鐘艷春，楊慶俊，包鋼

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱，150001)

氣動(dòng)隔振系統(tǒng)承載力大，有效行程大，隔振效果優(yōu)異，廣泛應(yīng)用于儀器平臺(tái)、光學(xué)平臺(tái)、精密加工與檢測(cè)、艦船動(dòng)力設(shè)備隔振、車輛懸掛等的振動(dòng)隔離[1-5]。由于非線性微分動(dòng)力系統(tǒng)的復(fù)雜性，空氣彈簧的彈性恢復(fù)力非線性對(duì)隔振系統(tǒng)特性的影響沒(méi)有同時(shí)得到有效研究。為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，在大量的實(shí)際操作中，空氣彈簧或被近似處理成定剛度彈簧，或忽略空氣彈簧變形過(guò)程中有效面積以及其他參數(shù)改變后，由空氣彈簧內(nèi)氣體的狀態(tài)確定彈簧的狀態(tài)[6]。近年來(lái)，有學(xué)者開(kāi)始?xì)鈩?dòng)隔振系統(tǒng)的非線性研究，Heertjes等[7]研究了氣體壓縮的非線性對(duì)傳遞率和導(dǎo)納的影響。尹萬(wàn)建等[8]研究了空氣彈簧在單頻正弦激勵(lì)情況下的主共振，并認(rèn)為激勵(lì)幅值與非線性剛度是影響空氣彈簧懸架非線性特性的主要因素，但是，沒(méi)有研究系統(tǒng)多頻激勵(lì)下的非線性特性。在非線性方程方面，周一峰等[9]建立了主動(dòng)隔振體的非線性動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)求解強(qiáng)非線性自治系統(tǒng)的能量迭代方法加以改進(jìn)，將其用于求解強(qiáng)非線性非自治系統(tǒng)，得到了主動(dòng)隔振系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的解析表達(dá)式和振幅-頻率關(guān)系曲線。Nayfeh等[10]研究了平方和立方非線性系統(tǒng)在2個(gè)簡(jiǎn)諧激勵(lì)共同作用下的組合共振和聯(lián)合共振情況。在此，本文作者首先從基本的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)出發(fā)，得到空氣彈簧相對(duì)載荷隨高度的曲線，然后用三次多項(xiàng)式擬合該試驗(yàn)曲線，得到彈簧恢復(fù)力與高度之間的關(guān)系式。將恢復(fù)力代入載荷運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程得到系統(tǒng)在3個(gè)簡(jiǎn)諧激勵(lì)共同作用下的非線性平衡方程，利用多尺度法[11-13]對(duì)該非線性振動(dòng)方程進(jìn)行求解，分析各參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)幅頻特性的影響，以便為指導(dǎo)氣動(dòng)隔振系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1 空氣彈簧非線性模型

本文選用簡(jiǎn)單的單腔氣彈簧對(duì)其進(jìn)行非線性特性分析。氣動(dòng)隔振系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型如圖1所示。圖1中：M為彈簧上的質(zhì)量；K為空氣彈簧總剛度，c為考慮空氣彈簧自身阻尼在內(nèi)的總阻尼；xb為基座振動(dòng)，x為負(fù)載振動(dòng)。

圖1 氣動(dòng)隔振系統(tǒng)模型簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic diagram of pneumatic vibration isolation system

1.1 空氣彈簧載荷

選用 Firestone 1M1A-1型空氣彈簧作為研究對(duì)象?？諝鈴椈稍诔跏汲錃鈮毫?.7 MPa時(shí)，不同高度下的絕對(duì)載荷如圖2所示。

圖2 Firestone 1M1A-1型空氣彈簧絕對(duì)載荷隨高度變化曲線Fig.2 Absolute load curve with height of Firestone 1M1A-1 air spring

從圖2可以看出：與一般彈簧的特性不同，空氣彈簧的絕對(duì)彈力總是正值。但相對(duì)平衡位置，彈力可以有正有負(fù)：在平衡位置以上為負(fù)，在平衡位置以下為正。相對(duì)于平衡位置75 mm高度時(shí)的相對(duì)載荷如圖3所示。

1.2 空氣彈簧恢復(fù)力擬合

文獻(xiàn)[6]指出僅用三次多項(xiàng)式就能非常精確地?cái)M合試驗(yàn)曲線，采用太高的冪次一方面不會(huì)顯著提高精度，另一方面會(huì)使擬合剛度曲線光滑性變差。因此，本文采用三次多項(xiàng)式對(duì)該曲線擬合?？諝鈴椈上鄬?duì)平衡位置的彈性恢復(fù)力F可以表示為：

式中：F為空氣彈簧相對(duì)平衡位置的彈性恢復(fù)力；x為載荷振動(dòng)；xb為基座振動(dòng)；k1為空氣彈簧的線性剛度；k2為二次非線性系數(shù)，k3為三次非線性系數(shù)。

以實(shí)驗(yàn)所得的空氣彈簧相對(duì)彈力為原始數(shù)據(jù)，根據(jù)式(1)對(duì)其進(jìn)行三次多項(xiàng)式擬合，擬合曲線如圖3所示。通過(guò)曲線擬合得到的三次多項(xiàng)式系數(shù)分別為k1=20.5 N/m，k2=3 063 N/m2，k3=212 797 N/m3。從圖3可以看出：擬合曲線和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)重合性好。

圖3 Firestone 1M1A-1型空氣彈簧相對(duì)載荷多項(xiàng)式擬合曲線Fig.3 Relative load polynomial fitting curve of Firestone 1M1A-1 air spring

2 多頻激勵(lì)下氣動(dòng)隔振系統(tǒng)非線性模型

考慮對(duì)于多頻激勵(lì)進(jìn)行分析時(shí)，3個(gè)頻率激勵(lì)具有很好典型性，能很好地反映系統(tǒng)多頻激勵(lì)下的規(guī)律性，并且分析也簡(jiǎn)單明了，因此，本文選用3個(gè)激勵(lì)頻率進(jìn)行分析。假設(shè)基座激勵(lì)為：

式中：F1，F(xiàn)2和F3依次為3個(gè)外部激勵(lì)的幅值；Ω1，Ω2和 Ω3依次為 3個(gè)外部激勵(lì)的頻率；θ1，θ2和 θ3依次為3個(gè)外部激勵(lì)的初相角。

在其激勵(lì)下，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

式中：M為載荷質(zhì)量；c為系統(tǒng)阻尼系數(shù)。

設(shè)y=x-xb，則方程(3)可以寫為：

構(gòu)造長(zhǎng)度尺度 L=F1和時(shí)間尺度得到無(wú)量綱變量對(duì)式(4)進(jìn)行無(wú)量綱化，則得到：式中

運(yùn)用多尺度法對(duì)式(5)進(jìn)行分析，設(shè)式(5)的近似解為：

式中：T0=τ，T2=ετ分別為不同的時(shí)間尺度變量。

因此，關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)變成關(guān)于T0和T1的偏導(dǎo)數(shù)的展開(kāi)式，即有

式中： Dn=? / ( ? Tn)。

將式(6)～(8)代入式(5)，并展開(kāi)比較ε同次冪的系數(shù)，得到：

方程(9)的通解可以寫為：

將方程(11)代入方程(10)得到：

從式(12)可以看出：在 3個(gè)頻率激勵(lì)下，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)超諧共振 2ωn≈1，3ωn≈1，亞諧共振 ωn≈2，ωn≈3，組合共振 ωm± ωn≈1，ωm± ωn≈2，ωm± ωn≈3，2ωm±ωn≈1，2ωm±ωn≈2，2(ωm±ωn)≈1，ωm± ωn± ωx≈1等。

下面討論 ω1±ω2+ ω3≈1的情況。引進(jìn)調(diào)諧參數(shù)σ，令

將其代入(ω1+ω2+ω3)T0可以寫為：

由式(12)式可得，若

令式(14)和(15)α ˙ =γ˙= 0 得其穩(wěn)定解。得到下列方程組：

由式(18)可得頻率響應(yīng)為：

聯(lián)合前面各表達(dá)式，并將其代入方程(19)得到頻率響應(yīng)和各初始參數(shù)之間的關(guān)系為：

3 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)頻率響應(yīng)曲線的影響

方程(20)即為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)關(guān)系式，下面分別固定其他參數(shù)而變化其中1個(gè)參數(shù)，得到各主要參數(shù)對(duì)系統(tǒng)幅頻曲線的影響。圖4～7所示分別為各主要參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)幅頻特性影響的曲線。

圖4 激勵(lì)幅值變化時(shí)的組合共振幅頻曲線Fig.4 Frequency-response curves in differentexcitation amplitudes

圖 4 中，k1=20.5 N/m，k2= -3 063 N/m2，k3=21 279 N/m3，ω1=0.18，ω2=0.34，ω3=0.49，M=280 kg，c=140 N·s/m。從圖4可以看出：激勵(lì)幅值對(duì)非線性響應(yīng)曲線有明顯影響；隨著激勵(lì)幅值的增大，組合共振的響應(yīng)振幅也增大。并且隨著激勵(lì)幅值的增大，幅頻曲線的骨架曲線的彎曲程度變得更大，說(shuō)明激勵(lì)幅值越大，系統(tǒng)非線性特性越明顯。

圖5中，其余各參數(shù)取值如下：k1=20.5 N/m，k2=-3 063 N/m2，F(xiàn)1=F2=F3=0.015 m，ω1=0.18，ω2=0.34，ω3=0.49，M=280 kg，c=140 N·s/m。從圖5可以看出：三次非線性系數(shù)直接影響幅頻響應(yīng)曲線的非線性特性。當(dāng)k3＞0時(shí)，幅頻曲線的骨架曲線向右彎曲，當(dāng)k3＜0時(shí)，幅頻曲線的骨架曲線向左彎曲；k3的絕對(duì)值越大，曲線的彎曲程度越大；組合共振響應(yīng)曲線的幅值也隨k3的絕對(duì)值的增大而增大。

圖5 三次非線性系數(shù)變化時(shí)的組合共振幅頻曲線Fig.5 Frequency-response curves in different cube nonlinear parameters

圖6 中，其余各參數(shù)取值如下：k1=20.5 N/m，k2=-3 063 N/m2，k3=21 279 N/m3，F(xiàn)1=F2=F3=0.015 m，從圖6可知，當(dāng)載荷變小時(shí)，這種組合共振的幅頻曲線彎曲程度變大，非線性現(xiàn)象變得更明顯。

圖7中，其余各參數(shù)取值如下：k1=20.5 N/m，k2=-3 063 N/m2，k3=21 279 N/m3，F(xiàn)1=F2=F3=0.015 m，ω1=0.18，ω2=0.34，ω3=0.49，M=280 kg。從圖7可以看出：隨著阻尼系數(shù)的增大，組合共振響應(yīng)曲線的幅值變小。而幅頻曲線的骨架曲線不受阻尼的影響，系統(tǒng)的共振域也基本不變。

圖6 載荷變化時(shí)的組合共振幅頻曲線Fig.6 Frequency-response curves in different load masses

圖7 阻尼系數(shù)變化時(shí)的組合共振幅頻曲線Fig.7 Frequency-response curves in different damping coefficients

4 結(jié)論

(1) 根據(jù)實(shí)驗(yàn)得到的空氣彈簧動(dòng)載荷曲線，運(yùn)用三次非線性多項(xiàng)式對(duì)其進(jìn)行擬合，得到一定初始?jí)毫ο驴諝鈴椈上鄬?duì)平衡位置的非線性恢復(fù)力與高度的關(guān)系式，為對(duì)系統(tǒng)非線性求解奠定了基礎(chǔ)。

(2) 在3個(gè)頻率激勵(lì)下系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)超諧共振、亞諧共振、組合共振等情況。對(duì) ω1+ω2+ω3≈1的組合共振進(jìn)行分析，得到了頻率響應(yīng)方程。

(3) 激勵(lì)幅值越大，系統(tǒng)非線性現(xiàn)象越明顯；三次非線性系數(shù)對(duì)系統(tǒng)非線性影響大，當(dāng)k3＞0時(shí)，幅頻曲線的骨架曲線向右彎曲；，當(dāng)k3＜0時(shí)，幅頻曲線的骨架曲線向左彎曲；載荷變小時(shí)，組合共振幅頻曲線彎曲程度變大；阻尼變小時(shí)，組合共振響應(yīng)曲線的幅值變大，系統(tǒng)的共振域不受阻尼變化的影響。

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