L.A.可汗

1 概 述

拆除水壩正日益成為與解決水壩老化相關(guān)的安全與環(huán)境問題的一個(gè)可接受的方案。由于很多水壩接近其使用壽命,小型低水頭水壩的退役預(yù)計(jì)會(huì)繼續(xù)進(jìn)行。

拆壩前的重要一步是修建一個(gè)圍堰以便使拆除活動(dòng)有序進(jìn)行。影響圍堰建設(shè)費(fèi)用的最重要因素之一就是其高度,它是由拆除期預(yù)計(jì)的最大河流流量所確定的。已經(jīng)或正在考慮拆除的壩多是小型或低水頭壩,因此,拆除工作需要的時(shí)間一般是幾個(gè)月。為盡可能降低圍堰高度和減少建設(shè)費(fèi)用,水壩拆除一般在 1 a中枯水季節(jié)進(jìn)行。

水壩拆除期間可能最大流量采用河流流量數(shù)據(jù)的水文頻率分析法估計(jì)。通常,水壩的水文設(shè)計(jì)是基于年最大或可能最大洪水的分析?；谀曜畲罅髁吭O(shè)計(jì)的圍堰(只在 1 a低水期的幾個(gè)月內(nèi)擋水)可能非常高。對(duì)于這種情況,利用代表水壩拆除期(不是全年)的流量進(jìn)行設(shè)計(jì)是比較適宜的。

本項(xiàng)研究的重點(diǎn)是常年性河流上的水壩拆除,最小實(shí)測(cè)流量一般比測(cè)量臨界值要高。本文假定極端事件的概率分布函數(shù)(P D F)可用于拆壩期的最大流量系列,這個(gè)時(shí)候河流流量比年最大流量要小很多,但比年最小流量要大很多。這個(gè)假設(shè)是基于對(duì)將極端事件(年最大和最小流量)的 P D F用于年平均流量、7 d平均流量以及最大月均流量所進(jìn)行的觀測(cè)。接著,將極端事件的 P D F與按月分組的數(shù)據(jù)用來分析降雨數(shù)據(jù)。

在美國,對(duì)數(shù)皮爾遜Ⅲ型是推薦的 PDF,可用來分析常年性河流的實(shí)測(cè)季流量和月流量。然而,對(duì)不同數(shù)據(jù)類別(年平均值和最小值;月、季最大值或最小值),對(duì)數(shù)皮爾遜Ⅲ型是否是最適合的 P D F尚不清楚。一般來說,伽瑪分布也是比較適合估計(jì)河流年均流量的分布形式。

本文主要目的在于識(shí)別建立洪水流量頻率曲線所需采用的 PDF,以設(shè)計(jì)一座用于馬莫特壩拆除的圍堰。在一個(gè)水文年的低水月份中考慮了 4種拆壩期:1個(gè)月期限(8月),2個(gè)月期限(8～9月),3個(gè)月期限(7～9月),4個(gè)月期限(7～10月)。對(duì)每種期限,分析日均和時(shí)均(瞬時(shí))流量系列以確定它們是否服從同樣的 P D F。接著,還利用日均流量數(shù)據(jù)研究了樣本大小(15 a和 50 a)對(duì)估計(jì)的流量的影響。較小的樣本大小對(duì)應(yīng)的是時(shí)均流量數(shù)據(jù)的記錄長度。

共研究了 9種 P D F,根據(jù)參數(shù)個(gè)數(shù)將它們分為兩組。第 1組由 4個(gè)兩參數(shù)的 PDF組成:對(duì)數(shù)(正態(tài) LN 2)、威布 (W2)、廣義派爾托 (G P 2)、伽馬(GAM)。第 2組的三參數(shù) P D F是廣義極值(G E V)、對(duì)數(shù)正態(tài)(L N 3)、廣義派爾托 (G P 3)、皮爾遜Ⅲ型(P 3)、對(duì)數(shù) -皮爾遜Ⅲ型(L P 3)。利用 L-矩比率圖進(jìn)行時(shí)均和日均數(shù)據(jù)的分析,以識(shí)別合適的 P D F。被識(shí)別的 P D F的適用性是通過概率圖的相關(guān)系數(shù)(P P C C)進(jìn)行驗(yàn)證的。然后用選定的 P D F來估計(jì)圍堰的設(shè)計(jì)流量。由于低水頭壩的拆除還會(huì)繼續(xù),本文提出的方法將有利于獲得經(jīng)濟(jì)且成本合理的圍堰設(shè)計(jì)方案。

2 頻率分析方法

水文頻率分析的兩個(gè)可能目標(biāo)是選擇一個(gè)合適的 P D F和建立流量頻率曲線。本文采用基于 L-矩的方法進(jìn)行分析,然后通過計(jì)算 P P C C來驗(yàn)證這種分析。L-矩估值比傳統(tǒng)的乘積矩更為可取。因它們對(duì)于小樣本及所有的概率分布基本上是無偏的。

本文中分析必須用到的一個(gè)概率分布的前 4個(gè)L-矩給定如下:

式中 βr(r=0,1,2,3)代表概率加權(quán)矩(P WM)。定義為:

式中 F(X)是隨機(jī)變量 X累積分布函數(shù),當(dāng) r=0,第1個(gè) L矩等于該分布的均值。而且,λ2,λ3,λ4分別是分布的比率、偏斜度、峭度。實(shí)際上 P WM是根據(jù)一個(gè)有限樣本估計(jì)的,無偏的 P WM估值由下式給出:

式中 n是樣本大小,{x(j)}是有序觀測(cè)值,使 X(1)≥X(2)≥…X(n)。將公式(3)給出的 βr的無偏樣本估值代入公式(1)中可得到 L-矩 λr的樣本估值 lγ。類似于乘積矩比率(變異系數(shù)、偏斜度、峭度),L-矩比率由下列公式確定:

將這些比率點(diǎn)繪在圖中得到 L-矩比率圖,以識(shí)別一個(gè)描述數(shù)據(jù)集的合適分布,因?yàn)閷?duì)每個(gè) P D F,L-矩比率中有著明顯的關(guān)系。 τ2與 τ3和 τ4與 τ3圖分別用來選擇二參數(shù)和三參數(shù)的 P D F。在式(4)中用 λr各自的樣本估值 lr代替 λr的比得出 L-矩比率的樣本估值。

對(duì)于某個(gè) P D F,如果能得到 C D F的理論方程(接近的形式),就可以建立 τ2,τ3和 τ4之間的理論關(guān)系。本文用建議的方程,直接使用 L P 3的理論 L-矩比率圖。以前的研究將對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換的數(shù)據(jù)與 P 3分布的 L-矩比率進(jìn)行對(duì)比。表 1總結(jié)了本文中與P D F的 τ2,τ3和 τ4有關(guān)的多項(xiàng)式近似式。表 2列出了 L P 3的多項(xiàng)式表達(dá)式的系數(shù)。

表1 不同概率分布構(gòu)造線性距比率圖的多項(xiàng)式表達(dá)式

表2 將 τ3和τ4關(guān)聯(lián)作為偏斜度函數(shù)方程系數(shù)的對(duì)數(shù)皮爾遜Ⅲ型分布

3 河流現(xiàn)場(chǎng)流量數(shù)據(jù)

馬莫特壩在俄亥俄州桑迪河上,距波特蘭市 48 k m,2007年 10月曾經(jīng)決口。它是桑迪河上最上游的徑流式水壩(水庫庫容可以忽略)。因此,可以認(rèn)為工程現(xiàn)場(chǎng)的河流流量是沒有受到調(diào)節(jié)的。

從美國地質(zhì)調(diào)查局(U S G S)第 14137000站獲得了 1911～2002年和 1988～2002年的日均和時(shí)均流量數(shù)據(jù)。該站控制了桑迪河 690 k m2的流域面積,位于該壩上游0.5 k m。由于 1988～2002年時(shí)均流量數(shù)據(jù)集很大,U S G S提供了除了 2002水文年以外的 7～10月的數(shù)據(jù),通過比較河流日均流量和時(shí)均流量水文過程線獲得 2002水文年完整數(shù)據(jù)集(圖1)。日均流量數(shù)據(jù)的檢查表明 1950年前常有數(shù)據(jù)缺失,因此,采用 1953～2002年日均數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。時(shí)均數(shù)據(jù)在高水月份(12～4月)存在更長時(shí)間的數(shù)據(jù)缺失 。幸運(yùn)的是 7～10月的時(shí)均數(shù)據(jù)只有比較少的(短的間隔)數(shù)據(jù)缺失。因此,采用樣條插值來填補(bǔ)缺失數(shù)據(jù)。

圖 1 俄亥俄州馬莫特壩附近桑迪河的 2002水文年日均、時(shí)均的水文過程線比較

在 2003年的 U S G S報(bào)告中可發(fā)現(xiàn)工程現(xiàn)場(chǎng)的年、月、日平均流量的統(tǒng)計(jì)分析。洪水流量最大值發(fā)生在 1964年 12月,最高實(shí)測(cè)瞬時(shí)流量為 1740 m3/s,其最大日均流量為 1172 m3/s。一般來說,7～10月河流流量較小。7～10月最高實(shí)測(cè)日均流量分別為 39.218.8、29.9、61.4 m3/s。相應(yīng)地最小實(shí)測(cè)日均流量為9.9、7.8、7.1、7.8 m3/s。該測(cè)站最低實(shí)測(cè)日均流量為5.47 m3/s。根據(jù) 1912～2003年的數(shù)據(jù),最高和最低日均流量分別發(fā)生在 12月和 8月。因此,最合適的大壩拆除期應(yīng)該集中在 8月。值得注意的是 2002水文年出現(xiàn)了非典型的情況,10月份的流量比 9月份的流量小。一般來說,10月最大流量要顯著高于 9月份的值。1988～2002年,10月的時(shí)均最大流量在12.8～712.2 m3/s之間變化,而 9月份的相應(yīng)流量在10.6～41.3 m3/s之間變化。

4 結(jié)果與分析

除了年最大日流量洪水系列(D A M X)以外,本文河流流量分析并不代表通常意義的極值。然而,它代表拆壩期的極值。例如,當(dāng)考慮 2個(gè)月的拆壩期,8～9月的最大流量就假定代表極值。對(duì)每種拆壩期,日均記錄都有樣本大小為 50(D A 50;1953～2002年)和 15(D A 15;1988～2002年)的兩個(gè)流量系列。由于可用的時(shí)均數(shù)據(jù)取自 1988～2002年,考慮了與拆壩期對(duì)應(yīng)的 4個(gè)流量系列(H A 15)。同時(shí)分析了時(shí)均與日均流量系列,以確定二者是否有同樣的頻率分布。不同樣本大小的日均流量數(shù)據(jù)分析,是為了了解在工程現(xiàn)場(chǎng)流量變化情況時(shí)小樣本記錄的充分性。

圖 2比較了 4個(gè)二參數(shù) P D F(L N 2,W2,G P 2和G A M)的 L-C v對(duì) L-偏斜度估計(jì)與其理論關(guān)系。為表達(dá)方便,假定采用同一 P D F來估計(jì)不同拆壩期的流量,用 D A 50,D A 15或 H A 15(除了 D A M X)代表的每一組都有 4個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(L-矩的比率)。D A M X洪水系列有一組 L-矩比率。圖 3比較了三參數(shù)P D F(L P 3除外)的 L-峭度估值與 L-偏斜度估值。L P 3的 L-峭度與 L-偏斜度之間的理論關(guān)系是偏斜度的函數(shù),是偏斜度在 -1.4～1.4之間(對(duì)數(shù)空間)變化的一條包絡(luò)曲線,如圖 4所示。

圖 2 L-變異系數(shù)(τ2)-L-偏斜度(τ3)與相應(yīng)的兩參數(shù)頻率分布函數(shù)比率對(duì)比的L-矩比率圖

圖 3 L-峭度(τ4)-L-偏斜度(τ3)與相應(yīng)的三參數(shù)頻率分布函數(shù)(除對(duì)數(shù)皮爾遜Ⅲ型分布以外)對(duì)比的L-矩比率圖

圖 4 L-峭度(τ4)-L-偏斜度(τ3)與相應(yīng)的三參數(shù)對(duì)數(shù)皮爾遜Ⅲ型分布頻率分布函數(shù)對(duì)比的L-矩比率圖

從圖 2可知,二參數(shù) G A M和 L N 2是代表工程現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)的兩種可能 P D F。然而,從圖 3和圖 4中不能類似地識(shí)別三參數(shù)的 P D F。為有助于在這種情況下選擇一種 P D F,已建議采用不同的分析方法。概念上它們代表了樣本與 P D F之間距離的測(cè)度。由于本文是分析現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù),擬合優(yōu)度的合適測(cè)度是樣本和 P D F之間的最小距離 δ。對(duì)于三參數(shù) P D F,距離 δ可以如下表示:

本文中,δ是用一維黃金分割法確定的。二參數(shù)P D F的相應(yīng)方程可以通過用(τ2,τ3)代替(τ3,τ4),并用(t2,t3)代替(t3,t4)得到。對(duì)于 L P 3分布,采用與每個(gè)樣本的對(duì)數(shù)偏斜度(-0.49～1.47)對(duì)應(yīng)的 L-矩峭度(τ4)與 L-偏斜度(τ3)關(guān)系曲線來確定 δ(不是圖 4中的包絡(luò)曲線)。表 3給出了不同P D F的樣本(50 a日均流量、15 a日均流量、15 a時(shí)均、50 a年最大流量系列)的最小距離。除了年最大系列以外,表中給出了算術(shù)平均值(基于 4個(gè)拆壩期)。在兩參數(shù)的 P D F中,最好的 P D F是 L N 2,其次是 G A M。前者也是 50 a年最大流量系列的最好P D F。使用三參數(shù) P D F時(shí),同樣的數(shù)據(jù)系列似乎也可用 G E V最好地表示。如果只選擇一個(gè)三參數(shù)P D F,則 L N 3是最好的選擇。然而,由于 L N 3和 L P 3的 δ差別不大,所以也可以采用 L P 3分布。即使是年最大流量系列,L N 3比 L P 3表現(xiàn)要略微好點(diǎn)。

表3 公式(5)定義的 9種P D F的樣本最小距離δ(δ越小表示該概率分布越與樣本相匹配)

為獨(dú)立驗(yàn)證 L N 2、L N 3、L P 3是代表現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)的可接受的 P D F,采用數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)與威布點(diǎn)位置公式對(duì)比來計(jì)算概率圖相關(guān)系數(shù) P P C C(表 4)。如果計(jì)算得出的 P P C C值比臨界值大,允許其分布在某一規(guī)定的顯著性水平上代表該數(shù)據(jù)。對(duì)于正態(tài)分布或L N 2和 L N 3的數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù),置信區(qū)間為 5%的臨界值列在表 4中最后一列。這些臨界值是本文中樣本大小(15,50)的函數(shù)。P 3分布(或 L P 3分布的數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)值)的臨界值是樣本大小及偏斜度的函數(shù),列在表 4倒數(shù)第 2列。這些計(jì)算的 P P C C的值變化不大,因?yàn)?L-矩分析已經(jīng)將相關(guān)系數(shù)較小的 P D F篩選出去。表 4表明可采用 L N 3或 L P 3分布來估計(jì) 5%置信區(qū)間的流量。然而,與基于 L-矩比率的結(jié)論相反,在樣本大小從 15增大到 50時(shí),L N 2分布可能不適合。這個(gè)結(jié)論是基于觀察到 P P C C值比 3個(gè)拆壩期(8月份,8～9月份,7～9月份)的臨界值低。

表3和表 4中信息表明,L N 2,L N 3和 L P 3可用來估計(jì)圍堰的設(shè)計(jì)流量。L N 2和 L N 3之間的主要差別在于從 L N 3的數(shù)據(jù)中減去了下界。下界估計(jì)量 δ用下式表示:

式中 xmedian是樣本的中值,并且 x(1)+x(n)-2xmedian。如果 x(1)+x(n)-2xmedian＜0,那么公式 6提供了上界,表明 ln(ξ-x)成正態(tài)分布。圖 5～8示出了用 3個(gè)選擇的 P D F繪制的 4個(gè)拆壩期的流量頻率曲線區(qū)間。圖 9是基于年最大流量系列的相應(yīng)流量頻率曲線。這些圖也指出了 90%的置信區(qū)間[Q(+5%)和 Q(-5%)]。

表4 不同拆壩期的3種選定頻率分布的P P C C及 5%顯著性水平的臨界值

管理機(jī)構(gòu)(如聯(lián)邦緊急管理機(jī)構(gòu)、聯(lián)邦能源與管理委員會(huì)、美國工程師兵團(tuán))并沒有對(duì)拆除一座小型低水壩的施工圍堰設(shè)計(jì)直接規(guī)定洪水重現(xiàn)期。圖 5～9列出了直到 15 a重現(xiàn)期的流量頻率曲線。

假定 5 a重現(xiàn)期對(duì)于圍堰設(shè)計(jì)是合適的,圖 5～8以及表 5表明選擇的 P D F(L N 2、L N 3、L P 3)提供了接近于設(shè)計(jì)流量的合理估值。值得注意的是,表 5中估計(jì)流量的差異比按其他重現(xiàn)期估計(jì)的要小。因?yàn)樵S多 P D F在 5 a重現(xiàn)期附近是相互交叉的。然而,所有的流量估值都是在 90%的置信區(qū)間以內(nèi)。除非超過 3個(gè)月的拆壩期,否則基于 1988～2002年的時(shí)均與日均流量數(shù)據(jù)估計(jì)的設(shè)計(jì)流量的差異會(huì)小于 25%。對(duì)于 4個(gè)月的拆壩期,任何基于時(shí)均數(shù)據(jù)的估值都比基于日均流量的估值至少高 50%。一般來說,樣本容量增大,數(shù)據(jù)的可變性(用標(biāo)準(zhǔn)差表示 )也增大。從圖5～8及表5可以看出 ,如果拆壩期小于 4個(gè)月,設(shè)計(jì)流量隨著樣本尺寸增大而增大。然而,對(duì)于 4個(gè)月的拆壩期,基于較短流量記錄(日均、時(shí)均流量系列)的估值要高些。

圖 950 a年最大洪峰流量系列的 3種概率分布(L N2、L N 3、L P 3)估計(jì)的流量頻率分布曲線

表5 用 3種概率分布估計(jì)的 5a重現(xiàn)期設(shè)計(jì)流量的對(duì)比

對(duì)于 3個(gè)和 4個(gè)月拆壩期,基于時(shí)均數(shù)據(jù)的設(shè)計(jì)流量分別為37.2 m3/s(L N 2、L N 3)和158.8 m3/s(L N 3)。增加 1個(gè)月拆除時(shí)間設(shè)計(jì)流量將增至4.25倍。因此,從水文角度考慮,最優(yōu)的拆壩期似乎約為3個(gè)月。實(shí)際時(shí)間期限會(huì)受到其他因素的影響,包括工程管理、運(yùn)行、施工。基于年最大流量系列估計(jì)的相應(yīng)流量為496.4 m3/s。這個(gè)估值為 3個(gè)月拆壩期設(shè)計(jì)流量的13.33倍。因此,基于年最大流量系列選擇圍堰的高度會(huì)得出一個(gè)昂貴的、不經(jīng)濟(jì)的設(shè)計(jì)方案。

5 結(jié) 語

小型水壩拆除的圍堰費(fèi)用有效設(shè)計(jì)應(yīng)該基于拆壩期的河流流量信息,而不是全年的流量信息。因此,本文考慮 7～10月份低水期內(nèi) 4個(gè)可能的拆壩期。本文利用的現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)代表 1988～2002年時(shí)均流量,1953～2002年日均流量。日均流量分為 15 a和 50 a的樣本。前者 15 a日均流量樣本,與時(shí)均數(shù)據(jù)系列相對(duì)應(yīng),說明了不同時(shí)長的流量平均期的影響。

將河流流量數(shù)據(jù)限制在拆壩期間,意味著最大流量系列不再是通常意義的極值。然而它們代表的是拆壩期的極值事件。假定可以應(yīng)用年最大和最小流量系列的 P D F,分析了 4個(gè)二參數(shù)的 P D F和 5個(gè)三參數(shù)的 P D F。通過對(duì)比樣本的 L-矩比率與相應(yīng)的 P D F曲線,合適 P D F的個(gè)數(shù)減少到 3個(gè)。為了進(jìn)一步獨(dú)立證實(shí)選擇的 P D F的合適性,計(jì)算了 L N 2、L N 3、L P 3的 P P C C。結(jié)果表明 L N 3、L P 3可以用來估計(jì)設(shè)計(jì)流量。一般來說,同樣的 P D F可以用于現(xiàn)場(chǎng)的時(shí)均和日均流量數(shù)據(jù)。

拆壩期小于 4個(gè)月(7～9月)的數(shù)據(jù)分析表明,根據(jù)時(shí)均流量系列估計(jì)的設(shè)計(jì)流量都在根據(jù)日均流量系列估計(jì)值的 90%置信區(qū)間之內(nèi)。如果拆壩期限延長到 10月,相應(yīng)設(shè)計(jì)流量(基于時(shí)均數(shù)據(jù)系列)要高 50%左右。無論哪種情況(時(shí)均或日均),4個(gè)月拆壩期設(shè)計(jì)流量大概是 3個(gè)月拆壩期的設(shè)計(jì)流量的 3倍。因此,工程現(xiàn)場(chǎng)最優(yōu)拆壩期約為 3個(gè)月。因此,用基于拆壩期的數(shù)據(jù)來估計(jì)設(shè)計(jì)流量可望得出一個(gè)費(fèi)用合理的圍堰設(shè)計(jì)方案。

為拆除小型低水頭壩使圍堰設(shè)計(jì)方案經(jīng)濟(jì)適用的方法是工程上一個(gè)重要的考慮方面。然而值得注意的是,拆除較大的壩用基于年最大流量系列估計(jì)設(shè)計(jì)流量是比較合適的。如華盛頓州的 33 m高的艾爾瓦(E l w h a)壩和 64 m高的格萊因斯卡因(G l in e C a n y o n)壩。