唐 龍

(南京師范大學(xué)附屬中學(xué),江蘇南京 210003)

共點(diǎn)力平衡問題是實(shí)際生活中最常見的問題之一,涉及的主要知識是共點(diǎn)力平衡條件的應(yīng)用,其中,三力平衡問題是現(xiàn)行高中物理教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容,而如何處理這類問題又是高中物理教學(xué)的難點(diǎn).在高中物理教學(xué)中,解三力平衡問題常用的方法有“三角形法”和“正交分解法”.

所謂“三角形法”是指在研究三力平衡時(shí),根據(jù)任意兩個(gè)力的合力與第三個(gè)力大小相等方向相反這一平衡條件,作出三個(gè)力構(gòu)成的力的矢量三角形,然后應(yīng)用三角形的有關(guān)知識來建立平衡關(guān)系式的研究方法.這當(dāng)中用到的三角形的有關(guān)知識是非常豐富的,有直角三角形的邊角關(guān)系和邊與邊的關(guān)系(勾股定理)的應(yīng)用;也有一般三角形的正弦定理和余弦定理的應(yīng)用;還有力的矢量三角形和空間幾何三角形相似的關(guān)系應(yīng)用等等.這就使得“三角形法”在解三力平衡問題時(shí),顯得方法直接、多變而獨(dú)具魅力,受到廣大師生的青睞.

所謂“正交分解法”是指研究三力平衡時(shí),選擇合適的兩個(gè)相互垂直的方向建立正交的直角坐標(biāo)系,然后把不在坐標(biāo)軸上的力都分解到這兩個(gè)坐標(biāo)軸上(或者說是投影到軸上).再分別列兩個(gè)坐標(biāo)軸方向上的平衡關(guān)系式,聯(lián)立為方程組進(jìn)行求解的方法.“正交分解法”在解三力平衡問題時(shí),常顯得有些繁瑣、呆板.

然而,任何一事物都具有其兩面性,方法的好丑也常常是相對的.下面就通過兩例來談?wù)劇叭切畏ā痹诮馄胶鈫栴}時(shí)存在的的局限性.

例1.如圖1所示,一個(gè)重為G的小環(huán)套在豎直放置的半徑為R的光滑大圓環(huán)上,一個(gè)勁度系數(shù)為k,自然長度為L(L＜2R)的輕質(zhì)彈簧,其一端與小環(huán)相連,另一端固定在大環(huán)的最高點(diǎn),求小環(huán)處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí),彈簧與豎直方向的夾角 φ.

圖1

解析:分析小球受力如圖 2所示,小環(huán)受重力G、沿大圓環(huán)半徑方向的支持力 N、彈簧對它的拉力F的作用.根據(jù)胡克定律應(yīng)有

方法1:“三角形法”.因小球處于平衡狀態(tài),若將表示三力的矢量線段平移,這三個(gè)力必可構(gòu)成一首尾相連的閉合的矢量三角形.如圖3所示,容易判斷,圖中的力三角形和空間位置三角形△AOB是相似的,所以有對應(yīng)邊成比例,即

由(1)、(2)兩式即可得

圖2

圖3

這是一道很典型的三力平衡問題,如果學(xué)生能夠想到用上述方法解到這一步已屬不易,這樣的學(xué)生對相關(guān)知識已掌握得很好,解題的能力也相當(dāng)不錯(cuò),很多的教學(xué)參考書也是這樣解答的.可是,當(dāng)我們看到下面的問題對話時(shí),是否有別有洞天的感覺呢?

答:從數(shù)學(xué)的角度來看應(yīng)該是無解.可是,無解就意味著找不到一個(gè)可以平衡的位置.

問題2:在這樣的封閉圓環(huán)上找不到一個(gè)可以平衡的位置,這可能嗎?如若不可能,那會(huì)在什么位置平衡呢?

答:肯定存在平衡的位置,好像在最低點(diǎn)是可以平衡的?對!最低點(diǎn)三力在一條直線上,N的大小可取任意值,故總能平衡,這也就是說φ=0也是該題目的一個(gè)解.因而,該題目的完整答案應(yīng)該是

或(φ=0).

問題3:為何解法1求不出這樣的解呢?

答:上述解答中用到兩三角形相似的規(guī)律,而當(dāng)球在最低點(diǎn)時(shí),兩三角形都已不存在了,所以,由三角形相似的規(guī)律得出的解也就不一定成立了.

問題4:那我們在解這道題時(shí)是不是還要另外記住φ=0這個(gè)特殊的解呢?

答:不是記住,而是要善于發(fā)現(xiàn)它.這種發(fā)現(xiàn)才是最重要的.

問題5:那我們能不能用一種方法將這兩個(gè)解都解出來呢?

答:那就要回避三角形法,可以嘗試一下正交分解法.

方法2:正交分解法.如圖 4所示,選取坐標(biāo)系,以小環(huán)所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn),過原點(diǎn)沿水平方向?yàn)?x軸,沿豎直方向?yàn)閥軸.

圖4

由(1)、(3)、(4)三式即可解得

由此可見,用“三角形法”研究三力平衡時(shí),當(dāng)三個(gè)力變化到一條直線上時(shí),三角形已不復(fù)存在了,由三角形規(guī)律得出的解也就不一定成立了.這就是“三角形法”在解平衡問題時(shí)存在的局限性.為了加深對其的理解,不妨再舉一例.

例2.一輕繩跨過兩個(gè)等高的定滑輪(不計(jì)滑輪大小和摩擦),兩端分別掛上質(zhì)量為 m1=4kg和 m2=2 kg的物體,如圖5所示.在滑輪之間的一段繩上懸掛物體 m,為使三個(gè)物體保持平衡,求 m的取值范圍.

圖5

解析:分析O點(diǎn)受力如圖6所示,O點(diǎn)受三力而平衡.

圖6

方法1:“三角形法”.

作 T1、T2的合力 T′,應(yīng)有 T′=T.根據(jù)余弦定理可得

其中T1=m1g,T2=m2g,T=mg.

代入數(shù)據(jù)得

進(jìn)行如下討論:

當(dāng)θ=0時(shí),m最大mmax=6 kg;

當(dāng) θ=180°時(shí),m 最小mmin=2 kg.

答案:平衡時(shí)m的取值范圍2 kg＜m＜6 kg.

方法2:正交分解法.

圖7

建立如圖7所示的直角坐標(biāo)系,根據(jù)正交分解法得到的平衡方程為

其中T1=m1g,T2=m2g,T=mg.

由(8)、(9)兩式即可解得

進(jìn)行如下討論:

當(dāng) θ2=0時(shí),m 最大,mmax=6 kg;當(dāng) θ2=90°時(shí),m 最小,mmin=2kg.

上面兩種解法得出的結(jié)論是不完全一致的.其中,第1種解法運(yùn)用了“三角形法”,也是學(xué)生常用的解法.但這種解法得出的結(jié)論是不符合題意的,原因在于“三角形法”中余弦定理只反映三個(gè)力的大小關(guān)系,不能準(zhǔn)確反映出 T1、T2的夾角θ的變化范圍.從方法2中可以看出,由正交分解法得到的(9)式可知,θ2最大值可取90°,而θ1的最大值卻只能取30°,那么,θ的最大值就只有 120°了.若將 0°＜θ＜120°代入到(5)式中,得到的結(jié)果就是正確的了.

通過上述的探討,我們不僅可以認(rèn)識到“三角形法”解平衡問題的局限性,還應(yīng)從中得到一個(gè)啟示:我們在研究和解決物理問題時(shí),既要善于把一個(gè)物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題去求解,又要有把數(shù)學(xué)的解還原到物理的問題情景中去檢驗(yàn)的意識.