黃兆梁

(常州工學院光電工程學院，江蘇 常州 213002)

質(zhì)量—彈簧振子系統(tǒng)的ANSYS有限元分析

黃兆梁

(常州工學院光電工程學院，江蘇 常州 213002)

對質(zhì)量—彈簧振子系統(tǒng)進行的ANSYS有限元模態(tài)分析，得出了與理論計算特征頻率完全一致的結(jié)果。通過這種相互一致的印證，可以確信關于彈簧有效質(zhì)量的理論計算公式是準確、可靠的。

模態(tài)頻率;有效質(zhì)量;質(zhì)量—彈簧振子;振動

0 引言

對于彈簧質(zhì)量不可忽略的質(zhì)量—彈簧振子系統(tǒng)振動問題的研究國內(nèi)外有許多報道[1-5]，多數(shù)都認為只要將彈簧質(zhì)量的1/3加到振子質(zhì)量上去，就可以將該振動系統(tǒng)等效看作無彈簧質(zhì)量的理想振子系統(tǒng)，其振動周期為:

其中，M為振子的質(zhì)量，m為彈簧質(zhì)量，k為彈簧的彈簧系數(shù)。但進一步的理論研究揭示，當彈簧質(zhì)量不可忽略時，質(zhì)量—彈簧振子系統(tǒng)的振動并非簡諧振動，也不屬于嚴格的周期運動，而是準周期運動，其振動的模式有無窮多，各模式的振動頻率之間也都不成有理數(shù)的倍數(shù)關系[6]。大量文獻報道了各自從理論或?qū)嶒灥牟煌嵌确治鲈撜駝酉到y(tǒng)而得出的不同結(jié)論。由于受實驗技術等條件所限，實驗精度都不足以給出與理論值之間高度吻合的有力證據(jù)，因此，對彈簧的有效質(zhì)量問題并沒有定論。有些文獻對于彈簧質(zhì)量1/3修正問題存有異議，或認為1/3僅僅是0.346的近似[7]，也有從各自的實驗數(shù)據(jù)的分析中得出了該質(zhì)量修正值的不同結(jié)論[8-10]，正所謂眾說紛紜，莫衷一是。本文擬采用ANSYS有限元分析工具來分析質(zhì)量—彈簧振子的振動模態(tài)，獲得了與文獻[6]高度吻合的結(jié)果，從而對解決彈簧的有效質(zhì)量問題提供了具有相當說服力的佐證。

1 ANSYS有限元建模分析

有限元建模中質(zhì)量單元采用了mass21，并定義為二維質(zhì)量單元，彈簧采用combin14，并定義為二維縱向彈簧單元。作為對照與校驗，同時也采用了beam3梁單元來模擬線性彈簧，不過梁beam3單元并不能直接輸入彈性系數(shù)k，而需要通過輸入彈性模量E，梁截面面積A，以及梁的長度L來實現(xiàn)梁單元的縱向(沿梁的長度方向)的彈性系數(shù)為k的目的。由于這里的梁并不用來作承重分析，且不需要用到梁的截面慣量矩，因此截面形狀可以隨意選取，方便起見，截面形狀取正方形，邊長都設為1 m，則面積為1 m2，梁的長度也設為1 m，在輸入梁的彈性系數(shù)k時，在數(shù)值上已經(jīng)與彈性模量E相同，從而可以將彈性系數(shù)k的數(shù)值直接輸入到梁單元的彈性模量EX中，而泊松比直接以0填入到泊松比輸入提示符PRXY相應的輸入框中去。至于梁單元被設置為正方體及梁單元不作承重而作彈簧似乎不合常理的擔憂是沒有必要的，這樣做只是為了ANSYS的材料特性參數(shù)設置的便利并確保分析結(jié)果的正確，況且由于有combin14彈簧單元作為參考印證，可以保證分析結(jié)果的準確、可靠。彈簧質(zhì)量m可以通過對材料密度來進行設置，在這里可以直接將彈簧質(zhì)量m的數(shù)值輸入到密度輸入提示框DENS中。分析中約束了除縱向振動之外的所有自由度，而固定端則需作全約束。為了檢驗ANSYS建模分析的有效性與可靠性，首先分析無質(zhì)量彈簧的理想振子的情況，并與理論計算的結(jié)果相比較以檢驗兩者相符的程度。為了計算方便，假定振子質(zhì)量M=1 kg，彈簧的彈性系數(shù)k=1 N/m，由理論公式可計算得出其振動頻率為:

用梁單元beam3模擬無質(zhì)量(m=0)及彈性系數(shù)k=1 N/m，振子質(zhì)量M=1 kg的理想彈簧振子，無論將彈簧劃分為多少個網(wǎng)格單元，其第一階振動模態(tài)的頻率都為0.159 15 Hz，這與理論值完全吻合。

用ANSYS的彈簧單元combin14來模擬彈簧就要簡單得多，可以直接設置彈簧質(zhì)量m和彈簧系數(shù)k，用其進行模態(tài)分析得出的理想彈簧振子的第一階振動模態(tài)的頻率也同樣是0.159 15 Hz，兩者沒有任何差異。

雖然在模態(tài)分析中要求展開至30階，而實際結(jié)果無論是采用combin14單元還是beam4單元都只給出了一階振動模態(tài)，這意味著在這種情況下確實只存在唯一的一階振動模態(tài)，而不存在其他的振動模態(tài)，這清楚地表明了理想彈簧振子的運動是屬于簡諧振動。ANSYS有限元分析所給出的5位有效數(shù)字與理論計算值是完全一致的。

對于一質(zhì)量為m、彈簧系數(shù)為k的連續(xù)彈簧在作ANSYS分析時需將其分成均等的n段，每一小段連續(xù)彈簧都被看作一質(zhì)量為m/n的集中質(zhì)量與剛度系數(shù)為n·k的無質(zhì)量小彈簧構(gòu)成，由n個這樣的離散小質(zhì)量—彈簧振子組成的系統(tǒng)來代替原來的連續(xù)彈簧，經(jīng)這樣離散化處理后的情況與一個實際的連續(xù)的有質(zhì)量的彈簧在力學特性上是基本等效的。當然，這里所分的段數(shù)n越多就越能精確模擬實際的連續(xù)彈簧，稍有影響的是這個小的集中質(zhì)量是該放置在小彈簧的什么位置，為此在分析中作了2種極端情況的處理，即將小彈簧的集中質(zhì)量分別放置在小彈簧離振子較遠一端和較近一端，并分別稱之為遠振子端和近振子端。分析結(jié)果顯示，在這2種情況下相同階的模態(tài)頻率存在著少許差異，這種差異可以作為ANSYS的分析精度的一種衡量尺度，可以反映出分析的精度，而正確的模態(tài)頻率應該介于2種極端情況之間。為了能夠清楚地展示ANSYS的分析精度隨劃分的單元數(shù)的變化情況，本文將彈簧劃分成了100、1 000和10 000個單元的離散質(zhì)量—彈簧振子，每種情況下又可分為“遠振子端”與“近振子端”兩種極端情況，并分別用“+”、“-”附在所劃分的單元數(shù)之后作為標記。

2 模態(tài)分析結(jié)果

采用ANSYS的APDL語言進行簡單的編程，將振子質(zhì)量M、彈簧質(zhì)量m、彈簧彈性系數(shù)k、彈簧劃分單元數(shù)n均作為輸入?yún)?shù)，通過在輸入界面上更改這些參數(shù)就可以很方便地對不同參數(shù)的情況進行反復計算。經(jīng)過上述的ANSYS仿真分析后，即可求解得出各模態(tài)的振動頻率。這里針對combin14和beam3單元分別編寫了兩段程序，在將彈簧分別劃分為100、1 000和10 000等份的情況下，對振動模態(tài)進行有限元仿真分析，其中對彈簧單元combin14還需區(qū)分遠振子端與近振子端2種情況，其前30階振動模態(tài)的振動頻率以及理論計算值見表1。

表1 ANSYS計算值與理論值的比較(M=1 kg，m=1 kg，k=1 N/m，combin14與 beam3 單元)

由表1可見:

1)ANSYS計算值與理論值非常吻合，尤其是當劃分單元數(shù)較多時，ANSYS所給出的5位有效數(shù)字與理論計算值無差異。

2)當彈簧質(zhì)量偏置于遠振子端時頻率偏高;而當彈簧質(zhì)量偏置于近振子端時頻率偏低;其平均值更為接近理論值。

3)相比而言，遠振子端情況的數(shù)據(jù)要比近振子端情況的數(shù)據(jù)略為準確一些。這是由于彈簧質(zhì)量的一級修正值為彈簧質(zhì)量的1/3。

4)采用梁單元beam3來計算振動模態(tài)比用combin14單元更為準確，其收斂于理論值的速度更快、效果更好，也不用區(qū)分遠振子端還是近振子端。但在無理論值的情況下不便于精度估計。

對于一階振動模態(tài)，表2給出了采用Mathematica7.0根據(jù)文獻[6]各級修正公式計算得出的近似頻率、理論值及其相應的相對誤差。

表2 一階振動模態(tài)各級修正公式的精度

隨著計算公式的修正級次的增加，通常計算精度也越高，但修正級次過高會出現(xiàn)“振蕩”，適當選取修正級次可獲得較好效果。表2中的理論值是根據(jù)文獻[6]中的式(8)計算得到的，其五級(原文獻[6]式(11)中 ω1(4)為 ω1(5)之誤，即所給公式為一階振動模態(tài)ω1的五級修正而非四級修正。)振動頻率修正是根據(jù)文獻[6]中的式(11)的角頻率計算得出，即:

而四級修正為:

其余可依次類推。

值得注意的是，當采用beam3單元來對上述質(zhì)量—彈簧振子系統(tǒng)進行模態(tài)分析時，如果將彈簧單元僅僅劃分為一個單元時，這時的質(zhì)量—彈簧振子系統(tǒng)就僅僅只有一個自由度，因此其得出的振動模態(tài)就僅僅只有一階，其頻率為0.137 83 Hz，正好與表2中的一級修正公式也即1/3彈簧質(zhì)量修正公式得到的振動頻率完全相同，這并不是偶然的巧合。事實上，如果將彈簧單元僅僅劃分為一個單元，這就意味著彈簧被限制為只能作均勻的線性伸縮變化，而不能作疏密相間的彈性波動的變化。眾所周知，1/3的彈簧質(zhì)量修正的公式的推導正是建立在彈簧僅僅作均勻的線性彈性伸縮變化的假定之下推導而得到的結(jié)論，因此，這里兩者結(jié)果完全相同也是在意料之中。一般情況下彈簧的伸縮并不是線性變化的，而是呈現(xiàn)出比較復雜的波動，這正是存在無窮多振動模態(tài)的原因所在。

3 結(jié)論

由ANSYS仿真得出的各階振動模態(tài)的頻率與由本征值方程[6]ytany=β求解得出的對應特征頻率完全一致，這就充分說明將連續(xù)彈簧視作均勻的連續(xù)介質(zhì)，用波動方程來描述彈簧的振動是行之有效的，并且具有相當高的精度，能夠相當精確地描述彈簧振子在振動過程中由彈簧引起的波動現(xiàn)象。另外，在認可ANSYS分析的結(jié)果是準確、可靠的基礎上，那么也就能驗證文獻[6]中的式(11)所求出的振動模態(tài)的正確性，而作為其中一階振動模態(tài)的彈簧有效質(zhì)量的計算公式自然也就是準確無誤的。

通過理論分析與有限元分析結(jié)果吻合一致的相互印證，可以有充分理由來終結(jié)有關彈簧有效質(zhì)量到底該如何準確計算的長期懸而未決的爭議，也能充分理解為何通過實驗來進行彈簧有效質(zhì)量檢驗的種種努力始終都未能給出令人信服的結(jié)果。

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The ANSYS Finite Element Analysis of Mass-spring Oscillator System

HUANG Zhao-liang

(School of Photoelectric Engineering，Changzhou Institute of Technology，Changzhou 213002)

This paper applies ANSYS modal analysis to the mass-spring oscillator system to obtain the modal frequency，whose results are in exact accordance with those eigen frequency calculated by the theory.The consensus of support each other can make sure that the effective quality of the formula is accurate and reliable.

modal frequency;effective mass;mass-spring oscillator;vibration

O326;O241.82

A

1671-0436(2011)02-0038-04

2011-04-02

黃兆梁(1956— )男，副教授。

責任編輯:張秀蘭