唐益明， 劉曉平

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與或非功能樹的功能集族求解方法

唐益明， 劉曉平

（合肥工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院可視化與協(xié)同計(jì)算（VCC）研究室，安徽合肥 230009）

當(dāng)前概念設(shè)計(jì)中與或非功能樹的組合求解方法存在解空間龐大、沖突定位困難的問題，對(duì)此提出一種功能集族求解方法。定義了功能集族和廣義與或樹，基于經(jīng)典命題邏輯理論將與或非功能樹轉(zhuǎn)化為等價(jià)的廣義與或樹，并通過求解功能集族實(shí)現(xiàn)了與或非功能樹的功能求解算法。通過實(shí)例證明：該方法可有效地提高設(shè)計(jì)者的設(shè)計(jì)效率。

計(jì)算機(jī)應(yīng)用；功能集族求解；經(jīng)典命題邏輯；功能樹

產(chǎn)品設(shè)計(jì)是一個(gè)復(fù)雜的創(chuàng)造性生產(chǎn)過程，其中概念設(shè)計(jì)是產(chǎn)品設(shè)計(jì)過程中最初的也是最具創(chuàng)造性的階段。而“功能”這個(gè)概念貫穿概念設(shè)計(jì)的各個(gè)階段, 它是概念設(shè)計(jì)的最基本元素。一般概念設(shè)計(jì)主要可以劃分成兩個(gè)階段：① 功能分析，確定某個(gè)抽象層次的功能，分解功能，建立功能樹和功能結(jié)構(gòu)；② 功能求解，對(duì)每個(gè)分功能進(jìn)行求解，得到分功能原理解，并組合形成設(shè)計(jì)方案。

與或非功能樹是一種應(yīng)用廣泛的功能分析方法。文獻(xiàn)[5]中提到基于公理化設(shè)計(jì)，將功能域向結(jié)構(gòu)域的曲折映射表示為產(chǎn)品結(jié)構(gòu)樹，其自上而下是“功能―結(jié)構(gòu)―子功能―結(jié)構(gòu)―…”的不斷分解過程。不過其過程是一個(gè)“與”分解的過程，并未涉及“或”分解的問題。文獻(xiàn)[6]中將行為域引入到公理化設(shè)計(jì)，采用功能―行為―載體（結(jié)構(gòu)）的域結(jié)構(gòu)模板，并通過功能層、行為層、載體層交替出現(xiàn)的與或功能樹來實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[7]中建立了基于“需求域―功能域―原理解域循環(huán)映射”的概念設(shè)計(jì)模型，并提出了概念設(shè)計(jì)與/或樹形式化表達(dá)方法。文獻(xiàn)[8]基于相似理論和可拓學(xué)理論，針對(duì)與、或、非分解的功能樹進(jìn)行相似擴(kuò)展研究。文獻(xiàn)[9]首先總結(jié)當(dāng)前已有的功能樹，得到了一般意義的與或非功能樹，并且針對(duì)與或功能樹提出一種基于功能矩陣的功能求解方法，其中也考慮了簡化問題。

目前，功能樹的功能求解主要是通過組合原理來進(jìn)行計(jì)算的。但對(duì)于規(guī)模較大的功能樹，存在兩方面的問題：一方面，其結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性無法讓設(shè)計(jì)人員輕易地理清頭緒，而且其功能的實(shí)現(xiàn)方案數(shù)極其龐大，導(dǎo)致很難準(zhǔn)確尋找出最優(yōu)解。另一方面，創(chuàng)新推理是概念設(shè)計(jì)的本質(zhì)，而創(chuàng)新推理的主要難點(diǎn)在于沖突的檢測、定位與消解。但對(duì)于規(guī)模較大的功能樹，組合求解所得到的龐大的解空間，使得設(shè)計(jì)者很難迅速發(fā)現(xiàn)并定位沖突所在，更難以消解沖突。

為此，作者在文獻(xiàn)[12]中針對(duì)與或功能樹，基于布爾代數(shù)理論，提出了一種基于功能集族的功能求解方法。但是，其研究僅針對(duì)與或功能樹，而對(duì)于與或非功能樹，則并未涉及。

由于布爾代數(shù)與經(jīng)典命題邏輯之間恰好存在著密切的聯(lián)系，例如，經(jīng)典命題邏輯中通過邏輯等價(jià)導(dǎo)出的Lindenbaum代數(shù)是布爾代數(shù)，命題公式與布爾函數(shù)之間可相互導(dǎo)出等。而且，創(chuàng)新推理作為邏輯推理的子問題，可見，從經(jīng)典命題邏輯出發(fā)更有利于對(duì)與或非功能樹開展研究。

因此，本文針對(duì)與或非功能樹，研究基于功能集族的功能求解方法，基于經(jīng)典命題邏輯理論對(duì)與或非功能樹進(jìn)行形式變換，并得到功能集族，以此作為設(shè)計(jì)解空間的表示。實(shí)踐證明，該方法大量地縮減了解空間，對(duì)于沖突的發(fā)現(xiàn)與定位起到積極的推動(dòng)作用。

1 與或非功能樹的相關(guān)定義

與或非功能樹可視為經(jīng)典命題邏輯理論的一種應(yīng)用。“與”門分解相當(dāng)于“”，或門分解相當(dāng)于“”，“非”門相當(dāng)于否定運(yùn)算“”。對(duì)于功能，若按或門展開為和，則有，即功能實(shí)現(xiàn)或功能實(shí)現(xiàn)，則有功能實(shí)現(xiàn)，其余類似可得。

定義1 對(duì)于與或非功能樹中重復(fù)的葉子節(jié)點(diǎn)，用經(jīng)典命題邏輯的原子公式來進(jìn)行表示，稱其為基本變量，記為。當(dāng)基本變量對(duì)應(yīng)葉子節(jié)點(diǎn)的需求實(shí)現(xiàn)時(shí)取1，否則取0。類似地，將功能樹中門節(jié)點(diǎn)用邏輯公式表示，稱為擴(kuò)展變量。基本變量和擴(kuò)展變量統(tǒng)稱為樹變量。記頂節(jié)點(diǎn)為的功能樹為，并記功能樹的層數(shù)為。

目標(biāo)樹函數(shù)本質(zhì)上是把與或非功能樹和經(jīng)典命題邏輯映射起來的紐帶，一方面是功能樹結(jié)構(gòu)的表示，一方面其計(jì)算都是按照經(jīng)典命題邏輯運(yùn)算規(guī)則。對(duì)功能樹自上而下，通過與、或、非展開，直至葉子節(jié)點(diǎn)，則可得目標(biāo)樹函數(shù)。如圖1為功能樹的示例，其目標(biāo)樹函數(shù)為

2 與或非功能樹的功能集族求解算法

定義5 在與或功能樹中，如果將基本變量集拓展成為廣義基本變量集，即葉子節(jié)點(diǎn)既可是基本變量，也可是基本變量的否定，則得到一種新的與或功能樹，稱其為廣義與或樹。

作者在文獻(xiàn)[12]中針對(duì)與或功能樹給出了功能集族求解算法。顯然，與或非功能樹不能直接利用其中算法。但是，如果設(shè)法將與或非功能樹轉(zhuǎn)化為廣義與或樹，則可較充分地利用文獻(xiàn)[12]的算法。注意到對(duì)于與或非功能樹，一般總可以假設(shè)其節(jié)點(diǎn)數(shù)有限。以下定理1證明了與或非功能樹可以在保持邏輯等價(jià)的情況下轉(zhuǎn)化為廣義與或樹。

由定理1可得到從與或非功能樹到廣義與或樹的轉(zhuǎn)化算法，如算法1。

算法1 從與或非功能樹到廣義與或樹的轉(zhuǎn)化算法

Step8 結(jié)束。

在轉(zhuǎn)化為廣義與或樹之后，可利用文獻(xiàn)[12]中算法進(jìn)行處理。在得到的功能集族中，若其中功能集滿足：，則從經(jīng)典命題邏輯理論的角度，需將該功能集刪除。且基本變量集合從拓展到，即需適當(dāng)調(diào)整文獻(xiàn)[12]中算法。這里限于篇幅，不對(duì)其進(jìn)行重新描述。

3 實(shí) 例

針對(duì)多功能茶杯的概念設(shè)計(jì)，假設(shè)由領(lǐng)域?qū)＜医⒐δ軜淙鐖D2所示。如果從實(shí)現(xiàn)解的方案的組合數(shù)而言，考察本功能樹的一個(gè)中間計(jì)算過程

可見，結(jié)果僅需考慮9個(gè)設(shè)計(jì)方案，而不用考慮由組合原理得到的480種方案。對(duì)于設(shè)計(jì)問題來說，由功能集族求解得到的求解方案，包含了最終的設(shè)計(jì)解。如其中的，可在此基礎(chǔ)上得到解：杯身、杯蓋采用雙層中空結(jié)構(gòu)，杯身可伸縮，采用內(nèi)濾蓋進(jìn)行隔離。這里簡化的效果取決于基本變量重復(fù)的次數(shù)和功能樹的結(jié)構(gòu)。其中，功能樹的結(jié)構(gòu)情況比較復(fù)雜，而功能樹的節(jié)點(diǎn)重復(fù)次數(shù)越多，則簡化的效果越好，反之亦然。尤其在沒有基本變量重復(fù)的情況發(fā)生時(shí)，則完全退化為一般組合原理的方法。由此可見，采用本文方法可使設(shè)計(jì)者在原來大量冗余的方案中擺脫出來，能從優(yōu)化后的方案中迅速找到功能求解方法；同時(shí)，可快速地定位沖突的關(guān)鍵之處，從而為沖突的檢測、提取及消解提供了極大的便利性。因此，既有效縮減了解空間，提高設(shè)計(jì)效率，也對(duì)創(chuàng)新推理起到了積極的推動(dòng)作用。

圖2 功能樹分解圖

4 總 結(jié)

本文針對(duì)與或非功能樹，提出基于功能集族的功能求解方法，將把功能樹的功能求解轉(zhuǎn)化為對(duì)功能集族的求解。該方法大量地縮減了解空間，對(duì)于沖突的發(fā)現(xiàn)與定位起到積極的推動(dòng)作用,相比概念設(shè)計(jì)中常用的組合原理方法，可有效地提高設(shè)計(jì)者的設(shè)計(jì)效率。

當(dāng)然，采用功能集族進(jìn)行求解的方法也存在著一些缺陷和不足。由于經(jīng)典命題邏輯的相關(guān)簡化理論，使用這種簡化方法可能會(huì)使一些基本信息發(fā)生丟失，這實(shí)際上就丟失了一批問題的求解方式，所以會(huì)導(dǎo)致設(shè)計(jì)解空間的縮小，可能存在損失。如何分析并消除這些損失，是下一步的工作重點(diǎn)之一。

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A Function FamilySolving Method of And/Or/Not Function Tree

TANG Yi-ming, LIU Xiao-ping

( VCC Division, School of Computer and Information, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China )

Combination solving is widely used for and/or/not function trees in conceptual design. However, there exist some serious problems such as enormous solving space and difficult conflict orientation in combination solving. A function family solving method is proposed. At first, the concepts of function families and generalized and/or trees are given. Furthermore, and/or/not function trees are equivalently converted to the generalized and/or trees based on classical propositional logic. At last, the function solving algorithm is realized by obtaining function families. The new method is proved to enhance designers’ work efficiency with an instance.

computer application;function family solving; classical propositional logic; function tree

TP 391.72

A

1003-0158(2011)01-0143-05

2009-05-06

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60673028）

唐益明（1982-），男，安徽無為人，博士研究生，主要研究方向?yàn)槎嘀颠壿嬇c模糊邏輯，CAD，人工智能。