黃道業(yè)，孟凡凈

（安徽國防科技職業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程系，六安 237000）

0 引言

正弦變螺旋角斜齒輪傳動(dòng)，是一種兩軸三自由度的應(yīng)用正弦函數(shù)曲線構(gòu)造齒輪基本齒廓的直、斜齒之間的共軛傳動(dòng)，該齒輪傳動(dòng)型式比較新穎，一方面該齒輪傳動(dòng)探索性的應(yīng)用了一種新型的齒廓型式-正弦函數(shù)曲線，另一方面它打破了常規(guī)的齒輪傳動(dòng)規(guī)律的傳動(dòng)方式，相共軛的一對(duì)齒輪的螺旋角不等，其主動(dòng)齒輪為直齒掄，從動(dòng)輪為變螺旋角斜齒輪（即螺旋角大小和方向均按一定的規(guī)律發(fā)生周期性的變化）。直、斜傳動(dòng)技術(shù)是國外拋光磨頭的關(guān)鍵技術(shù)，并且該技術(shù)長期以來受到國外封鎖和保密。我國現(xiàn)階段對(duì)于該技術(shù)完全處于測(cè)繪和仿制階段，產(chǎn)品質(zhì)量不高、拋光效果較差。因此對(duì)于正弦直、斜齒傳動(dòng)嚙合原理進(jìn)行研究，通過該研究總結(jié)出設(shè)計(jì)和制造經(jīng)驗(yàn)就顯得尤為重要。本文正是基于以上原因?qū)υ撔滦偷凝X輪傳動(dòng)的齒面方程和實(shí)體模型做了以下研究[1～3]。

1 坐標(biāo)系的建立[4]

根據(jù)齒輪的坐標(biāo)建立方法，正弦齒廓直齒輪和斜齒輪嚙合過程中采用如下四個(gè)坐標(biāo)系（如圖1所示），初始位置的兩個(gè)固定坐標(biāo)系：SZOOZOxZOyZOzZO和SXO-OXOxXOyXOzXO；與正弦齒廓直齒輪和斜齒輪固連的兩個(gè)動(dòng)坐標(biāo)系SZ-OZxZyZzZ和SX-OXxXyXzX。初始時(shí)，zZO軸與zXO平行，yZO軸與yXO平行，xZO與xXO軸重合，OZOOXO＝a；坐標(biāo)系SZ-OZxZyZzZ與SX-OXxXyXzX分別與坐標(biāo)系SZO-OZOxZOyZOzZO與SXO-OXOxXOyXOzXO重合。嚙合時(shí)，正弦直齒輪僅僅以角速度1繞zZO軸轉(zhuǎn)動(dòng)，OZOOZ＝0；正弦斜齒輪一方面繞zZ軸以角速度X轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)以角速度XO繞xXO軸轉(zhuǎn)動(dòng)，OXOOX＝0。

圖1 坐標(biāo)變換關(guān)系

由（1）、（3）、（4）式可以得到由坐標(biāo)系SZ0-OZ0xZ0yZ0zZ0到SX-OXxXyXzX的變換矩陣為[MZO,X]為：

2 基本正弦齒廓的建立

如圖3所示，以正弦函數(shù)曲線的坐標(biāo)系零點(diǎn)作為該齒輪的分度圓；以正弦函數(shù)曲線的幅值H作為該齒輪的齒頂高和齒根高；以正弦函數(shù)曲線的一個(gè)周期作為該齒輪的齒距來構(gòu)造該新型的齒輪齒廓方程。為了能夠建立好該齒輪的齒廓方程，特建立了圖2所示的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系S-OXY和圖3所示的直線坐標(biāo)系S1-O1X1Y1，齒廓構(gòu)造函數(shù)為Y1＝Hsin (BX1)，其中B 為正弦函數(shù)的周期系數(shù)。

則正弦齒輪的基本齒廓方程用極坐標(biāo)可表示為：

極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為：

圖2 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系S-OXY

圖3 直線坐標(biāo)系S1-O1X1Y1

3 變螺旋角正弦斜齒輪的齒面方程[5]

3.1 法線矢量

正弦直齒的基本齒面由坐標(biāo)系SZO-OZOxZOyZOzZO變換到坐標(biāo)系SZ-OZxZyZzZ后的齒面方程為：

對(duì)于正弦直齒齒面上的任意點(diǎn)P (xZ, yZ, zZ)，設(shè)其在動(dòng)坐標(biāo)系SZ-OZxZyZzZ中的矢徑rZ為：

根據(jù)（9）式分別對(duì) 和H求導(dǎo)，化簡得法向量為：

3.2 接觸處的相對(duì)速度

如圖4所示，設(shè)空間有一點(diǎn)M在坐標(biāo)系SZO-OZOxZOyZOzZO中 的 坐 標(biāo) 為（xZO, yZO, zZO），令OXOOZO＝aiZO，則：

其中，1為直齒輪繞zZO旋轉(zhuǎn)的角速度模量。

因?yàn)樾饼X輪繞zX軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度：且繞xXO轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度：由（4）可得斜齒輪在坐標(biāo)系SZO-OZOxZOyZOzZO中的角速度為：

圖4 相對(duì)速度坐標(biāo)圖

式中：

2——斜齒輪繞zX軸旋轉(zhuǎn)的角速度模量；XO——斜齒輪繞xXO旋轉(zhuǎn)的角速度模量。兩齒輪在接觸處的相對(duì)速度為：

其中， 為大小和方向均按一定的規(guī)律發(fā)生周期性的變化的螺旋角的函數(shù)：

式中：

z2——變螺旋角正弦斜齒輪的齒數(shù)；

——變螺旋角正弦斜齒輪螺旋角的變化幅度，如圖5所示。

3.3 變螺旋角正弦斜齒輪傳動(dòng)的齒面方程

由齒輪嚙合原理可知，兩齒輪齒面的嚙合條件是：

圖5 螺旋角周期性變化圖

把（13）和（17）式代入后得到兩齒輪嚙合的嚙合方程為：

聯(lián)立（8）和（20）可以得到弧齒直齒輪和變螺旋角斜齒輪傳動(dòng)在SZ-OZxZyZzZ中的齒面方程為：

由（3）、（4）式可以得到弧齒直齒輪和變螺旋角斜齒輪傳動(dòng)在SX-OXxXyXzX中的齒面方程為：

4 嚙合軌跡的計(jì)算機(jī)仿真[6～8]

4.1 參數(shù)選擇和計(jì)算

根據(jù)新型正弦齒輪的參數(shù)特點(diǎn)對(duì)一對(duì)相嚙合的正弦直齒輪和變螺旋角的主要嚙合參數(shù)做了如下的選擇和計(jì)算。

基本參數(shù)：直齒輪的齒數(shù)Z1＝20，模數(shù)m＝5，變螺旋角斜齒數(shù)Z2＝60，＝5° 15°。

4.2 仿真分析

由于正弦直斜齒傳動(dòng)的瞬時(shí)接觸線只是一種理想的情況，而在實(shí)際過程中為點(diǎn)接觸，對(duì)理想情況分析沒有實(shí)際意義，因此本文在分析過程中只對(duì)點(diǎn)接觸的情況進(jìn)行分析。在仿真過程中，為了使仿真的結(jié)果易于分析和處理，特對(duì)仿真的步驟做了如下的規(guī)定：

1）固定 ＝15°，取H分別等于5mm和10mm時(shí)的仿真結(jié)果，如圖（6）所示。

2）固定H＝10mm，取 分別等于5°和10°時(shí)的仿真結(jié)果，如圖7所示。

圖6 仿真圖H

圖7 仿真圖

從圖6可以看出，接觸軌跡隨著H值的增大移向齒高的正向，齒寬的正向。從圖7可以看出，接觸軌跡隨著 角度的增大將移向齒高的負(fù)向，齒寬的負(fù)向。

5 結(jié)論

1）基于《齒輪嚙合原理》和《微分幾何》的知識(shí)推導(dǎo)了變螺旋角正弦斜齒輪的齒面方程。

2）應(yīng)用仿真軟件MATLAB6.0對(duì)變螺旋角正弦直斜齒傳動(dòng)的嚙合軌跡仿真分析。分析結(jié)果表明：接觸軌跡隨著H值的增大移向齒高的正向，齒寬的正向。接觸軌跡隨著 角度的增大將移向齒高的負(fù)向，齒寬的負(fù)向。

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