姜紅燕

(淮陰工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 淮安 223003)

0 引言

以往的可靠性分析理論都是在時(shí)間參數(shù)為連續(xù)的假設(shè)條件下討論的，處理方法通常是微分方程法和拉普拉斯變換法［1］。在實(shí)際工程應(yīng)用中，人們通常定期檢測(cè)系統(tǒng)、維修或更換部件，這樣一來(lái)，系統(tǒng)的運(yùn)行和維修時(shí)間等統(tǒng)計(jì)量并非是連續(xù)的隨機(jī)變量，而應(yīng)看作非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量序列。薛云［2－3］將原有的連續(xù)時(shí)間模型中的微分方程代之以離散時(shí)間的差分方程，研究了可變環(huán)境下的離散時(shí)間單部件可修復(fù)系統(tǒng)的可用度模型;楊懿等［4］分析了離散時(shí)間下的單部件可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性;王金亭［5］研究了離散時(shí)間串聯(lián)系統(tǒng)的可用度模型;余妙妙等［6］討論了離散時(shí)間單重休假冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的可靠性;梁小林等［7］討論了單重休假下“修復(fù)非新”的情形。

本文在前人工作的基礎(chǔ)上，利用離散向量Markov過(guò)程方法［8］，提出了一類適用于描述離散時(shí)間單重休假溫儲(chǔ)備系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型，從而得到了系統(tǒng)可靠度、可用度和首次故障前平均時(shí)間等可靠性指標(biāo)。

1 模型的描述

1.1 模型的假設(shè)

系統(tǒng)由兩個(gè)同型部件和一個(gè)修理工組成，部件的工作壽命ξ服從參數(shù)為p1的幾何分布，即:

儲(chǔ)備壽命ζ服從參數(shù)為p2的幾何分布，即:

工作故障的部件和儲(chǔ)備故障的部件有相同的修理時(shí)間分布，修理時(shí)間η服從一般離散型分布，即:

修理工的休假時(shí)間τ服從一般離散型分布，即:

發(fā)生在休假期間的故障，需等修理工休假結(jié)束以后才能得到修理。休假結(jié)束后，一旦有故障，修理工立即投入工作，否則，他就是空閑的。先發(fā)生故障的部件先修理，另一個(gè)則處于等待狀態(tài)。

當(dāng)一個(gè)部件發(fā)生故障時(shí)，溫儲(chǔ)備的部件立即轉(zhuǎn)換為工作狀態(tài)。轉(zhuǎn)換是瞬時(shí)完成的，轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)是完全可靠的。

所有的部件都能夠修復(fù)如新。部件的工作壽命、儲(chǔ)備壽命、修理時(shí)間和修理工的休假時(shí)間相互獨(dú)立。

初始時(shí)刻部件都是新的，修理工開(kāi)始休假。

1.2 模型的分析

此時(shí)系統(tǒng)共有10個(gè)不同的狀態(tài):

狀態(tài)0:一個(gè)部件工作，另一個(gè)部件溫儲(chǔ)備，修理工休假;

狀態(tài)1:一個(gè)部件工作，另一個(gè)部件發(fā)生工作故障，修理工休假;

狀態(tài)2:一個(gè)部件工作，另一個(gè)部件發(fā)生儲(chǔ)備故障，修理工休假;

狀態(tài)3:一個(gè)部件發(fā)生工作故障，另一個(gè)部件發(fā)生儲(chǔ)備故障，修理工休假;

狀態(tài)4:兩個(gè)部件都發(fā)生工作故障，修理工休假;

狀態(tài)0＇:一個(gè)部件工作，另一個(gè)部件溫儲(chǔ)備，修理工空閑;

狀態(tài)1＇:一個(gè)部件工作，另一個(gè)部件因工作故障在修理;

狀態(tài)2＇:一個(gè)部件工作，另一個(gè)部件因儲(chǔ)備故障在修理;

狀態(tài)3＇:一個(gè)部件因儲(chǔ)備故障在修理，另一個(gè)部件因工作故障待修;

狀態(tài)4＇:一個(gè)部件因工作故障在修理，另一個(gè)部件因工作故障待修。

令N(k)表示系統(tǒng)在時(shí)刻k(k=0，1，2，…)所處的狀態(tài)，顯然N(k)不是Markov過(guò)程。引進(jìn)離散補(bǔ)充變量，當(dāng) N(k)=0、1、2、3、4 時(shí)，令 Y(k) 表示修理工在時(shí)刻 k 已用掉的休假時(shí)間;當(dāng) N(k)=0＇、1＇、2＇、3＇、4＇時(shí)，令X(k)表示時(shí)刻k正在修理的部件已經(jīng)修理的時(shí)間，它們的取值均為非負(fù)整數(shù)。

系統(tǒng)在時(shí)刻k的狀態(tài)概率，定義如下:

時(shí)刻k已經(jīng)處于0狀態(tài)、m時(shí)間的概率P0(k，m)=P{N(k)=0，Y(k)=m}

時(shí)刻k已經(jīng)處于0＇狀態(tài)的概率P0(k)=P{N(k)=0＇}

時(shí)刻 k 已經(jīng)處于 i狀態(tài)、m 時(shí)間的概率 P1i(k，m)=P{N(k)=i，Y(k)=m}，(i=1，2，3，4)

時(shí)刻 k 已經(jīng)處于 i＇狀態(tài)、n 時(shí)間的概率 P2i(k，n)=P{N(k)=i＇，X(k)=n}，(i=1，2，3，4)

2 模型的建立與求解

用概率分析的方法可以得到如下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程:初始時(shí)刻部件都是新的，修理工開(kāi)始休假，初始條件為:

其余均為零。

在現(xiàn)代控制理論研究中，Z變換(母函數(shù))是討論離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)的一種常用工具。對(duì)上述方程組兩端進(jìn)行Z變換，可得:

3 系統(tǒng)的可靠性

3.1 系統(tǒng)的可用度

系統(tǒng)在時(shí)刻k(k=0，1，2…)的可用度為:

兩端進(jìn)行Z變換，并將前面所得的結(jié)果代入，得

而系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度

由式(17)以及洛比達(dá)法則，可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度為:

3.2 系統(tǒng)等待維修的概率

設(shè)系統(tǒng)的等待維修概率為P(k)，則:

同理，可得系統(tǒng)平穩(wěn)狀態(tài)下等待修理的概率為:

3.3 系統(tǒng)的可靠度

在上述模型中令故障狀態(tài) 3、4、3＇、4＇為過(guò)程的吸收態(tài)，令表示系統(tǒng)在時(shí)刻 k(k=0，1，2，…) 所處的狀態(tài)，當(dāng)N(k)=0、1、2、3、4 時(shí)，令Y(k) 表示修理工在時(shí)刻 k已用掉的休假時(shí)間;當(dāng)3＇、4＇時(shí)，令表示時(shí)刻k正在修理的部件已經(jīng)修理的時(shí)間，它們的取值均為非負(fù)整數(shù)。

系統(tǒng)在時(shí)刻k的狀態(tài)概率定義如下:

顯然，系統(tǒng)的可靠度為:

類似于穩(wěn)態(tài)可用度的求解過(guò)程，可得Z變換后的系統(tǒng)可靠度:

4 結(jié)束語(yǔ)

本文應(yīng)用離散向量Markov過(guò)程方法，研究了單重休假下的離散時(shí)間溫儲(chǔ)備可修復(fù)系統(tǒng)。實(shí)際中對(duì)很多設(shè)備的監(jiān)控都采用離散參數(shù)的分析方法，因而，該研究結(jié)果既有重要的理論意義，也有顯而易見(jiàn)的現(xiàn)實(shí)意義。

［1］曹晉華，程侃.可靠性數(shù)學(xué)引論［M］.北京:科學(xué)出版社，2006.

［2］薛云，曹晉華.可變環(huán)境下的離散時(shí)間單部件可修系統(tǒng)［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2006，26(2):178－186.

［3］薛云，曹晉華.可變環(huán)境下的離散時(shí)間串聯(lián)可修系統(tǒng)［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2003，23(2):242－250.

［4］楊懿.離散時(shí)間下的單部件可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性分析［J］.南京理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，32(4):393－396.

［5］王金亭.離散時(shí)間下串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性分析［J］.北方交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，25(6):81－84.

［6］余妙妙，唐應(yīng)輝，陳勝蘭.離散時(shí)間單重休假冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的可靠性分析［J］.計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)，2008，30(10):108－112.

［7］梁小林，莫蘭英，唐小偉.具有修理工休假的冷備退化可修系統(tǒng)的研究［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)，2010，25(3):426－432.

［8］Chaudhry M L，Gupta U.Queue－Length and Waiting Time Distributions of Discrete－Time GIx/Geom/1 Queueing Systems with Early and Late Arrivals［J］.Queuing Systems，1997，25(2):307－334.