蘇克平，周禮剛，陳華友

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230039)

1952年，MARKOWITZ提出的證券投資組合的均值－方差模型［1］，推動了現(xiàn)代金融理論的發(fā)展。但從投資風(fēng)險(xiǎn)的本質(zhì)屬性、投資的效用函數(shù)、均值與方差的正相關(guān)性等多個(gè)角度，許多學(xué)者對用方差度量風(fēng)險(xiǎn)的科學(xué)性提出了質(zhì)疑。文獻(xiàn)［2］提出了下偏矩陣的概念，相對于方差度量風(fēng)險(xiǎn)，下偏矩陣作為風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)具有明顯的優(yōu)勢。但由于該方法結(jié)果的不確切性和計(jì)算方法的復(fù)雜性，使其沒能得到廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)［3］提出了用VaR度量風(fēng)險(xiǎn)的方法，但由于VaR不適用于市場的極端情況，其尾部損失測量非充分，且VaR方法中置信水平選擇帶有任意性，不滿足一致性公理，因而文獻(xiàn)［4］提出了CVaR方法，相對于VaR方法，CVaR方法滿足次可加性，能夠?qū)ξ膊匡L(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行控制，具有良好的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)特性。

1988年，YAGER提出有序加權(quán)平均算子(OWA)。這是一種介于最大算子與最小算子之間的信息集成方法，并廣泛應(yīng)用于群決策［5］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［6］、多目標(biāo)決策［7］和數(shù)學(xué)規(guī)劃［8］等諸多領(lǐng)域。文獻(xiàn)［9］提出了組合加權(quán)算術(shù)平均算子(CWAA)，該算子通過控制平衡因子N和數(shù)據(jù)加權(quán)向量ω來控制目標(biāo)函數(shù)，是OWA算子的推廣。筆者基于CWAA算子，提出了CVaR度量下的組合投資決策模型，通過引入目標(biāo)權(quán)衡因子ρ，將多目標(biāo)模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)混合整數(shù)規(guī)劃模型。最后通過實(shí)例分析，說明了模型的可行性和有效性。

1 預(yù)備知識

定義1［10］在損失大于給定VaR值的條件下，該損失的平均值為條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，記為CVaR。

式中:VaRβ為置信水平為1－β的VaR值;x=(x1，x2，…，xN)T為投資 N 種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資權(quán)重向量，滿足為組合投資x的損失函數(shù)。

定義2設(shè)，若:

f～∶Rn→R

2 組合投資模型的建立

對組合投資問題，若用CVaR作為風(fēng)險(xiǎn)的度量工具，則最小化CVaR近似等價(jià)于最小化［11］:

式中:n 為投資情景;x=(x1，x2，…，xN)T為投資N種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資權(quán)重向量;N為投資組合中資產(chǎn)數(shù)目;α為VaR值;β為置信度;f(x，rj)為損益函數(shù)。

當(dāng)r為一個(gè)已知分布的隨機(jī)變量時(shí)，f(x，r)就是一個(gè)依賴于x的隨機(jī)變量。在風(fēng)險(xiǎn)最小的情況下，要求收益最大，則任意投資策略下N種證券的預(yù)期收益為:

令:

若給定置信水平，要求風(fēng)險(xiǎn)損失最小，則有:

式中，zj≥f(x，rj) － α j=1，2，…，n。

同時(shí)，要使投資者的收益最大，即投資效用函數(shù)最大，則有:

再引入權(quán)衡因子ρ∈［0，1］，把雙目標(biāo)函數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)函數(shù)，其大小就反映了投資者在風(fēng)險(xiǎn)與收益之間的權(quán)衡，從而得到模型式(7):

令yki= 1 k＜j

0 k≥{j，則模型式(7)可轉(zhuǎn)化為混

合整數(shù)規(guī)劃模型式(8):

式中，K為任意大的整數(shù)。

該模型為混合整數(shù)規(guī)劃模型，可用Matlab最優(yōu)化工具箱求解。

若不考慮分紅，即若pji為第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在情形j下的價(jià)格，pj+Δti為第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在情形j+Δt下的價(jià)格，rij為第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在情形j下產(chǎn)生的收益率，E［ri］為第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率，則有:

故N種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的損失函數(shù)［12］為:

3 模型解的討論

引理1 若(x，a)是模型式(7)的一個(gè)可行解，則存在 y=(yki，k=1，2，…，N，i=1，2，…，N)使得(x，a，y)是模型式(8)的可行解。

對于任意的(k，i)，若 Ri＜ ak，則 yki=1。由于K是任意大的整數(shù)，因此ak－Ri－Kyki≤0。若Ri≥ak，則 yki=0，ak－Ri－Kyki=ak－Ri≤0。

綜上所述，(x，a，y)是模型式(8)的可行解。

引理2 若(x，a，y)是模型式(8)的最優(yōu)解，則(x，)是模型式(7)的一個(gè)可行解。

引理3 若(x，a，y)是模型式(8)的最優(yōu)解，則(x，，)也是模型式(8)的最優(yōu)解。

又由于(x，a，y)是最優(yōu)解，則有:

定理1 若(x，a)是模型式(7)的最優(yōu)解，則存在y=yki使得(x，a，y)是模型式(8)的最優(yōu)解。反之，若(x'，a'，y')是模型式(8)的最優(yōu)解，則存在一個(gè)，使得(x'，)是模型式(7)的最優(yōu)解。

證明 設(shè)(x，a)和(x'，a'，y')分別是模型式(7)和式(8)的最優(yōu)解，構(gòu)造 y=yki，其中由引理 1 知，(x，a，y)是模型式(8)的一個(gè)可行解，因此:

由式(11)～式(13)，可得:

4 案例分析

為說明筆者建立模型的有效性，選取市場上6種證券5年的收益率數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1 歷史收益率的數(shù)據(jù)

將其代入式(8)，并設(shè)置信水平為95%，且ω =(1/6，1/6，…，1/6)T，運(yùn)用 Matlab 求解模型如表2和表3所示。

表2 ρ =0.7

由表2可知，在權(quán)衡系數(shù)較高時(shí)，如果投資者過分樂觀，將會導(dǎo)致很嚴(yán)重的后果，如表2第3列所示:投資比例單一，收益率下降。因此，在這種情況下，投資者應(yīng)該保持風(fēng)險(xiǎn)中性。由表3可知，在權(quán)衡系數(shù)較低時(shí)，投資者樂觀與否對投資選擇影響不大，權(quán)衡系數(shù)低，就意味著在運(yùn)用該模型進(jìn)行投資選擇時(shí)考慮風(fēng)險(xiǎn)的重要性要比考慮收益大得多，前后的差異相互抵消。因而，權(quán)衡系數(shù)的引入對投資者個(gè)人的不理性而引起的極端行為起到了較好的預(yù)防和限制作用。

5 結(jié)論

筆者建立了CVaR度量基于CWAA算子的組合投資決策模型。引入的權(quán)衡系數(shù)，可以對個(gè)人不理性的極端行為進(jìn)行約束，起到了較好的緩沖作用。關(guān)于CWAA算子相關(guān)聯(lián)的向量和引入權(quán)衡系數(shù)和數(shù)據(jù)(α1，α2，…，αN)的加權(quán)向量，可根據(jù)實(shí)際投資背景具體設(shè)定。置信水平也可以根據(jù)實(shí)際需要重新設(shè)定。

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