左 潔

(江蘇省泗陽中學,江蘇泗陽 223700)

圖1

類型1:在力學中的應用例 1.如圖 1所示,A是一帶有豎直立柱的木塊,總質量為 M,位于水平地面上;B是一質量為m可看作質點的小球,通過一不可伸長的輕繩掛于立柱的頂端,懸點到小球的距離為l.現(xiàn)拉動小球使繩伸直并處于水平位置,然后讓小球從靜止狀態(tài)下擺,在小球與立柱發(fā)生碰撞前,木塊A始終未發(fā)生移動,則木塊與地面之間的靜摩擦因數(shù)至少為多大?(設 A不發(fā)生轉動)

解析:設小球擺至位置C時細線與水平方向的夾角為θ,小球的速度為 v,分析此時小球受力,設細繩拉力為 T,如圖2所示.對小球,由動能定理可得

在位置C滿足

圖2

圖3

對木塊,分析其受力如圖3所示,由于木塊始終處于靜止狀態(tài),故有水平方向

豎直方向

根據(jù)題意有

聯(lián)立(1)～(5)式得

則

由(9)、(10)式可得

由(6)、(11)式可得當

由此可見,不論θ取何值時,木塊 A均不發(fā)生移動.由(8)式和(12)式得

圖4

例2.如圖4所示,長為 L的輕質桿,兩端分別固定有質量為m的小球A和B,A套在光滑豎直桿上,B套在光滑水平桿上.開始時桿與水平面成45°角,放手后A向下滑,B向右滑,求桿與水平面夾角為多大時,B的速度vB最大?此時vB為多大?

圖5

解析:分別作出 A下滑到A′,B右滑到B′的速度矢量圖,設 A′B′與水平面夾角為θ,如圖 5所示,由系統(tǒng)機械能守恒得

兩球沿桿方向運動速度相等v1=v3,即

由(1)、(2)式得

令 y=(2sin45°-2sinθ)sinθ sinθ. (4)

類型2:在電學中的應用

例3.兩個等量帶正電的點電荷 q相距為d,求它們連線的垂直平分線上場強最大的位置.

圖6

解析:如圖 6所示,設兩點電荷連線的垂直平分線上的點C與兩點電荷的距離為L,點 C處的場強為E,∠OAC=θ,則有

其中 k,q,r均為恒量.令 y=sinθ cos2θ,則

由(1)～(3)式可得最大場強為

圖7

例 4.如圖 7所示,ad、bc為相距為 l(l≤1)的平行導軌(電阻可忽略),a、b間連一阻值為R的電阻.長直細桿 MN可按任意角θ架在平行導軌上,并以平行于導軌的速度 v平移.桿 MN有電阻,單位長度的電阻為 R,整個導軌內部空間充滿勻強磁場,磁感應強度大小為B,方向垂直于紙面向里.

求:桿 MN上消耗的功率為最大時角θ的值.

解析:桿 MN上產生的電動勢為

桿在電路中的電阻為

流過桿MN的電流強度為

由以上3式得桿MN上消耗的功率為

整理(4)式得