開子集.若

        (1)Lx ≠λNx,?x∈?Ω ∩D(L),λ∈ (0,1);

        (2)Nx?ImL,?x∈Ker L∩?Ω;

        (3)deg{QN,?Ω ∩ Ker L,0}≠0;

        引理2 若x(t)是連續(xù)可微的以T為周期的函數(shù).那么對 ?t*∈(-∞,+∞)

        引理3[6]x(t)是兩次連續(xù)可微的以T為周期的函數(shù),那么

        2 主要結(jié)果

        定理1 假設(shè)存在正常數(shù)d>0,bi≥0,C1>0

        (d)|f(x)|≤C1,?x∈R;

        (e)(b1+b2+…bn)T2<4π,則(1)至少有一個(gè)正周期T的解.

        證明:設(shè)X= {x|x∈C1(R,R):x(t+T)=x(t)}

        于是0}是Y的閉子空間,dimKerL=1=CodimImL,因此,L是指標(biāo)為0的Fredholm算子.

        令 P ∶ X→KerL 為 Px(t) = x(0),Q ∶

        P和Q是連續(xù)的投影,滿足ImP=Ker L,Ker Q=ImL=Im(I-Q),

        由(2)可知Lx =λNx,λ∈ (0,1)等價(jià)于

        若x=x(t)是方程(4)的任意正T周期解.則?ξ∈ [0,T]使得

        那么

        由于f(0)=0,(4),(5)得

        由條件(a)知存在1≤i≤n使

        因?yàn)閤(t)是方程(4)的正周期解,

        令ξ-τi(ξ)=kT+t*,t*∈ [0,T],k是整數(shù).則

        由引理2得

        由引理2可得:

        令M >max{M0,M1}和Ω1={x∈X∶0<x<M,|x′(t)|< M}.

        從而引理1的條件(2)滿足

        定義變換H如下:

        對 ?x∈?Ω1∩Ker L和u∈[0,1]有H(x,u)≠0,由同倫不變定理可得:

        則由引理1可知(1)存在正周期T的解.

        [1] F.M..Atici,G.Sh.Guseinov:On the Existence of Positive Solutions for Nonlinear dif-ferential Equations with Periodic Boundary Conditions.J.Comput.Appl.Math.,2001,132:341-356.

        [2] X.Yang:Multiple Positive Solutions of Second-order Differential Equations.Nonlin-ear Anal.,Theory Methods Appl.,2005,62:107-116.

        [3] X.Huang,Z.Xiang,On Existence of-periodic Solutions for Delay Duffing Equ ationx″+g(t,x(t-τ(t))=p(t),Chinese Sci.Bull.,1994,39:201-203.

        [4] T.A.Burton,Stability and Periodic Solution of Ordinary and Functional Differentia-l Equations,Academic Press,Orland,F(xiàn)L,1985.

        [5] R.E.Gaines,J.Mawhin,Coincide Degree and Nonlinear Differential Equations,Lectu-re Notes in Mathematics,vol.568,Spring,Berlin,1977.

        [6] J.Mawhin.Periodic Solutions of Some Vector Retarded Functional Differential Equations[J].J.Math.Anal.Appl.,1974,45:588-603.

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