劉紹娥，賀萌，覃世冬，李曉春, ，周科朝，黃伯云

(1. 中南大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖南 長沙，410083；2. 中南大學(xué) 粉末冶金研究院，湖南 長沙，410083)

左手物質(zhì)的概念最早由 Veselago于 1968年提出[1]。在Veselago的理論中，介電常數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ同為負(fù)數(shù)，其折射率n也為負(fù)數(shù)，由此引發(fā)負(fù)折射效應(yīng)。但是，由于自然界不存在天然的左手物質(zhì)，Veselago的理論在很長一段時(shí)間內(nèi)都沒有受到足夠的關(guān)注，負(fù)折射的研究也進(jìn)展甚微。直到1996年，Pentry等[2]從理論上證明了用周期性排列的金屬條和金屬開口諧振環(huán)組成的復(fù)合結(jié)構(gòu)，在一定頻率范圍內(nèi)能夠產(chǎn)生負(fù)等效介電常數(shù)和負(fù)等效磁導(dǎo)率。之后，Smith等[3]制作了世界上第一塊等效介電常數(shù)和等效磁導(dǎo)率同時(shí)為負(fù)的介質(zhì)；Shelby等[4]則首次在實(shí)驗(yàn)上證明了當(dāng)電磁波斜入射到左手介質(zhì)和右手介質(zhì)的界面時(shí)，折射波的方向與入射波的方向位于法線的同側(cè)。這些研究引起了人們的廣泛關(guān)注。Pentry[5]關(guān)于負(fù)折射平板可以突破衍射極限完美成像的理論建議更是激起了研究者們的極大興趣。而且，人們找到了一種現(xiàn)實(shí)有效的實(shí)現(xiàn)負(fù)折射的方法，那就是利用人工結(jié)構(gòu)——光子晶體[6-8]。隨著研究的深入，負(fù)折射研究已擴(kuò)展到了聲子晶體領(lǐng)域[9-13]。在解釋聲子晶體平板負(fù)折射成像時(shí)，通過引入等效負(fù)折射率概念，并利用反常折射定律來描述成像過程[14-15]。在此，本文作者在考察聲子晶體等效負(fù)折射率的等效范圍的基礎(chǔ)上，從聲波頻率和入射角兩方面，對聲子晶體平板成像特性進(jìn)行分析。

1 理論與模型

以二維鋼/空氣聲子晶體為模型，垂直方向的鋼圓柱以正三角結(jié)構(gòu)排列于空氣中。材料參數(shù)為：對于空氣，密度ρ=1.29×10-3kg/m3，縱波波速cl=0.34×10-3m/s，橫波波速ct=0 m/s；對于鋼柱，ρ=7.67×103kg/m3，cl=6.01×103m/s，ct=3.23×103m/s。鋼柱的半徑r=0.36a(a為晶格常數(shù))，對應(yīng)的單胞填充率為f=0.47。用多重散射方法計(jì)算模型能帶結(jié)構(gòu)，結(jié)果如圖 1(a)所示。圖1(a)中，從Γ點(diǎn)出發(fā)的直線表示空氣的色散線。從圖 1(a) 可以看出：在歸一化頻率(簡稱為頻率，下同)為 0.62～0.95時(shí)，Γ點(diǎn)的頻率比其他點(diǎn)的頻率都要高，說明在該頻段內(nèi)，等頻線的梯度方向是指向Γ點(diǎn)的，即群速度方向和波矢量方向相反。因此，該頻段就是發(fā)生負(fù)折射現(xiàn)象的區(qū)域。圖1(b)所示為等頻線圖，可見：當(dāng)頻率達(dá)到0.62時(shí)，等頻線凹向Γ點(diǎn)，與帶結(jié)構(gòu)圖中的提示一致。

從圖1(b)可以看出：不同頻率對應(yīng)的等頻線具有不同的形狀。等頻線是聲波在聲子晶體中傳播特性的反映。對于本文中的模型，在頻率0.65～0.95之間等頻線的形狀近似為圓形。這意味著這些頻率的聲波沿聲子晶體各個(gè)方向的傳播特性相同，即各向同性。因此，可用等效負(fù)折射率的概念來描述該聲子晶體中的負(fù)折射行為。

圖1 二維三角steel/air聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)和等頻線Fig.1 Band structure for phononic crystal consisting of steel cylinders hexagonal arranged in air background and equifrequency surfaces for some frequencies

根據(jù)聲子晶體等效負(fù)折射率的定義[13]，結(jié)合等頻線理論，用多重散射方法計(jì)算本文模型的等效負(fù)折射率，結(jié)果如圖2(a)所示，其中，在頻率0.65～0.80之間為圓形等頻線對應(yīng)的頻率范圍。從圖 2(a)可以看出：隨著入射波頻率增大，本文模型的等效負(fù)折射率的絕對值逐漸減小。等效負(fù)折射率的這種變化將直接影響聲子晶體平板負(fù)折射成像，并會(huì)造成類似幾何光學(xué)成像中的色像差，即‘點(diǎn)’物成‘線’像。

本文模型中，基體材料為空氣，若其折射率記為1，則折射規(guī)律可寫為。其中：iα和rα分別為入射角和折射角；neff為聲子晶體相對于空氣的等效負(fù)折射率。顯然，折射角rα的取值范圍為0°～90°。因此，對于任意一個(gè)等效負(fù)折射率neff，當(dāng)rα=90°時(shí)，都存在1個(gè)最大入射角。只有入射聲源的入射角小于時(shí)，聲波才會(huì)在聲子晶體表面發(fā)生負(fù)折射行為，即入射角在αi,MAX內(nèi)的信號才會(huì)對負(fù)折射成像有貢獻(xiàn)。由于等效負(fù)折射率會(huì)隨入射波頻率的變化而發(fā)生改變，因此，也會(huì)受入射波頻率的影響。圖2(b)所示為與入射波頻率之間的變化關(guān)系曲線。從圖2(b)可以看出：隨著頻率的增大，逐漸變小。同時(shí)，能發(fā)生負(fù)折射現(xiàn)象的入射角范圍也相應(yīng)減小，進(jìn)而影響負(fù)折射成像，即出現(xiàn)頻‘高’像‘暗’現(xiàn)象。以下通過數(shù)值模擬來說明這些現(xiàn)象。

圖2 聲子晶體等效負(fù)折射率隨頻率的變化關(guān)系和最大入射角隨頻率的變化關(guān)系Fig.2 Effective negative refractive index vs frequency and maximum incident angle vs frequency

2 入射角對負(fù)折射的影響

以9層聲子晶體平板為模型，模擬高斯波束以不同角度入射聲子晶體平板后的折射現(xiàn)象。入射的高斯波頻率為0.70，由圖2(b)可知：該頻率對應(yīng)的αi,MAX為32.57°。圖 3所示為入射角分別為 20.00°，32.57°和40.00° 3種情況下的平板負(fù)折射過程。圖3～6中水平(x)和垂直(y)方向刻度均表示空間位置，a為晶格常數(shù)。圖3～6中的灰度由黑至白，表示聲壓逐漸增強(qiáng)。

由圖3可知：入射角小于αi,MAX如 20.00°時(shí)，平板中出現(xiàn)明顯的負(fù)折射情況(見圖3(a))；當(dāng)入射角大于αi,MAX如40.00°時(shí)，無負(fù)折射情況出現(xiàn)(見圖3(c))；入射角等于αi,MAX如32.57°時(shí)，負(fù)折射情況處于邊界狀態(tài)(見圖 3(b))。因此，高斯波在平板中的折射過程證實(shí)了αi,MAX的存在。

αi,MAX的存在也會(huì)影響平板負(fù)折射成像。在點(diǎn)聲源平板負(fù)折射成像中，表現(xiàn)為：不同的入射角范圍內(nèi)的信號對像的貢獻(xiàn)不同。仍以9層聲子晶體平板為例，點(diǎn)聲源頻率保持為0.70，點(diǎn)聲源離聲子晶體平板的距離為10.0 (即物距)。在確定的物距下，通過在平板前加擋板的方式，控制入射到平板的入射角范圍。圖 4所示為不同的入射阻擋下，平板負(fù)折射成像的結(jié)果。

圖 4(a)中：點(diǎn)聲源發(fā)出的聲波信號沒有受到任何阻擋，全部通過聲子晶體平板負(fù)折射成像；在聲子晶體平板的內(nèi)部和外部出現(xiàn)完整、清晰的匯聚像點(diǎn)。圖4(b)中：與水平方向夾角在±16.28°之間的入射聲波信號被阻擋，相當(dāng)于±αi,MAX/2內(nèi)的信號被擋，只有入射角絕對值在16.28°到αi,MAX之間的入射信號通過平板，產(chǎn)生了負(fù)折射；因此，像的強(qiáng)度受到了較大影響，像變得模糊、暗淡了許多。圖4(c)中：與水平方向夾角在±32.57°之間的入射聲波信號被阻擋，相當(dāng)于±αi,MAX內(nèi)的信號都被隔板擋住，即可以產(chǎn)生負(fù)折射的入射信號都被阻擋。因此，圖 4(c)中：平板負(fù)折射成像不見了。這進(jìn)一步說明：只有入射角小于αi,MAX的聲波信號才能通過平板負(fù)折射成像，而其他的入射信號對負(fù)折射成像沒有貢獻(xiàn)，或貢獻(xiàn)幾乎可以忽略。

圖3 頻率為0.70的高斯波經(jīng)9層聲子晶體平板折射的聲場分布Fig.3 Intensity distributions of pressure field of Gaussian Beam across nine-layer phononic crystal slab

對同一入射角、不同的物距，聲源投射到平板上的面積不一樣。物距小的，投射到平板上的面積??；物距大的，投射到平板上的面積也大。當(dāng)αi,MAX固定為 32.57°，物距分別為2.6，6.6和10.6時(shí)的成像如圖5所示。平板寬度仍為9層，入射頻率保持0.70。

比較圖5(a)，5(b)和5(c)中3個(gè)不同物距條件下的成像特征，除了由于物距的變化，成像位置會(huì)出現(xiàn)相應(yīng)的平移外，還發(fā)現(xiàn)：隨著物距的增大，豎直方向(y方向)上發(fā)生負(fù)折射的范圍變寬，但像的強(qiáng)度及清晰度幾乎沒有改變。這主要是因?yàn)棣羒,MAX固定，即使投射到平板的面積增大，但不增加折射進(jìn)入聲子晶體平板的聲波信號，故像的強(qiáng)度不變。圖5所示的結(jié)果進(jìn)一步證實(shí)了前面關(guān)于入射角影響成像的判斷。

3 入射頻率對成像的影響

以0.05為間隔，選取0.65～0.75之間的3個(gè)頻率點(diǎn)作為入射點(diǎn)聲源的頻率，利用多重散射方法，模擬點(diǎn)聲源經(jīng)9層聲子晶體平板的負(fù)折射遠(yuǎn)場成像情況，結(jié)果見圖6。圖6中聲子晶體平板的填充率仍為0.47，物距保持為10.0。

由圖6可知：入射聲源頻率改變，像的位置、強(qiáng)度、清晰度都發(fā)生改變。具體表現(xiàn)為：隨著點(diǎn)聲源頻率的增加，聲子晶體平板外部的成像離平板右端面(出射面)的距離增大；像的強(qiáng)度逐漸減弱，“線狀像”的清晰度也隨之降低，平板內(nèi)部的匯聚點(diǎn)離平板左表面的距離減少。另外，當(dāng)聲源頻率增大時(shí)，聲波在聲子晶體平板左表面的有效投射面積變小。

負(fù)折射成像隨聲源頻率變化的這些現(xiàn)象，可以用等效負(fù)折射率的特性及折射定律加以解釋。一方面，隨著入射頻率的增大，等效負(fù)折射率的絕對值減小(見圖2(a))，這樣，對于一定的小角度入射信號，根據(jù)折射定律，對應(yīng)的折射角增大，從而導(dǎo)致聲子晶體平板內(nèi)部像點(diǎn)位置向平板的左表面(入射面)移動(dòng)，相應(yīng)地就有平板外部的像點(diǎn)位置朝遠(yuǎn)離聲子晶體平板的方向移動(dòng)；另一方面，隨著入射聲源頻率增大，能發(fā)生負(fù)折射的最大入射角αi,MAX減小(見圖 2(b))，有效投射面積變小，耦合進(jìn)入聲子晶體平板的聲波信號減弱，從而導(dǎo)致平板外部成像的強(qiáng)度減弱，像也變得模糊。

圖4 不同入射角范圍對應(yīng)的點(diǎn)聲源負(fù)折射成像圖Fig.4 Negative refractive imagings of point source with different incident angle ranges

圖5 物距變化時(shí)的平板負(fù)折射成像Fig.5 Negative refractive imagings of phononic crystal slab with change of distance between point source and phononic crystal slab

圖6 不同頻率信號的負(fù)折射成像Fig.6 Negative refractive imagings of sound signals with different frequencies

4 結(jié)論

(1) 聲子晶體的等效負(fù)折射率，其絕對值隨聲源頻率的增大而減小，平板負(fù)折射也會(huì)出現(xiàn)類似幾何光學(xué)成像中的色像差；對于某一確定的入射聲源頻率，負(fù)折射現(xiàn)象存在一個(gè)最大入射角，且隨著聲源頻率的增加，這一最大入射角變小。

(2) 在聲子晶體平板負(fù)折射成像過程中，點(diǎn)聲源的頻率不僅會(huì)影響負(fù)折射成像的位置，還會(huì)影響像的強(qiáng)度和清晰度。隨著點(diǎn)聲源的頻率的增大，最大入射角變小，負(fù)折射進(jìn)入聲子晶體平板的有效聲波信號減弱，負(fù)折射成像的清晰度降低。

(3) 在應(yīng)用平板負(fù)折射成像的實(shí)際過程中，應(yīng)根據(jù)成像所用到的頻率，選擇合適的物距和入射角，以得到清晰明亮的像?；蛘哌x擇合適的信號頻率、合適的物距，以達(dá)到清晰成像的目的。

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