馬進(jìn)峰，俞純權(quán)

（山東協(xié)和學(xué)院經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，山東濟(jì)南250107）

近年來，雙線性系統(tǒng)及其研究被廣泛地應(yīng)用于許多領(lǐng)域，如生物工程、生化工程、社會(huì)經(jīng)濟(jì)學(xué)等方面．雙線性系統(tǒng)是一類比較特殊的非線性系統(tǒng)，介于線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)之間，其數(shù)學(xué)模型的非線性部分通常為系統(tǒng)的狀態(tài)和輸入的雙線性函數(shù)．一般而言，雙線性系統(tǒng)模型比一般的非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、動(dòng)態(tài)特性簡(jiǎn)單，同時(shí)描述對(duì)象的近似程度往往比線性系統(tǒng)要高的多［4]．

非線性是工業(yè)控制中普遍存在的的現(xiàn)象，對(duì)于非線性系統(tǒng)的研究是控制理論中一個(gè)十分重要的課題．基于T－S模型的模糊控制是研究非線性系統(tǒng)比較成功的方法之一，應(yīng)用T－S模型對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)方面，已有很多成果面世．同時(shí)，由于不確定的存在，魯棒性問題也成為帶有不確定模糊系統(tǒng)所研究的熱點(diǎn)問題．但是目前很多T－S模糊模型中，模糊規(guī)則的后件部分多是一個(gè)線性函數(shù)．文［1] 研究了一類模糊雙線性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題，其模糊規(guī)則的后件部分是一個(gè)雙線性模型，但是在其給出的系統(tǒng)穩(wěn)定LMI條件中，要求已知控制器的增益，很顯然這個(gè)條件約束性太強(qiáng)．

綜上分析，本文研究一類用T－S模型表示的模糊雙線性系統(tǒng)魯棒H∞控制問題．針對(duì)模糊雙線性模型，研究其魯棒穩(wěn)定的條件，并且根據(jù)并行分布補(bǔ)償算法給出了魯棒控制器的設(shè)計(jì)，控制器可由一組線性矩陣不等式的解給出．本文和文［11] 相比，其不同之處在于：①控制器的增益可以通過線性矩陣不等式直接解出；②研究了系統(tǒng)的性能魯棒性．最后，由數(shù)例仿真驗(yàn)證了結(jié)果的有效性．

注1：在本文中，Rn表示n維Euclidean空間，P＞0（P≥0）表示是一個(gè)正定（正半定）實(shí)對(duì)稱矩陣．在矩陣表達(dá)式中，用“＊”來表示對(duì)稱項(xiàng)，用diag｛…｝來表示對(duì)角陣．如果不做特別說明，矩陣均表示合適維數(shù)的矩陣．‖‖2表示歐氏范數(shù)．用來表示用來“I”來表示單位陣．如果不做特別說明，矩陣均表示合適維數(shù)的矩陣．

以下給出在證明中要用到的引理：

引理1［12]設(shè)M，N和F（t）是維數(shù)適合的實(shí)矩陣且滿足FT（t）F（t）≤I，則對(duì)于標(biāo)量ε＞0，有如下不等式成立：

MTF（t）N＋NTFT（t）M≤εMTM＋ε－1NTN．

引理2［13]設(shè)A，D，E，F(xiàn)是合適維數(shù)的實(shí)數(shù)矩陣，且FT（t）F（t）≤I，則有矩陣P＞0，對(duì)于標(biāo)量ε＞0滿足εI－HTH＞0時(shí)，有如下不等式成立：

（A＋DFE）TP（A＋DFE）≤ATPA＋ATPD（εIDTPD）－1DTPA＋εETE

1 系統(tǒng)的模型描述

由T－S模型描述的不確定模糊雙線性系統(tǒng)，它的第i條規(guī)則可描述如下：

z（t）＝Cix（t） i∈I：＝｛1，2，…，s｝

假設(shè)：前提變量ξ（t）和控制變量及擾動(dòng)變量無關(guān)；

通過單點(diǎn)模糊化，乘積推理和中心平均反模糊化方法，模糊控制系統(tǒng)的總體模型為

根據(jù)文［11] 的思想，根據(jù)并行分布補(bǔ)償算法，考慮模糊控制器：

則整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制律可表示為

這里

Di∈R1×n是待定的控制器增益，ρ＞0是待求的標(biāo)量．

在控制律（4）的作用下，整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的方程可表示為

定義1 對(duì)于給定的常數(shù)r＞0，以下條件滿足：

①ω（t）≡0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)（5）是漸近穩(wěn)定的；

②在零初始條件下，對(duì)任意非零ω（t）∈L2［0，∞），滿足‖z‖2＜r‖w‖2．

則稱系統(tǒng)（5）在H∞性能指標(biāo)r下魯棒穩(wěn)定．

本文目標(biāo)：設(shè)計(jì)反饋控制律（4），使得系統(tǒng)（5）在H∞性能指標(biāo)r下魯棒穩(wěn)定．

2 魯棒穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)

定理1 對(duì)于給定的r＞0，ρ＞0和常數(shù)ε1i，ε4i，εkij，k＝2，3；i，j∈I．如果存在著矩陣P＞0，Di，i∈I滿足下面矩陣不等式（6），則閉環(huán)系統(tǒng)（5）是H∞性能指標(biāo)r下魯棒穩(wěn)定的．

證明 選取如下Lyapunov函數(shù)：

其中：P＞0是待求的正定對(duì)稱矩陣．

首先，考慮w（t）≡0時(shí)系統(tǒng)（5）的漸近穩(wěn)定性．

在w（t）≡0時(shí)，系統(tǒng)（5）可改寫為

沿著系統(tǒng)（9）的軌線，對(duì)V（t）求導(dǎo)，可得到

由引理1可知

把式（11）帶入式（10），可得

由定理1中式（6）可知：˙V（t）＜0，所以可知系統(tǒng)（5）是漸近穩(wěn)定的．

以下考慮零初始條件ω（t）≠0時(shí)的系統(tǒng)（5）的魯棒H∞性能．沿著系統(tǒng)（5）的軌跡對(duì)V（t）求導(dǎo)，可得到

考慮

由引理2可知

式（15）和式（13）相結(jié)合，可以得到

由定理1中式（6）可知

對(duì)式（17）積分可得到

對(duì)式（18）取極限，令t→∞則可以得到：‖z‖2＜r‖w‖2．從而閉環(huán)系統(tǒng)（5）在H∞性能指標(biāo)r下是魯棒穩(wěn)定的．

3 算例分析

為了進(jìn)一步闡述前面的方法和結(jié)論，考慮如下雙線性模糊系統(tǒng)：

其中：

則正定陣及模糊增益矩陣分別為

分別選取初始值為［－0．8 －1．5] ，［－1．1 1．2] ，w（t）＝e－0．2t（sint），利用MATLAB仿真，圖1是系統(tǒng)變量x1和x2的狀態(tài)響應(yīng)，圖2是控制律變化過程．由仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)狀態(tài)變量在22s后趨于平衡點(diǎn)．

［1] Li T H S，Tsai S H．T–S fuzzy bilinear model and fuzzy controller design for a class of nonlinear systems［J] ．IEEE Trans．Fuzzy Syst．，2007，3（15）：494－506．

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［3] Chiou J S，Kung F C，Li T S．Robust stabilization of a class of singularly perturbed discrete bilinear systems［J]．IEEE Trans．Autom．Control，2000，45（6）：1187－1190．

［4] Elliott D L．Bilinear systems in encyclopedia of electrical engineering［M]．New York：Wiley，1999．

圖1 系統(tǒng)分別在初始狀態(tài)：［－1 1．6] （實(shí)線）、［－2－1．6] （長(zhǎng)劃線）下的狀態(tài)響應(yīng)曲線

圖2 系統(tǒng)分別在初始狀態(tài)：［－1 1．6] （實(shí)線）、［－2－1．6] （長(zhǎng)劃線）下的控制曲線

［5] Zhou S S，Lam J．Control design for fuzzy systems based on relaxed nonquadratic stability and H－infinity performance conditions［J] ．IEEE Trans．Fuzzy Syst．，2007，15（2）：188－198．

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