俞集輝 賈 晉 汪泉弟 鄭亞利

（重慶大學輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國家重點實驗室 重慶 400030）

1 引言

汽油發(fā)動機點火過程中，點火線圈的一次線圈先進行充電，然后由電子開關(guān)器件快速切斷一次電流，以便在二次線圈產(chǎn)生足夠高的電壓擊穿點火塞氣隙[1]。由于此過程中伴隨快速通斷與暫態(tài)過程，使點火線圈繞組上的電壓或電流信號具有寬頻帶的特征，加之鐵心的非線性，電阻電感的頻率特性，雜散電容的影響，點火線圈內(nèi)部與端口特性相對于穩(wěn)態(tài)情況下的復(fù)雜性大大提高。點火線圈是點火系統(tǒng)中重要的元件，為了能夠準確有效地進行系統(tǒng)級的仿真，建立點火線圈的寬頻電路模型顯得尤為重要。

點火線圈在整個點火過程中實際為一瞬態(tài)電壓變壓器。國內(nèi)外有很多文獻對變壓器在瞬態(tài)沖擊電壓下的高頻模型進行了研究，提出不同的計算方法與等效模型。總的來講，一般分為三類模型。其一，基于多導(dǎo)體傳輸線理論（MTL）的變壓器繞組模型[2-3]。將每一匝線圈作為一根傳輸線，建立多導(dǎo)體的傳輸線方程，求解繞組內(nèi)部的電壓電流分布。該 模型能夠用于研究繞組在瞬態(tài)過程中內(nèi)部的電磁特性，但計算量較大，并且不能作為獨立模塊進行Spice仿真。其二，集總參數(shù)模型。將每一匝或每一段線圈作為一個單元，建立繞組的集總單元等效電路[4-6]模型或電磁路混合模型[7-8]。該模型能作為獨立模塊進行Spice仿真，但不夠完全反映繞組內(nèi)部的電磁特性。其三，基于電網(wǎng)絡(luò)理論的“黑匣子”模型。通過測量變壓器端口的阻抗參數(shù)[9-10]，利用有理函數(shù)逼近、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[11]等數(shù)學方法來構(gòu)造等效模型。由于是基于端口的測量數(shù)據(jù)，所以精度較高，易于進行Spice仿真，但不能在變壓器設(shè)計初期預(yù)測其高頻特性。

變壓器的高頻模型中參數(shù)的提取也是至關(guān)重要的。主要的方法有解析法[3-5]，測量法[11,13]以及數(shù)值計算方法。由于有限元法能夠計算復(fù)雜模型并且精度高，越來越多的文獻[2，14]利用該方法研究變壓器高頻模型的分布參數(shù)以及繞組與鐵心的頻率特性。

本文利用“場-路”結(jié)合方法研究點火線圈在瞬態(tài)沖擊電壓下的高頻模型。首先，建立了線圈繞組的集總參數(shù)電路模型；其次，通過對點火線圈三維與二維有限元模型的分析，并利用多項式擬合方法分別計算了電路模型中的高低頻電感參數(shù)以及分布電容參數(shù)；最后，測量與計算了點火線圈二次繞組端口100Hz～10MHz的幅頻特性與時域瞬態(tài)沖擊電壓響應(yīng)，并分析了電路模型中主要參數(shù)對點火線圈時頻特性的影響。

2 計算模型

2.1 點火線圈物理模型

點火線圈三維模型以及二維剖面圖如圖 1a及圖1b所示。一、二次線圈分別由150匝與13 000匝銅心導(dǎo)線繞制而成。二次線圈分為9個線餅，每個線餅的線圈約為 15～30層，而每層約為 30～60匝導(dǎo)線。如圖2所示。

圖1 點火線圈模型Fig.1 Physical model of ignition coil

圖2 二次線餅剖面圖Fig.2 Cross-section of secondary coil

2.2 點火線圈繞組等效電路模型

為了能夠方便地將點火線圈模型進Spice仿真，本文采取集總參數(shù)電路模型。首先將線圈繞組分為多節(jié)獨立線餅，節(jié)數(shù)的選取一般有兩大標準[6]：①盡量與實際繞組情況相符合；②盡量減小計算量。每一獨立線餅由R，L，C電路模型等效，線餅之間聯(lián)系由耦合電容C，互感M等效或直接相連。圖3為點火線圈繞組的等效電路模型。該模型一共分為n+1節(jié)獨立線餅（本文n=9）。

圖3 點火線圈繞組等效電路模型Fig.3 Equivalent circuit model of ignition coil

3 參數(shù)求取

3.1 電容

由于點火線圈繞組的復(fù)雜性，不可能建立準確的三維模型，本文將各線餅等效為實心導(dǎo)體，如圖4所示。利用Maxwell 3DTM的靜電場分析對等效后的點火線圈三維模型進行有限元剖分，得到55 266個剖分四面體，如圖 5所示。然后基于能量原理[2]求取各線餅對地電容Cg以及各線餅間分布電容Cp。其靜電儲能公式為

式中W—系統(tǒng)的靜電儲能；

Cij—i線餅與j線餅analysis間的電容；

Ui，Uj—i線餅，j線餅的對地電壓；

N—系統(tǒng)內(nèi)線餅個數(shù)。

利用式（1）可提取點火線圈模型中多導(dǎo)體系統(tǒng)的電容矩陣。具體求解過程可參考文獻[14]。

圖4 點火線圈繞組實際線餅簡化圖Fig.4 Simplified sketch model of real cross-section

圖5 靜電場分析中點火線圈模型的三維有限元網(wǎng)格Fig.5 3D FEM mesh of ignition coil in electrostatic analysis

同時，為了求取每個線餅內(nèi)繞組匝間等效電容Cs，通過式（2）將實際的線餅近似處理為軸對稱圖形，如圖6所示。

式中x，y—線餅橫截面實際軸心軌跡的長和寬；

Reff—等效軸心軌跡半徑。

圖6 線餅橫截面軸心軌跡等效示意圖Fig.6 Equivalent sketch of ignition coil cross-section axis orbit

利用 Maxwell 2DTM的靜電場分析對線餅繞組的二維軸對稱模型進行有限元剖分，圖7為繞組層數(shù)等于20時的有限元網(wǎng)格，共25 365個剖分三角形。依然基于能量原理計算匝間等效電容Cs。

圖7 繞組線圈20層時線餅的二維有限元網(wǎng)格Fig.7 2D FEM mesh of cross-section of secondary coil in electrostatic analysis when Nlayer=20

假定任意相鄰兩匝線圈之間的電壓差相同，即

式中，ΔU為相鄰兩匝線圈之間的電壓差。而線餅等效電容Cs存儲能量定義為

式中，Ueff表示線餅內(nèi)第一匝線圈與最后一匝線圈之間的電壓

根據(jù)能量守恒原理，式（1）和式（4）相等，并聯(lián)合式（3）和式（5）可以得到每個線餅內(nèi)繞組匝間等效電容

又由于

式中，Nlayer為圖 2中的繞組層數(shù)；λ為每層的線圈匝數(shù)。所以式（6）可改寫為

雖然采用上述簡化方法可以降低運算量，當繞組的層數(shù)Nlayer達到30層時，計算量仍會變得非常巨大。因此，本文采用多項式（9）進行外推計算。

式中，Ki為擬合系數(shù)，i=0,…,3。首先通過二維有限元法分別計算式（8）中Nlayer=2，4，6，8，14，20的匝間等效電容Cs。其中Nlayer=2，4，6，8的計算結(jié)果（圖8中的實心圓圈）得到式（9）中的擬合系數(shù)，由此得到反映Cs與線圈層數(shù)之間關(guān)系的擬合曲線（圖 8中的實線）；而Nlayer=14，20的計算結(jié)果（圖8中的空心圓圈）用于檢驗擬合曲線的準確性。然后由擬合曲線外推得到實際繞組層數(shù)Nlayer=30時的匝間等效電容Cs。

圖8 繞組匝間等效電容Cs的擬合曲線Fig.8 Fitting curve of winding-winding capacitance Cs

3.2 電感

點火線圈各線餅繞組仍采用圖4的等效實心導(dǎo)體，即等效為單匝線圈。Maxwell 3DTM的靜磁場分析對簡化后的點火線圈模型進行有限元分析，其剖分四面體數(shù)為47 937。由該剖分網(wǎng)格從而計算得到求解區(qū)域內(nèi)的磁場H與磁感應(yīng)強度B分布，然后通過能量法由式（10）、式（11）求取各線餅的繞組電感L。

式中Lij_nom—i，j繞組通以單位電流時所求的兩繞組間互感；

Bi—繞組i中單位電流所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度；

Hj—繞組j中單位電流所產(chǎn)生的磁場強度；

Ni，Nj—繞組的線圈匝數(shù)；

Lij—實際的繞組互感。

隨著頻率的升高，由于鐵心中渦流的影響將會產(chǎn)生去磁作用，使得與各繞組交鏈的磁通大大降低，相應(yīng)的繞組電感值也降低[15]。為了研究頻率對磁通的影響，分別在點火線圈各線餅繞組內(nèi)通以100Hz，1kHz，10kHz的單位電流進行有限元的渦流分析。當通以單位電流（0Hz）進行靜磁場分析時磁力線主要通過鐵磁材料，只有極少部分通過空氣，如圖9a所示。隨著頻率的增加，集膚效應(yīng)越來越明顯，通過鐵心的磁力線明顯減少，經(jīng)過空氣的明顯增多。如圖9b、圖9c和圖9d所示。

圖9 點火線圈在不同頻率下的磁力線分布Fig.9 Magnetic flux distribution of ignition coil under various frequencies situations

取圖 9a中的參考線上各頻率下的B值，得到線上在各頻率下B/BDC的曲線（BDC為靜磁場時參考線上的B值），如圖10所示。圖中L為參考線上某一點到起始點的距離；L0為參考線的總長度。從圖中可看出，當頻率在10kHz時，其鐵心內(nèi)部B值基本接近零。因此當頻率≥10kHz時，可將點火線圈鐵心等效為空氣材料或者磁阻性材料。因此，本文設(shè)定高頻下鐵心的等效相對磁導(dǎo)率ur=0.000 1，所求得的電感矩陣定義為高頻電感LH；而當鐵心工作在線性區(qū)ur=2 800時（不考慮飽和現(xiàn)象），所求得的電感矩陣定義為低頻電感LL。

圖10 參考線上磁感應(yīng)強度相對值分布曲線Fig.10 Relative magnetic flux density on the reference line

3.3 電阻

繞組串聯(lián)電阻Rs由電導(dǎo)率ρ，導(dǎo)線長度l，導(dǎo)線半徑r，與趨膚深度δ共同決定。

由于測量的最高頻率 10MHz時的趨膚深度δ與本文模型中導(dǎo)線半徑r相差不大，故采用直流電阻Rs=8.85Ω/m就能足夠反映實際的阻值情況。電容介質(zhì)損耗等效電阻RCs(RCp)的計算公式為

式中C—等效電阻的串聯(lián)電容；

tanγ—介質(zhì)損耗角正切。

根據(jù)文獻[5]，電容損耗三種表達式的功率因數(shù)交點得到等效的頻率點，本文取f=1MHz。表示鐵心中渦流損耗Re主要影響繞組阻抗在整個頻段內(nèi)的最大值，對諧振點影響不大，計算方法可參考文獻[16-17]。

4 實驗與仿真

4.1 頻域測試與仿真

本文用Agilent4294A阻抗分析儀測量點火線圈的二次線圈在100Hz～10MHz間的阻抗特性。測量過程中，所施加的勵磁必須保證鐵心工作在線性區(qū)[18]。同時由于測量所焊接的引線不可避免地增加了分布電感與電容，所以測量前必須將儀器做相應(yīng)的補償校準。為了研究圖3電路模型中的參數(shù)對阻抗特性的影響，本文做以下情況仿真：①線餅繞組電感采用鐵心工作在線性區(qū)時的低頻電感LL。②忽略線餅繞組匝間等效電容Cs。③線餅繞組電感采用高頻電感LH。

圖11表示一次線圈開路時，測得的二次線圈幅頻特性以及仿真結(jié)果。由圖可知，100Hz≤f≤15kHz二次線圈阻抗成感性，主要由電阻與電感起主導(dǎo)作用。因此當采用低頻電感LL時或忽略繞組匝間電容Cs時，其仿真值與測量值都吻合得較好；當采用高頻電感LH時，就會出現(xiàn)較大的誤差。15kHz≤f≤10MHz，二次線圈阻抗由感性變?yōu)槿菪?，主要由線餅間電容Cp與繞組匝間電容Cs起主導(dǎo)作用。因此當忽略Cs時，其仿真值與測量值誤差較大；從理論上講，雖然電感隨頻率的升高而降低，但由于對整個阻抗影響不大，所以當采用LL時，仿真與測量仍然吻合得很好；而采用LH時，在80kHz≤f≤10MHz內(nèi)測量與仿真能夠吻合，而LH才是高頻情況下實際的電感值。所以f=80kHz為低頻段與高頻段的分界點。在高頻段內(nèi)，測量值一共有8個諧振點，當采用①和③兩種情況時的仿真值除了不能反映諧振頻率f=150kHz以外，其他諧振點都與測量結(jié)果相近。當一次線圈短路時，由于一次端在二次端的等效阻抗減小，使得二次線圈在低頻段的阻抗也相應(yīng)減小，但是對高頻阻抗影響不大。如圖12所示。

圖11 一次端開路時二次線圈幅頻特性的測量值與仿真值Fig.11 Test and simulation data for magnitude-frequency response of secondary coil when opening primary coil

從以上仿真與測量數(shù)據(jù)的對比，可以得知二次線圈阻抗的低頻特性主要由電感LL決定，而高頻特性主要由分布電容Cs、Cp決定，而本文點火線圈模型高頻段與低頻段的分界點為80kHz，如圖11所示。

4.2 時域測試與仿真

圖 13為時域測試的原理圖。點火線圈的一次線圈端口1接電源正極，并通過電流探頭采取一次線圈上電流波形（圖14上部曲線）；端口2接開關(guān)器件，開關(guān)器件的觸發(fā)脈沖為周期20ms，占空比0.1的矩形脈沖；變壓器二次線圈端口3通過高壓探頭采取二次電壓波形（圖14下部曲線）；端口4接地。

圖13 點火線圈時域測試示意圖Fig.13 Experimental sketch of ignition coil for time-domain test

圖14 一次線圈電流與二次線圈電壓測量波形Fig.14 Primary coil current data and secondary coil voltage from experiment

圖15 一次線圈電流與二次線圈電壓仿真波形Fig.15 Primary coil current data and secondary coil voltage from simulation

圖 15為一次線圈電流與二次線圈電壓的仿真計算曲線，其仿真電路的電感值采用低頻電感LL。t=0ms時，當矩形脈沖的上升沿到來時，開關(guān)器件在極短時間內(nèi)開通，由于電路里含有電容與電感器件，故在開通時一次線圈電流波形與二次電壓波形都存在小幅振蕩；0ms＜t＜2ms時，回路處于開通狀態(tài)，一次線圈電流呈對數(shù)上升，其變化率很小且為定值，通過一、二次線圈間的互感感應(yīng)到二次線圈的電壓也很小，并且為一定值；t=2ms時，當矩形脈沖下降沿到來時，開關(guān)器件在極短時間內(nèi)關(guān)斷，由于一次線圈電流在此時刻的變化率大，故在二次線圈上感應(yīng)出幅值30kV的高壓脈沖；t＞2ms時，由于線圈電感電容的存在，一次線圈電流不可能立即降為0A，而是通過衰減振蕩到0A，同時二次線圈上的電壓也是通過衰減振蕩到0V。

點火線圈的一次線圈電流與二次線圈電壓的仿真值與測量值在開關(guān)器件開通與關(guān)斷時吻合很好，電流最大值都為3A，電壓最大值為30kV。但是關(guān)斷后一次線圈測量電流振蕩幅值小于仿真值，而且衰減至零時間（約2.4s）小于仿真值（約2.5s）。這可能由三方面原因所引起：其一，點火線圈模型本身存在一定的誤差；其二，由于實驗中的電源為蓄電池，而在仿真電路中并沒有考慮與蓄電池相連接的接觸電阻，同時各引線電阻也沒有在考慮范圍內(nèi)，因此仿真結(jié)果衰減至零的時間相對于實驗值較長。其三，開關(guān)器件的分布電容等雜散參數(shù)對計算結(jié)果也有一定影響。

5 結(jié)論

（1）本文建立的點火線圈繞組的集總參數(shù)電路模型能夠反映實際繞組的阻抗特性。等效電路中的電容Cp可由三維有限元法求取。由于繞組線圈匝數(shù)眾多，本文將三維模型簡化成二維軸對稱模型，然后由二維有限元法求取匝間等效電容Cs。并且為了減少計算量，可計算少數(shù)幾層的等效電容，然后由式（9）外推得到實際層數(shù)的等效電容。

（2）由于隨著頻率的增加，線圈電感會明顯降低，而且在某個頻率點后線圈電感為常值。可以通過有限元分析求取鐵心中B/BDC曲線，確定該頻點值，如圖10所示。

（3）通過對點火線圈的阻抗特性的仿真值與測量值的比較，可以分析出在低頻段電感LL起主導(dǎo)作用，高頻段電容Cp、Cs起主導(dǎo)作用。

由于點火線圈實際為瞬態(tài)電壓變壓器，所以應(yīng)該可以將本文的電路模型以及參數(shù)提取方法推廣到單相變壓器的瞬態(tài)模型的求取。但是本文中繞組電感分為低頻電感LL與高頻電感LH，雖然采用LL時繞組的阻抗在高頻段也能與測量結(jié)果吻合，但這并不具有一般性。在電路模型中只采用一組等效的電感值就能同時反映低頻段與高頻段的電感特性將是下一步的工作。

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