華爾天，陳 穎，曹魏魏，劉科紅

（浙江工商大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，杭州 310018）

0 引言

產(chǎn)品配置設(shè)計(jì)是一種快速設(shè)計(jì)方法，通過(guò)合理組織已有的設(shè)計(jì)成果，根據(jù)用戶需求選擇零部件迅速組成新產(chǎn)品，縮短產(chǎn)品設(shè)計(jì)時(shí)間和上市周期，提高企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力[1,2]。產(chǎn)品配置的目標(biāo)就是找出滿足配置約束條件和用戶需求的可行方案[3]，許多學(xué)者已對(duì)產(chǎn)品配置優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了深入研究[4～6]。文獻(xiàn)[7]通過(guò)分析機(jī)械產(chǎn)品生命周期的生產(chǎn)成本和經(jīng)濟(jì)損失，構(gòu)建多目標(biāo)產(chǎn)品成本價(jià)值與可靠度的關(guān)系模型，得到機(jī)械產(chǎn)品生命周期的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方案；文獻(xiàn)[8]以阻力墻結(jié)構(gòu)參數(shù)為變量，建立模具磨損和成形載荷的Kriging模型，并采用線性加權(quán)法將模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)，得到優(yōu)化結(jié)果；文獻(xiàn)[9]考慮制品質(zhì)量均衡性以及生產(chǎn)的成本和效率，建立注塑模流道多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，最終利用細(xì)粒度模型獲取能使綜合指標(biāo)最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案；文獻(xiàn)[10]采用最優(yōu)拉丁試驗(yàn)設(shè)計(jì)及最小二乘方法構(gòu)建多目標(biāo)優(yōu)化系統(tǒng)的各個(gè)目標(biāo)及約束性能參數(shù)的模型，利用NSGA-Ⅱ?qū)Χ嗄繕?biāo)優(yōu)化模型進(jìn)行優(yōu)化，得到滿足約束的最優(yōu)方案。但是上述文獻(xiàn)所考慮的優(yōu)化目標(biāo)多為單一靜態(tài)的，而在實(shí)際中產(chǎn)品配置方案隨客戶的需求側(cè)重點(diǎn)不同而動(dòng)態(tài)變化。如何針對(duì)客戶對(duì)需求的側(cè)重點(diǎn)不同而得到最優(yōu)的產(chǎn)品配置方案，是當(dāng)前學(xué)界和業(yè)界關(guān)注的重要課題。針對(duì)上述問(wèn)題，本文建立了基于產(chǎn)品優(yōu)化配置參數(shù)的多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化模型，并對(duì)其進(jìn)行動(dòng)態(tài)求解，得到滿足用戶需求的優(yōu)化方案。

1 產(chǎn)品優(yōu)化配置參數(shù)

產(chǎn)品優(yōu)化配置參數(shù)主要包括產(chǎn)品性能、產(chǎn)品成本以及產(chǎn)品交貨期。用戶追求的就是產(chǎn)品的最佳性能、最小成本以及最短的交貨期。對(duì)于不同的用戶，對(duì)這三方面的參數(shù)要求權(quán)重會(huì)各不相同，側(cè)重點(diǎn)也會(huì)因人而異，使得產(chǎn)品性能、成本及交貨期三個(gè)參數(shù)的動(dòng)態(tài)變化尤為重要。在產(chǎn)品性能方面通過(guò)對(duì)用戶的大量問(wèn)卷調(diào)查，調(diào)查用戶對(duì)產(chǎn)品性能滿意度，由產(chǎn)品綜合性能最優(yōu)原則選取性能最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案予以實(shí)施；產(chǎn)品成本包括了產(chǎn)品各個(gè)部件的固定成本以及除原材料外的固定成本，如設(shè)備損耗費(fèi)、燃油費(fèi)、工人工資等費(fèi)用；交貨期要保證及時(shí)交貨。

本文以產(chǎn)品性能-成本-交貨期為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合模糊數(shù)學(xué)理論，構(gòu)建以產(chǎn)品性能-成本-交貨期為目標(biāo)函數(shù)的多目標(biāo)配置優(yōu)化函數(shù)，提出了一種基于多目標(biāo)差異演化算法的產(chǎn)品配置優(yōu)化方法對(duì)其進(jìn)行并行優(yōu)化，得到一系列配置方案的Pareto集以滿足客戶的不同要求。

2 產(chǎn)品優(yōu)化配置模型

2.1 產(chǎn)品性能的優(yōu)化配置模型

令產(chǎn)品的性能矢量為P=(P1, P2, , PD)T，Pd為產(chǎn)品的第d個(gè)性能，d=1, 2, , D，D為產(chǎn)品性能項(xiàng)總數(shù)，對(duì)應(yīng)的權(quán)重矢量為WP=(w1, w2, , wd)T。

構(gòu)建產(chǎn)品性能的關(guān)聯(lián)度矩陣

其中：ij為滿足第j項(xiàng)性能需求（j=1, 2, , m）的第i個(gè)零部件（i=1, 2, , k）的相關(guān)度，其量化值可用模糊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)理論中的極強(qiáng)相關(guān)、強(qiáng)相關(guān)、中相關(guān)、弱相關(guān)或無(wú)相關(guān)表示，令相對(duì)值衡量度分別為：9, 7, 4, 1, 0。

則產(chǎn)品性能的優(yōu)化模型：

其中：Pz為產(chǎn)品性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)，其值越高，則產(chǎn)品性能越好；ij為二元決策變量，表示第i個(gè)構(gòu)件在產(chǎn)品配置中是否被選擇，選中時(shí)取1，未選中為0；wd為產(chǎn)品性能集的權(quán)重量。

2.2 產(chǎn)品成本的優(yōu)化配置模型

構(gòu)建產(chǎn)品成本矩陣：

其中：cij為滿足第j項(xiàng)性能需求的第i個(gè)構(gòu)件的成本。

配置的產(chǎn)品總成本要能夠保證小于客戶所能承受的最高價(jià)格，則產(chǎn)品成本優(yōu)化模型為：

其中：Cz為配置產(chǎn)品的總成本；Cs為產(chǎn)品配置的一切固定成本，如設(shè)備耗損、維修費(fèi)等；為企業(yè)利潤(rùn)；Cmax為客戶能承受的最高價(jià)格。

2.3 產(chǎn)品交貨期的優(yōu)化配置模型

構(gòu)建產(chǎn)品的交貨期矩陣：

其中：tij為選中滿足第j個(gè)性能需求的第i個(gè)構(gòu)件對(duì)產(chǎn)品交貨期的延遲。

產(chǎn)品配置不僅要滿足客戶需求，還要保證交貨及時(shí)，產(chǎn)品交貨期優(yōu)化函數(shù)可以表示為：

其中：Tz為配置產(chǎn)品的交貨期，Tmax為客戶允許的配置產(chǎn)品最大交貨期。

2.4 約束條件的建立

1）配置約束條件

產(chǎn)品配置時(shí)，部件之間存在著兩兩互斥或兩兩相容的關(guān)系。引入變量Qij表示零件qi與零件qj之間的相容程度，則約束關(guān)系表示為：

2）成本約束條件： (1+) Cz≤Cmax

3）交貨期約束條件： Tz≤Tmax

2.5 產(chǎn)品多目標(biāo)優(yōu)化配置模型

通過(guò)對(duì)產(chǎn)品配置優(yōu)化模型的建模分析可知，上述產(chǎn)品配置優(yōu)化模型的求解屬于典型的有約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。結(jié)合約束條件，將多目標(biāo)配置優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為如下數(shù)學(xué)模型：

其中：Pz(X)是效益型目標(biāo)函數(shù)，其值越大越好；Cz(X), Tz(X)是成本型函數(shù)，其值越小越好；ga(X)為優(yōu)化模型的不等式約束；hb(X)為優(yōu)化模型的等式約束，a和b分別表示不等式約束和等式約束的個(gè)數(shù)。

根據(jù)上述模型，本文的數(shù)學(xué)模型描述如下：

考慮到傳統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)線性加權(quán)法不能保證Pareto的優(yōu)化解，本文采用基于多目標(biāo)演化算法對(duì)上述配置優(yōu)化模型進(jìn)行求解。

3 產(chǎn)品優(yōu)化配置模型算法

3.1 差異演化算法

差異演化算法（DE）是近幾年新興的一種新的進(jìn)化算法，是求解Pareto優(yōu)化解的有效手段，將其引入多目標(biāo)優(yōu)化，可在一次優(yōu)化過(guò)程中就產(chǎn)生一組非劣解，使得優(yōu)化過(guò)程直接面向Pareto優(yōu)化解進(jìn)行，避免了集成算法的缺點(diǎn)，可直接用于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題[11]。差異演化算法中的主要程序包括了生成初始種群、變異操作、交叉操作以及選擇操作。

令xi(g)為第g代的第i個(gè)個(gè)體，則

3.2 差異演化算法的改進(jìn)

多目標(biāo)差異演化算法（MODE）則引入群體中心點(diǎn)，并在差異演化算法的基礎(chǔ)上做一定的改進(jìn)。

定義第t代群體中心點(diǎn)：

其中：Cp為群體中心點(diǎn)，隨著代數(shù)的變化而變化[12]。

3.2.1 變異操作

MODE變異操作定義為：

其中：xbest是從當(dāng)前種群中隨機(jī)取出的，xp1、xp2、xp3是從初始化種群中隨機(jī)取出的三個(gè)個(gè)體。

3.2.2 線性遞增交叉操作

交叉操作定義為：

其中：rand (1, n)為[1, n]之間的隨機(jī)整數(shù)。Pc為交叉概率，一般都在[0，1]之間選擇，比較好的選擇是0.3左右[13]。通常在交叉操作中Pc的取值在[0.9，1]之間時(shí)容易收斂。本文采用線性遞增交叉策略，調(diào)整算法的交叉率，加快算法的收斂速度，也盡量避免發(fā)生“早熟”現(xiàn)象。

線性遞增交叉率定義為：

其中：PCmin為交叉率的最小值，取值0.1；PCmax為交叉率的最大值，取值0.9；Tmax為最大進(jìn)化代數(shù)，iter當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)。

3.2.3 選擇操作

評(píng)價(jià)函數(shù)在父代個(gè)體向量vi(g+1)和子代個(gè)體向量xi(g)之間進(jìn)行比較。

綜上所述，多目標(biāo)差異演化算法的實(shí)施過(guò)程如下：

1）設(shè)置算法相關(guān)控制參數(shù)及變量的范圍：N-種群規(guī)模、 F-縮放因子、Pc-交叉概率、Tmax-最大迭代代數(shù)，終止條件；

2）初始化種群P(0)，t=O；

3）計(jì)算種群P(t)中每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度,構(gòu)建外部種群；

4）由式（2）在可行域內(nèi)進(jìn)行變異操作；

5）由式（4）表示的線性遞增交叉率，根據(jù)公式（3）在可行域內(nèi)對(duì)種群進(jìn)行交叉操作；

6）按根據(jù)公式（5）的方法對(duì)父代和子代進(jìn)行選擇操作；

7）更新外部種群，將前面計(jì)算得到的可行域內(nèi)的個(gè)體與外部種群進(jìn)行合并，合并后對(duì)其按快速排序法進(jìn)行選擇非支配集；

8）判斷是否達(dá)到最大進(jìn)化代數(shù)（或達(dá)到所要求的收斂精度），若是，則輸出優(yōu)化解。否則，進(jìn)化代數(shù)加1（t=t+l），返回4），繼續(xù)運(yùn)行。

4 應(yīng)用實(shí)例

以某廠生產(chǎn)的兒童手推車為例，運(yùn)用MODE對(duì)其進(jìn)行配置優(yōu)化，最終得到最優(yōu)設(shè)計(jì)結(jié)果。表1為兒童車推車的參數(shù)設(shè)計(jì)表。

表1 兒童手推車主要設(shè)計(jì)參數(shù)表

對(duì)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)參數(shù)構(gòu)建相關(guān)度矩陣，根據(jù)大量的客戶問(wèn)卷調(diào)查表，利用層次分析法（AHP）得到兒童手推車的性能權(quán)重分配關(guān)系為 ={0.1392 0.1098 0.098 0.1059 0.0882 0.0775 0.0814 0.0794 0.0735 0.0706 0.0765}

根據(jù)表1中兒童手推車的主要設(shè)計(jì)參數(shù)的不同，對(duì)其進(jìn)行組合，共得到81個(gè)版本的兒童手推車，根據(jù)不同零部件的組成，對(duì)制造成本和交貨期進(jìn)行分析，可以得到不同版本兒童手推車的制造成本和交貨期，如表2所示。

表2 不同組成兒童手推車的成本和交貨期

運(yùn)用MODE的步驟，以二元決策變量ij為設(shè)計(jì)變量，以兒童手推車的性能Pz最大，制造成本Cz、交貨期Tz最小為目標(biāo)函數(shù)，在滿足約束條件的前提下進(jìn)行產(chǎn)品優(yōu)化配置?；贛ODE的特點(diǎn)，令其種群數(shù)目為100，最大進(jìn)化代數(shù)為300，縮放因子F選取在（0.1, 0.9）之間的隨機(jī)數(shù)，交叉概率Pc選取在（0.1, 0.9）之間，并按照進(jìn)化代數(shù)線性遞增。應(yīng)用Matlab進(jìn)行產(chǎn)品優(yōu)化配置仿真的過(guò)程與結(jié)果，得到目標(biāo)函數(shù)的動(dòng)態(tài)變化曲線。如圖2所示。

圖2 配置方案的Pareto集

客戶可以根據(jù)自己對(duì)每個(gè)目標(biāo)的重要程度的不同來(lái)選擇，從相應(yīng)的Pareto集中找到這一點(diǎn)的設(shè)計(jì)變量值，得到客戶所需的產(chǎn)品配置方案。表3為從中選取的3種優(yōu)化方案。

表3 根據(jù)不同客戶需求的兩種配置方案

企業(yè)將這三種配置優(yōu)化方案提供給客戶進(jìn)行選擇，從產(chǎn)品性能-成本-交貨期的綜合考慮確定最滿意的配置方案。在考慮各種因素后，客戶最終選擇方案2，既能達(dá)到產(chǎn)品的性能要求，又使得較少的產(chǎn)品成本和較短的交貨期。

5 結(jié)論

傳統(tǒng)的產(chǎn)品配置方案大多都基于知識(shí)、約束或經(jīng)驗(yàn)來(lái)求解，在產(chǎn)品的具體配置過(guò)程中沒(méi)有過(guò)多考慮客戶的需求。本文提出以產(chǎn)品性能、成本及交貨期為目標(biāo)函數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化配置數(shù)學(xué)模型，通過(guò)MODE對(duì)模型進(jìn)行求解，得到了一組基于Pareto集的多目標(biāo)優(yōu)化配置方案，實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)模式，滿足不同客戶從不同角度對(duì)產(chǎn)品的不同要求。通過(guò)對(duì)兒童手推車實(shí)例的分析，證明了該方法的可行性和有效性，為大規(guī)模定制個(gè)性化產(chǎn)品提供了有效的方法。

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