李 宏，張 群，鄭 勇

(西北工業(yè)大學(xué)，陜西西安710072)

0引 言

永磁同步電動(dòng)機(jī)因具有轉(zhuǎn)矩慣性比高、功率密度高、功率因數(shù)高、效率高等優(yōu)點(diǎn)，得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。在永磁電機(jī)的調(diào)速系統(tǒng)中，關(guān)鍵要得到永磁轉(zhuǎn)子的實(shí)時(shí)磁極位置。一般通過(guò)在電機(jī)轉(zhuǎn)子上安裝機(jī)械式傳感器，如光電編碼器或旋轉(zhuǎn)變壓器來(lái)測(cè)量轉(zhuǎn)子的位置，并提取轉(zhuǎn)子的速度信息［6］。然而傳感器的存在增加了系統(tǒng)的成本，不僅帶來(lái)機(jī)械安裝精度等問(wèn)題，而且使系統(tǒng)的可靠性降低，在實(shí)際應(yīng)用中并不理想。因此無(wú)機(jī)械傳感器的控制方法得到了越來(lái)越多的關(guān)注。

目前，永磁同步電動(dòng)機(jī)的無(wú)速度傳感器調(diào)速方法可以大致分為以下兩類:

(1)在電機(jī)非線性模型上發(fā)展非線性方法和線性估算方法;

(2)在電機(jī)其它的特性上分析，如反電勢(shì)法、電流諧波法和注入諧波法。擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)就是建立在電機(jī)非線性模型基礎(chǔ)上的一種最優(yōu)化非線性方法。該方法具有較強(qiáng)的抗噪聲能力，然而EKF算法階數(shù)高，對(duì)最小方差矩陣的繁重計(jì)算使之對(duì)處理芯片具有很高的要求，限制了其在實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)中的應(yīng)用。

本文提出了一種基于降階擴(kuò)展卡爾曼濾波器(REKF)來(lái)預(yù)估轉(zhuǎn)子位置和速度的新算法，選取定子繞組在α、β軸的反電勢(shì)eα、eβ和轉(zhuǎn)速ω作為狀態(tài)變量，階數(shù)由4階降為3階，計(jì)算量明顯減少，算法更加簡(jiǎn)單，在性能上則繼承了傳統(tǒng)EKF的優(yōu)勢(shì)。

1擴(kuò)展卡爾曼濾波器原理

卡爾曼濾波算法是一種線性最優(yōu)遞推濾波算法，能夠在有隨機(jī)干擾和噪聲的情況下，以線性最小方差估計(jì)給出狀態(tài)變量的最優(yōu)估計(jì)值。

永磁同步電動(dòng)機(jī)在靜止α-β坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型［3，5］:

其中:

上述數(shù)學(xué)模型中，系統(tǒng)狀態(tài)變量 x=［iαiβω θ］T，輸入變量 u=［uαuβ］T，輸出變量 z=［iαiβ］T，iα、iβ為 α、β 軸定子電流，Ls為相電感，Rs為相電阻，eα、eβ為定子繞組 α，β 軸反電勢(shì)，Ψ為永磁體磁鏈，ω為轉(zhuǎn)子角速度，θ為轉(zhuǎn)子位置，δ(t)為系統(tǒng)過(guò)程噪聲，μ(t)為系統(tǒng)測(cè)量噪聲，δ(t)、μ(t)協(xié)方差陣分別為Q、R。

對(duì) f［x(t)］、h［x(t)］進(jìn)行線性化處理可得雅克比矩陣:

設(shè)Δx(t)足夠小，得線性化方程:

設(shè)采樣周期為T，對(duì)式(4)進(jìn)行離散化處理:

式中:Φ為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Φ(k)≈I+F(k)T。

于是得到下列5步卡爾曼濾波方程:

一步預(yù)測(cè):

狀態(tài)估計(jì):

一步預(yù)測(cè)均方差:

估計(jì)均方差陣:

增益:

2降階卡爾曼濾波器

擴(kuò)展卡爾曼濾波器算法具有抑制噪聲干擾，提高狀態(tài)估計(jì)準(zhǔn)確度的優(yōu)點(diǎn)，但是其系統(tǒng)矩陣仍然是耦合的，且計(jì)算量較大，不利于實(shí)時(shí)性的運(yùn)用。下面來(lái)討論一種降階卡爾曼濾波器，通過(guò)適當(dāng)?shù)剡x取狀態(tài)變量，簡(jiǎn)化濾波器的結(jié)構(gòu)，加快系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間。

由永磁同步電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型可知，電機(jī)反電勢(shì):

對(duì) f［x(t)］、h［x(t)］進(jìn)行線性化處理，可得雅克比矩陣:

設(shè)采樣周期為T，對(duì)式(13)進(jìn)行離散化:

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣:

由式(11)可知，狀態(tài)變量 eα、eβ包含著轉(zhuǎn)子位置信息，因此只要得到 eα、eβ，即可解算出轉(zhuǎn)子位置θ。然而按照EKF算法，這個(gè)系統(tǒng)是一個(gè)無(wú)輸入信號(hào)的非線性系統(tǒng)，而且輸出量包含eα和eβ并不能直接觀測(cè)，需對(duì)式(1)進(jìn)行適當(dāng)處理。

由式(1)可得:

將式(17)近似離散化:

將式(18)代入式(17)，可得:

由此便可采用擴(kuò)展卡爾曼方程進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)了。此時(shí)的擴(kuò)展卡爾曼濾波器經(jīng)過(guò)了降階處理，運(yùn)算量大大降低。由于在估算過(guò)程中沒(méi)有用到電機(jī)的永磁體磁鏈Ψ，魯棒性更好。

與卡爾曼濾波式(1)～式(10)相比，降階卡爾曼方程結(jié)構(gòu)大大簡(jiǎn)化，在運(yùn)算過(guò)程中占用更少的存儲(chǔ)空間，更易于數(shù)字化實(shí)現(xiàn)。

3仿真模型的建立及結(jié)果分析

圖1 無(wú)傳感器永磁同步電動(dòng)機(jī)調(diào)速系統(tǒng)仿真模型

為了驗(yàn)證這種基于降階擴(kuò)展卡爾曼濾波算法的永磁同步電動(dòng)機(jī)無(wú)傳感器控制的可行性和有效性，本文基于Matlab/Simulink平臺(tái)，建立了基于降階擴(kuò)展卡爾曼濾波的永磁同步電動(dòng)機(jī)無(wú)位置傳感器控制系統(tǒng)的仿真模型，仿真模型如圖1所示，永磁同步電動(dòng)機(jī)采用id=0的矢量控制策略實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)速和電流的雙閉環(huán)控制。電機(jī)參數(shù)如表1所示。

表1 仿真試驗(yàn)用電機(jī)參數(shù)

采樣周期 T=1×10-6s，初始值取 x0=

根據(jù)上述降階擴(kuò)展卡爾曼濾波算法，編寫(xiě)Matlab函數(shù)，估算出狀態(tài)變量 eα、eβ、ω。轉(zhuǎn)子位置 θ可由下式得到:

當(dāng)給定轉(zhuǎn)速nref=400 r/min時(shí)，空載起動(dòng)，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，在0．05 s時(shí)突加負(fù)載轉(zhuǎn)矩Te=10 N·m。圖2為降階卡爾曼濾波器輸出的反電勢(shì)波形。

圖3為降階卡爾曼濾波器估計(jì)的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速與實(shí)際轉(zhuǎn)速曲線?？梢钥闯觯捎媒惦A擴(kuò)展卡爾曼濾波器估算的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速對(duì)于實(shí)際轉(zhuǎn)速具有良好的跟蹤性能，負(fù)載突變時(shí)，亦能較快地跟蹤實(shí)際轉(zhuǎn)速。圖4給出了電機(jī)估計(jì)轉(zhuǎn)速與實(shí)際轉(zhuǎn)速之間的誤差，由圖可知，在電機(jī)高速運(yùn)行時(shí)，轉(zhuǎn)速誤差很小，電機(jī)運(yùn)行平穩(wěn)。

圖5為估計(jì)的轉(zhuǎn)子位置曲線。仿真結(jié)果表明，降階擴(kuò)展卡爾曼濾波算法對(duì)永磁同步電動(dòng)機(jī)的位置估算精度較高，在初始暫態(tài)過(guò)程之后，能夠收斂到實(shí)際值，而且對(duì)負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)的魯棒性較強(qiáng)。

圖2 估計(jì)的反電勢(shì)波形

圖3 估計(jì)的轉(zhuǎn)速曲線

圖4 估計(jì)的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速誤差

圖5 估計(jì)的轉(zhuǎn)子位置曲線

4結(jié) 語(yǔ)

本文在分析了傳統(tǒng)擴(kuò)展卡爾曼濾波器原理的基礎(chǔ)上，提出了一種基于降階擴(kuò)展卡爾曼濾波算法的永磁同步電動(dòng)機(jī)無(wú)速度傳感器控制方法，并通過(guò)Matlab/Simulink平臺(tái)，建立了控制系統(tǒng)的仿真模型，仿真試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性。新算法不僅延續(xù)了傳統(tǒng)擴(kuò)展卡爾曼濾波算法的優(yōu)勢(shì)，而且算法更加簡(jiǎn)單，更易于數(shù)字化實(shí)現(xiàn)。

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