俸錦福，張俊紅，朱 彬 ，陳宇龍

（1.中交第二航務(wù)工程勘察設(shè)計院有限公司，湖北 武 漢 4 30071；

2.華北水利水電學(xué)院鋼結(jié)構(gòu)與工程研究院，河南 鄭 州 4 50011；

3.河北省國控礦業(yè)開發(fā)投資有限公司，河北 石 家莊 0 50000；

4.重慶大學(xué) 煤 礦災(zāi)害動力學(xué)與控制國家重點(diǎn)實驗室，重慶 4 00030）

0 引言

滾石是指個別巖塊因某種原因從邊坡表面脫離失穩(wěn)后，在重力作用下，沿著坡面經(jīng)過滾動、回彈、跳躍或滑動等運(yùn)動方式向坡底快速沖擊，最后在較平緩的地帶或受到障礙物阻止后，靜止下來的一種動力演化現(xiàn)象［1］。一般，滾落的巖石也被統(tǒng)稱為滾石。當(dāng)滾石運(yùn)動范圍內(nèi)有人類活動或人類構(gòu)筑的設(shè)施并引起一定的損失時，就構(gòu)成了滾石災(zāi)害［2］。

邊坡滾石問題首先要解決的是滾石運(yùn)動軌跡的估算問題?，F(xiàn)有的滾石運(yùn)動軌跡計算方法大多把滾石假設(shè)為質(zhì)點(diǎn)，列出其做拋物運(yùn)動過程中某一時刻的運(yùn)動方程，但這些計算方法大多計算公式繁雜［3-6］，不利于實際工程中的應(yīng)用。為此，基于已有研究成果的基礎(chǔ)上，結(jié)合滾石實際的運(yùn)動情況，提出了一種分段循環(huán)算法，用于滾石運(yùn)動軌跡的計算與分析。

1 滾石運(yùn)動軌跡理論計算

1.1 基本假設(shè)

從實驗和現(xiàn)場觀測結(jié)果分析，可以將滾石運(yùn)動的全過程概化為三個階段，即滾動（滑動）運(yùn)動階段、拋物運(yùn)動階段和與坡面碰撞階段。由于與坡面碰撞階段主要涉及到能量轉(zhuǎn)換與損耗，滾石在這一階段發(fā)生的位移比較小，因此，按照滾石的位移，則可以將滾石簡化為：彈跳階段和滾動（滑動）階段兩個階段，而把碰撞階段納入到彈跳階段。這樣對于滾石運(yùn)動軌跡的描述，只需要研究滾石的彈跳軌跡和滾動（滑動）軌跡［7］。

由于滾石運(yùn)動非常復(fù)雜，為了便于理論分析，需要做如下假設(shè)：

（1）滾石為一個質(zhì)點(diǎn)，忽略滾石大小、形狀、角速度（轉(zhuǎn)動動能）對滾石運(yùn)動軌跡的影響。

（2）滾石的質(zhì)量恒定，為常數(shù)，即滾石足夠堅硬，在碰撞的過程中不會分裂。

（3）忽略空氣阻力的影響。

（4）邊坡坡面由一組連續(xù)的首尾相接的直線段組成。

（5）忽略邊坡坡面粗糙度的影響。滾石在處于彈跳運(yùn)動時，邊坡坡面粗糙度的影響較小，可以忽略。當(dāng)然，滾石在處于滾（滑）動運(yùn)動時，邊坡坡面粗糙度對滾石的運(yùn)動有影響，由于測定邊坡坡面粗糙度比較難，另外這種影響與滾石的大小有關(guān)，所以，在進(jìn)行理論計算時，根據(jù)假設(shè)（1），忽略其影響。

（6）邊坡坡面法向還原系數(shù)RN恒定。

基于這樣的假設(shè)條件下，賦予滾石一個確定的初始狀態(tài)（位置、初速度等）后，就可以采用分段循環(huán)算法，從理論上分析滾石的運(yùn)動軌跡。當(dāng)然，在此之前邊坡坡面的各參數(shù)應(yīng)該是確定的。

1.2 計算滾石彈跳運(yùn)動過程的軌跡

滾石在彈跳階段，與坡面發(fā)生碰撞后，必然會產(chǎn)生能量的損耗（這種能量的損耗從滾石速度的改變可以體現(xiàn)出來），也就是說，滾石每一次“彈起”都相當(dāng)于重新處于一個初始狀態(tài)，為接下來“跳”的計算提供了初始條件。因此，可以把滾石的整個彈跳階段分割開來，化為一個個相互聯(lián)系的“彈跳”過程。在已知邊坡坡面的各參數(shù)和滾石的初始狀態(tài)后（自然界中滾石的初始狀態(tài)一般為靜止），可以進(jìn)行第一次彈跳運(yùn)動軌跡的計算。然后，以第一次彈跳運(yùn)動軌跡計算的結(jié)果為基礎(chǔ)，進(jìn)行第二次彈跳運(yùn)動軌跡計算，以此類推，直到滾石彈跳運(yùn)動結(jié)束。

滾石彈跳運(yùn)動階段軌跡計算的本質(zhì)就是找出滾石每次“彈起”運(yùn)動時的拋物線與邊坡坡面各線段的交點(diǎn)以及每段拋物運(yùn)動的時間，一旦確定了接觸點(diǎn)和滾石做拋物運(yùn)動的時間，則運(yùn)用下面的公式，就可以確定滾石的運(yùn)動軌跡。

找到滾石與邊坡坡面的接觸點(diǎn)后，若滾石仍有足夠的能量彈離邊坡坡面繼續(xù)做拋物運(yùn)動，則此接觸點(diǎn)就是滾石下一段運(yùn)動的初始位置，可以接著計算滾石彈跳運(yùn)動軌跡，反之滾石沒有足夠的能量彈起，則滾石由此點(diǎn)轉(zhuǎn)入滾（滑）動階段。

下面介紹滾石做拋物運(yùn)動時分段循環(huán)算法的原理與步驟。

先將滾石和邊坡放入一個平面直角坐標(biāo)系中（圖1），這樣，滾石所在初始位置和邊坡各坡面線段端點(diǎn)都對應(yīng)了相應(yīng)坐標(biāo)，則滾石第一次碰撞所接觸坡面的位移變量方程為：

式中：

x，y——滾石在坡面位置上的點(diǎn)坐標(biāo)；

X1，Y1——坡面直線端點(diǎn)坐標(biāo)；

X2，Y2——坡面直線另一端點(diǎn)坐標(biāo)；

u——當(dāng)前坡面線段的斜率。

滾石做拋物運(yùn)動時的位移變量方程為：

式中：

g——重力加速度（符號為負(fù)）；

X0，Y0——滾石初始位置坐標(biāo)；

VX0，VY0——滾石初始速度沿X軸和Y軸方向的速度分量。

圖1 坡面坐標(biāo)及滾石碰撞前后速度分解示意圖Fig.1 Sketch of slope coordinate and velocity before and after the collision

滾石做拋物運(yùn)動時的速度變化為：

式中：

VXB，VYB——滾石與坡面碰撞前沿坐標(biāo)系X和Y軸的速度分量。

令式（1）等于式（3），式（2）等于式（4），即滾石拋物線與坡面直線在碰撞點(diǎn)相交，得：

求解式（8）和（9），得：

式（9）的左邊為當(dāng)前坡面線段的斜率，得：

求解關(guān)于時間變量t的一元二次方程，可以得到滾石從初始位置開始，到與邊坡坡面發(fā)生第一次碰撞所經(jīng)歷的時間T1為：

其中：

將［0，T1］區(qū)間內(nèi)的任意t代入式（3）和式（4）中，就可以得到任意時刻滾石的位置坐標(biāo)和最終接觸點(diǎn)的坐標(biāo)，那么這一時間段的滾石運(yùn)動軌跡就確定了。

將滾石與邊坡坡面發(fā)生第一次碰撞前的速度VXB和VYB沿坡面的法向與切向方向分解，可得：

式中：

VNB，VTB——滾石與坡面碰撞前沿坡面法向與切向方向的速度分量；

θ——當(dāng)前坡面的坡面角。

利用RN和RT，可以求得滾石與坡面碰撞后的速度為：

式中：VNA，VTA——分別為滾石與坡面碰撞后沿坡面法向與切向方向的速度分量；

RN——邊坡坡面法向還原系數(shù)；

RT——邊坡坡面切向還原系數(shù) ，其值可根據(jù)相關(guān)研究選?。?～5］。

將VNA，VTA重新轉(zhuǎn)化為沿坐標(biāo)系X軸、Y軸的速度分量，則有：

式中：VXA，VYA——滾石與坡面碰撞后沿坐標(biāo)系X軸、Y軸的速度分量。

這樣，VXA，VYA就成為了滾石下一次彈跳階段的初始速度，且各坡面的幾何坐標(biāo)是已知的，若滾石繼續(xù)保持彈跳運(yùn)動，那這種計算就可以循環(huán)下去，直到滾石停止彈跳。

當(dāng)然，通過滾石與坡面碰撞后的速度大小亦可以初步判斷滾石彈跳是否會終止。

1.3 計算滾（滑）動運(yùn)動過程的軌跡

從前面的分析（1.2節(jié)）可知，當(dāng)滾石碰撞后剩余的動能難以繼續(xù)維持彈跳運(yùn)動時，則會轉(zhuǎn)入滾（滑）動運(yùn)動階段，這時，邊坡的坡面角θ和坡面摩擦角φ就成為影響滾石運(yùn)動軌跡的關(guān)鍵因素。根據(jù)分段循環(huán)算法的原理和思路，同樣可以分析滾石滾（滑）動階段的運(yùn)動軌跡。

當(dāng)滾石存在沿邊坡坡面切向向下的速度或速度為0時，此時滾石的運(yùn)動狀態(tài)取決于當(dāng)前坡面的坡面摩擦角φ與坡面角θ。

當(dāng)θ=φ時，滾石所受到的下滑力和摩擦阻力相等，滾石會沿邊坡坡面向下滾動直到停止，且V=V0。需要指出的是，當(dāng)V0=0時，則滾石會保持靜止?fàn)顟B(tài)。

當(dāng)θ＞φ時，滾石所受到的下滑力大于摩擦阻力，滾石會沿坡面加速下滑，且有：

式中：

VEXIT——滾石離開此段邊坡坡面的最終速度；

V0——滾石沿當(dāng)前邊坡坡面切向的初始速度；

S——滾石在此段坡面上所滑移的距離；

g——重力加速度（-9.81m/s2）；

k——一個系數(shù)，其值為：

k=sinθ-cosθtanφ

當(dāng)θ＜φ時，滾石受到的下滑力小于所受的摩擦阻力，滾石在當(dāng)前坡面的速度會逐漸減小。如果邊坡坡面足夠長，滾石會停止運(yùn)動，運(yùn)動的距離S同樣可由式（21）計算得出，此時VEXIT應(yīng)為0。

由式（21）可知，當(dāng)知道了滾石滾動（滑動）的距離后，就可以確定出VEXIT，如果接下來滾石重新進(jìn)入了彈跳（或滑動）階段，那么VEXIT就變成了下一個彈跳階段的初始速度，速度方向為滾動坡面的切向方向，那么可以繼續(xù)計算滾石的運(yùn)動軌跡。

需要指出的是，滾石滾動和滑動所受的摩擦阻力是不同的，即坡面摩擦角φ的大小是不同的，可以通過試驗與數(shù)值模擬相結(jié)合進(jìn)行反分析粗略確定。

2 算例驗證

以某巖質(zhì)邊坡為例，根據(jù)現(xiàn)場實測邊坡地形圖和坡面巖性等資料構(gòu)建邊坡模型。先是獲取邊坡的幾何尺寸，并進(jìn)行細(xì)化與概化，量測拐點(diǎn)之間的距離等數(shù)值（圖2）。

然后用混凝土構(gòu)建邊坡坡面，形成邊坡模型，并置于坐標(biāo)紙旁邊（圖3），建立一個坐標(biāo)系統(tǒng)，這樣邊坡上每個拐點(diǎn)及其線段都能用坐標(biāo)或方程來描述。然后采取一種全新的數(shù)碼圖像處理技術(shù)來準(zhǔn)確捕捉滾石某一時刻的具體位置。

圖3 室內(nèi)制作的模型邊坡和坐標(biāo)紙F(tuán)ig.3 Slope model and coordinate paper p roduced in the lab

改變邊坡的坡面角，使之分別為30°、45°和60°，選取質(zhì)量為44.8g的滾石進(jìn)行試驗，得到3組（每組50條）滾石運(yùn)動軌跡?，F(xiàn)比較50條軌跡中，兩者各自在30cm、65cm和100cm處的彈跳高度和速度，以驗證結(jié)果的正確性。由于二者處于同一坐標(biāo)系中，且大小相同，這樣只需比較50條軌跡兩者各自在30cm、65cm和100cm處相對于X軸的高度和速度。具體結(jié)果如表1。

表1 模型試驗與數(shù)值模擬不同位置的滾石速度數(shù)據(jù)Table 1 Velocity of rock falls of the model test and numerical simulation in different locations

續(xù)表1

從表1可知，相應(yīng)位置處的滾石運(yùn)動速度的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差相差不大，這樣的誤差在可接受的范圍內(nèi)，因此，證明采用分段循環(huán)算法所得的速度值基本能代表模型邊坡的速度值。

3 結(jié)論

本文在總結(jié)分析現(xiàn)有的滾石運(yùn)動過程軌跡計算方法基礎(chǔ)上，結(jié)合滾石實際的運(yùn)動情況，提出了一種新的滾石運(yùn)動軌跡計算分段循環(huán)算法。該方法不僅可以用于滾石彈跳階段的計算，而且可用于滾（滑）動階段的計算。與現(xiàn)有方法相比，它具有下列優(yōu)點(diǎn)：

（1）計算原理簡單明確。該算法是將滾石和邊坡的剖面圖投影到一個平面直角坐標(biāo)系中，按照二維平面問題考慮，不僅建立了滾石所在初始位置和邊坡坡面線段各端點(diǎn)的具體坐標(biāo)，而且使它們之間的位置關(guān)系非常直觀和明了，便于建立邊坡坡面直線方程和滾石運(yùn)動軌跡方程。同時，滾石在運(yùn)動過程受力分析也很清晰。

（2）考慮了運(yùn)動軌跡的連續(xù)性。盡管該算法是把整個滾石運(yùn)動過程按邊坡坡面的現(xiàn)狀分割成多個線段考慮，但這些線段是相互關(guān)聯(lián)的計算單元，每一個計算單元的計算結(jié)果都為下一個計算單元所用，加強(qiáng)了各計算單元之間的聯(lián)系，這樣不僅保證了滾石運(yùn)動軌跡的連續(xù)性，而且大大減少了計算過程中未知量的個數(shù)，使每個計算單元都只涉及到一個未知量，使計算更方便。

（3）易于使用。該算法中的方程均為簡單的一元一次方程和一元二次方程，計算公式簡單，在實際的工程應(yīng)用中便于計算人員掌握和使用。

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