李言規(guī)

（中南林業(yè)科技大學 商學院，湖南 長沙 410004）＊

一、問題的提出

內(nèi)部收益率（Internal Rate of Return，IRR）就是投資項目各年現(xiàn)金流量的折現(xiàn)值之和為零時的收益率，它對應于項目壽命結束時，全部收益正好償還全部投資費用的折現(xiàn)率。內(nèi)部收益率是由項目本身的現(xiàn)金流量決定的，即項目內(nèi)部決定（與銀行利率等無關），因而是項目實際的投資報酬率，是除凈現(xiàn)值外最重要的投資項目動態(tài)評價指標［1］。

為了提高投資項目的抗風險能力，常常需要分析并測定一些不確定因素的變動對IRR的影響程度，以便控制前一位或前幾位對IRR影響較大的因素，這就是所謂的IRR敏感性分析，其結果是得出IRR對各個不確定因素的敏感性排序。

然而，我們總是遇到這樣一種現(xiàn)象：在做IRR對投資、經(jīng)營成本、收益三因素的敏感性分析時，在經(jīng)歷大量的計算后，往往得出收益是IRR最敏感的因素，而次敏感的因素有時是投資，有時是經(jīng)營成本。我們不禁要問：為什么收益往往是IRR最敏感的因素？在什么情況下投資或經(jīng)營成本是次敏感的因素？我們能否通過簡潔的方法就能判定IRR對這三個因素的敏感性排序？本文通過構建一個IRR關于投資、經(jīng)營成本、收益三因素變動率的高次方隱函數(shù)模型，采用全微分的數(shù)學分析方法，在此三因素變動率不大的情況下，將IRR與此三因素變動率之間的高次方隱函數(shù)關系，轉(zhuǎn)化成一種簡單的近似線性關系，從而揭開謎底。

二、模型與解法

設一個常規(guī)投資項目的現(xiàn)金流模型如圖1，建設期的投資為Ij（j＝0，1，…，m），回收期的經(jīng)營成本為Cj（含所交稅），收益為Rj（j＝m＋1，m＋2，…，n），資產(chǎn)殘值為L，項目基準收益率為ic。記折現(xiàn)率為i，各期投資、經(jīng)營成本、收益折現(xiàn)值之和分別為PI、PC、PR，項目期末資產(chǎn)殘值的折現(xiàn)值為PL，則根據(jù)IRR的定義，IRR是方程（1）中i值的解：

圖1 項目現(xiàn)金流

其中：

設用內(nèi)插法求出（1）式的解，即基本方案的內(nèi)部收益率為i＝i0。且i0≥ic（否則基本方案不可行，不用作IRR 敏感性分析）。將i＝i0代入（1）式，則有：

其中：PI0、PC0、PR0和PL0分別表示PI、PC、PR和PL在i＝i0時的值。

假設投資、經(jīng)營成本和收益的變動百分率分別為x、y、z（變動范圍不大），則（1）式轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

這是一個關于i是x、y、z的高次方隱函數(shù)。分別求出i對x、y、z的偏導數(shù)，然后在原點O（0，0，0）處取值，得到：

其中：

在x、y、z的取值范圍不大的情況下，di≈Δi＝i－i0，所以由原點處i的全微分變形得：

從而單因素敏感性分析方程分別為：

因為變動因素的偏導數(shù)除以常數(shù)i0，即為IRR對該因素的敏感系數(shù)，所以偏導數(shù)的絕對值越大，IRR對該因素的敏感性越強。又因為IRR對投資、經(jīng)營成本、收益變動率的偏導數(shù)的分母相同，因此我們只需比較分子PI0、PC0、PR0的大小，分子大的IRR對其相應因素的敏感性也大。

觀察（6）式，對于一個常規(guī)項目來說，PL0較小，PC0－PL0、PI0－PL0都是正數(shù)，所以PR0最大，其相應的收益當然是IRR最敏感的因素。

至于投資或經(jīng)營成本是不是IRR次敏感的因素，則由下面簡單的討論判定：

若PI0＞PC0，則投資是次敏感的因素，經(jīng)營成本是再次敏感的因素；

若PI0＝PC0，則投資和經(jīng)營成本同是次敏感的因素；

若PI0＜PC0，則經(jīng)營成本是次敏感的因素，投資是再次敏感的因素。

投資與經(jīng)營成本誰是IRR次敏感因素、誰是再次敏感因素的關系可作出合乎實際的解釋：若投資的折現(xiàn)值PI0大于經(jīng)營成本的折現(xiàn)值PC0，說明建設期的投資比重較大，生產(chǎn)設施的配備較先進和完善，回報期運行較穩(wěn)定，經(jīng)營成本相對可節(jié)省，因此比重較大的投資對IRR的影響程度大于經(jīng)營成本對IRR的影響程度。反之亦然。

（2）式和（3）式中，若m ＝0，Cj＝C（j＝1，2，…，n），則 PI0＝I0，PC0＝ C（P／A，i0，n）。其 中：（P／A，i0，n）＝［1－］為年金現(xiàn)值系數(shù)（可查表或用計算器計算）。根據(jù)以上分析，IRR對三因素的敏感性排序更加易于判定：

首先，毫無疑問，收益是IRR最敏感的因素。

其次，若I0／C ＞ （P／A，i0，n）（這僅是折現(xiàn)值變形），則投資是IRR次敏感的因素，經(jīng)營成本是IRR再次敏感的因素；若I0／C ＝ （P／A，i0，n），則投資和經(jīng)營成本同是IRR次敏感的因素；若I0／C＜（P／A，i0，n），則經(jīng)營成本是IRR 次敏感的因素，投資是IRR再次敏感的因素。

三、實例分析

某項目經(jīng)濟評價的主要資料見表1，基準收益率為12%。由于對未來影響經(jīng)濟環(huán)境的某些因素把握不大，投資、經(jīng)營成本和收益的變化幅度為±5%、±10%，試分析不確定因素變動下IRR的敏感性排序［2］。

根據(jù)表1，用內(nèi)插法算出為i0＝15.23% ＞ic＝12%，因此基本方案可行。對于單因素的每一次變動，計算相應的各期凈現(xiàn)金流量，然后用內(nèi)插法算出內(nèi)部收益率，結果見表2（其復雜煩瑣的計算過程略）。

表1 項目現(xiàn)金流量單位：萬元

表2 內(nèi)部收益率敏感性程度 單位：%

從表2中可以看出，在相同變動幅度下，收益是IRR最敏感的因素，投資是IRR次敏感的因素，經(jīng)營成本是IRR再次敏感的因素。

若采用上述研究成果，則本例分析十分簡單。首先，求出基本方案的內(nèi)部收益率i0＝15.23%，因i0＞ic＝12%，基本方案可行。然后查表或用計算器，知年金現(xiàn)值系數(shù)（P／A，15.23%，10）＝4.9751。因此，IRR對各因素的敏感性判定如下：

1.對于一個可行的基本方案，收益是IRR當然的最敏感性因素。

2.因I／C＝1000／50＝20＞4.9751，所以投資是次敏感因素，經(jīng)營成本是再次敏感因素。

顯然，判定結果與復雜煩瑣的傳統(tǒng)分析方法的結果完全一致。

四、結 論

在一個由投資、經(jīng)營成本、收益、資產(chǎn)殘值現(xiàn)金流構成的常規(guī)投資項目中，假設前三者的變動幅度不大，則IRR對此三因素的敏感性排序由其在基本方案下的現(xiàn)金流的折現(xiàn)值之和大小決定，具體來說：

1.收益總是IRR最敏感的因素。

2.若基本方案下投資現(xiàn)金流的折現(xiàn)值之和大于經(jīng)營成本現(xiàn)金流的折現(xiàn)值之和，則投資是IRR次敏感的因素，經(jīng)營成本是IRR再次敏感的因素；反之亦然。

3.折現(xiàn)值之和越大，IRR對相應變動因素的敏感性越強。

在傳統(tǒng)方法中，IRR對投資、經(jīng)營成本、收益的敏感性分析必須經(jīng)過繁瑣的計算。如果僅僅做出IRR對此三因素的敏感性排序，以找出影響投資項目盈利的主要和次要的因素，那么利用本文的結論進行評價無疑十分方便和簡潔。

［1］］魏法杰，王玉靈，鄭筠.工程經(jīng)濟學［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2007：77.

［2］孫懷玉，王子學，宋冀東.實用技術經(jīng)濟學［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2003：140.