吳清波,向?yàn)?劉文祥,孫廣富

摘 要：以Bursa-Wolf坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型和參數(shù)求解方法為基礎(chǔ)，根據(jù)誤差傳播理論，推導(dǎo)出測區(qū)內(nèi)任意待轉(zhuǎn)換點(diǎn)三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度數(shù)學(xué)公式。通過對該數(shù)學(xué)模型的分析可得：公共點(diǎn)所在測區(qū)內(nèi)待測點(diǎn)的轉(zhuǎn)換精度隨高程變化呈拋物線分布。當(dāng)高程在(-100 m,1 000 m)區(qū)間變化時，轉(zhuǎn)換精度在10-2量級浮動,對坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的影響很小。最后通過算例驗(yàn)證了結(jié)論的正確性。

關(guān)鍵詞：七參數(shù)轉(zhuǎn)換； 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換； 高程誤差； 轉(zhuǎn)換精度； 坐標(biāo)系

中圖分類號：TN911-34

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1004-373X(2011)09-0186-04

Effect of Elevation Error on Accuracy in 3-D Coordinate Transformation

WU Qing-bo,XIANG Wei,LIU Wen-xiang,SUN Guang-fu

(Electronic Science & Engineering College,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China)

Abstract： Based on Bursa-Wolf coordinate transformation model and parameter solving methods,a mathematical model for the 3-D accuracy of coordinate conversion for arbitrary measured point in the surveying area is derive with the theory of error propagation. According to the analysis of the mathematical model,it can be concluded that the variation of conversion accuracy of measured point presents a parabola distribution with the change of altitude. Meanwhile,when the variation of altitude is in the scope of -100~1 000 m,the conversion accuracy is about 10-2 m,which has a trivial effect on the coordinate transformation. The theoretical validity of the conclusions was proved by experiment.

Keywords： seven-parameter transformation; coordinate transformation; vertical error; transformation accuracy; geodetic coordinate system

0 引 言

目前，全球定位系統(tǒng)GPS在我國的應(yīng)用日益廣泛，GPS采用的是以ITRF標(biāo)準(zhǔn)為框架的地心坐標(biāo)系WGS84，是一種以地球整體擬合最佳為標(biāo)準(zhǔn)得到的橢球。我國地圖廣泛采用高斯-格呂克投影的北京54坐標(biāo)系，參考橢球是克拉索夫斯基橢球，它是一種使得我國本土的擬合最佳的橢球標(biāo)準(zhǔn)［1］。因此，將GPS的定位結(jié)果轉(zhuǎn)化到我國實(shí)用坐標(biāo)系的問題越來越明顯。

在國家或地方坐標(biāo)系中,大地高程(H)通常為正常高(h)與高程異常(ζ)之和，目前在我國高程異常的精度一般為米級［2］。由于大地高并不直接已知,而利用正常高和高程異常求得的大地高程精度將由于高程異常誤差的影響而降低。以此作為待轉(zhuǎn)換點(diǎn)坐標(biāo)必然會引起轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)精度降低。

1 Bursa-Wolf坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型［3-4］

假設(shè)兩個基準(zhǔn)坐標(biāo)系分別為OA-XAYAZA和OB-XBYBZB，它們之間的轉(zhuǎn)換涉及到七個參數(shù)ΔX,ΔY,ΔZ,`A,`B,`C，m。其中，ΔX,ΔY,ΔZ表示兩個坐標(biāo)系原點(diǎn)之間的平移量;m為比例因子，表示兩個坐標(biāo)系中單位長度的比例修正量；`A,`B,`C表示坐標(biāo)軸之間的旋轉(zhuǎn)角度。`A具體意義為從XA正向看向原點(diǎn)OA，以O(shè)A點(diǎn)為固定旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，將OA-XAYAZA繞XA軸逆時針旋轉(zhuǎn)`A角，使經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后的YA軸與OB-XBYB平面平行，由此產(chǎn)生的坐標(biāo)變換的旋轉(zhuǎn)矩陣如下：

RA=100

0cos `Asin `A

0－sin `Acos `A

其余兩個旋轉(zhuǎn)參數(shù)可以類推產(chǎn)生。由上面七個參數(shù)可以得到轉(zhuǎn)換模型如下：

XBYBZB=ΔXΔYΔZ+(1+m)RARBRCXAYAZA

(1)

將RA,RB,RC代入，并注意到`A,`B,`C均為微小量,得到:

XBYBZB=ΔXΔYΔZ+(1+m)1`Z－`Y

－`Z1`X

`Y－`X1XAYAZA

(2)

進(jìn)一步化簡為:

XBYBZB=XAYAZA+1000－ZAYAXA

010ZA0－XAYA

001－YAXA0ZAΔXΔYΔZ`X`Y`Zm

(3)

2 轉(zhuǎn)換參數(shù)求解方法［5-7］

令XAB=XA－XB,YAB=YA－YB,ZAB=ZA－ZB，認(rèn)為XAB,YAB,ZAB是含有隨機(jī)誤差的觀測值，將轉(zhuǎn)換參數(shù)［ΔXΔYΔZ`X`Y`Zm］視為未知數(shù)，根據(jù)Bursa-Wolf模型方程得到誤差方程:

VXVYVZ=XABYABZAB+

1000－ZAYAXA

010ZA0－XAYA

001－YAXA0ZAΔX

ΔYΔZ`X`Y`Zm

(4)

將三個或三個以上公共點(diǎn)的誤差方程聯(lián)立，以最小二乘原則求解就可以得到七個參數(shù)。為描述方便，把轉(zhuǎn)換參數(shù)求解的方程改寫為：

VXVYVZ…=XABYABZAB…+

1000－ZAYAXA010ZA0－XAYA001－YAXA0ZA…………………ΔXΔYΔZ`X`Y`Zm

(5)

記為:l=HX+V。式中:

l=－XAB

YAB

ZAB

…，

H=

1000－ZAYAXA

010ZA0－XAYA

001－YAXA0ZA

…………………，

X=ΔX

ΔY

ΔZ

`X

`Y

`Z

m，

V=－VXVYVZ…

得到轉(zhuǎn)換參數(shù)的最小二乘解為:

X=(H琓MH)－1H琓Ml

(6)

式中:M為加權(quán)矩陣，為所有公共點(diǎn)坐標(biāo)測量誤差的協(xié)方差矩陣的逆。若各公共點(diǎn)各軸向測量精度獨(dú)立，則:

M=1/σ21X1/σ21Y1/σ21Z

…

(7)

3 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度分析［8-10］

根據(jù)式(6)得出轉(zhuǎn)換參數(shù)協(xié)方差矩陣為:

C=(H琓MH)－1=

daadabdacdaddaedafdag

dbadbbdbcdbddbedbfdbg

dcadcbdccdcddcedcfdcg

ddaddbddcdddddeddfddg

deadebdecdeddeedefdeg

dfadfbdfcdfddfedffdfg

dgadgbdgcdgddgedgfdgg

(8)

對區(qū)域內(nèi)待測點(diǎn)P的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過程為:lP=HPX。利用轉(zhuǎn)換參數(shù)誤差和式(6)，推導(dǎo)出P點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換協(xié)方差矩陣為:

WP=E(Δ lPΔ l琓P)=HPE(ΔXΔX琓)H琓P=HPCH琓P=HP(H琓MH)-1H琓P

=

1000-ZPYPXP

010ZP0-XPYP

001-YPXP0ZP

daadabdacdaddaedafdag

dbadbbdbcdbddbedbfdbg

dcadcbdccdcddcedcfdcg

ddaddbddcdddddeddfddg

deadebdecdeddeedefdeg

dfadfbdfcdfddfedffdfg

dgadgbdgcdgddgedgfdgg

100

010

001

0ZP-YP

-ZP0XP

YP-XP0

XPYPZP

=

S11S12S13

S21S22S23

S31S32S33

(9)

即：P點(diǎn)三維轉(zhuǎn)換誤差與公共點(diǎn)的測量精度及其分布的關(guān)系為:

ΔLP=S11+S22+S33

(10)

式中:S=HP(H琓MH)－1H琓P;Sii為矩陣S的第i行、第i列元素。公共點(diǎn)位置及其分布決定了矩陣H，公共點(diǎn)測量精度決定了矩陣M。待轉(zhuǎn)換點(diǎn)位置決定矩陣HP。

當(dāng)P點(diǎn)經(jīng)、緯度坐標(biāo)固定時(即視其為常量)，轉(zhuǎn)換精度同高程的關(guān)系為：

ΔLP=［(ddd+dee+dgg)Z2P+2(dbd+dcg－dae－XPddf－YPdef)ZP+(dee+dff+dgg)X2P+

(ddddggdff)Y2P+2(dag－dbf+dee)XP+(daf+dbg－dcd)YP－2XPYPded+daa+dbb+dcc］1/2

(11)

進(jìn)一步簡化為：

ΔLP=(aZ2P+bZP+c)1/2

(12)

由式(12)可見，P點(diǎn)轉(zhuǎn)換精度是關(guān)于高程變化的拋物線。

4 算例驗(yàn)證

從Google Earth上選取湖南省長沙市市區(qū)任意三點(diǎn)作為公共點(diǎn)(假設(shè)其坐標(biāo)值是精確的)，并在公共點(diǎn)所在測區(qū)建立密度為3.3 km×3.3 km的網(wǎng)格。利用公共點(diǎn)求得轉(zhuǎn)換參數(shù)，并對網(wǎng)格內(nèi)的點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，根據(jù)式(6),式(9)，式(10)求出各點(diǎn)轉(zhuǎn)換精度。公共點(diǎn)在WGS84坐標(biāo)系下的坐標(biāo)及其精度如表1所示。

表1 公共點(diǎn)數(shù)據(jù)

點(diǎn)號

WGS84坐標(biāo)系下的公共點(diǎn)坐標(biāo)坐標(biāo)精度

X/mY/mZ/mmX/mmY/mmZ/m

G1-2 188 769.604 9285 183 546.215 0162 993 601.082 4081.631.631.63

G2-2 197 080.243 5555 176 951.981 6372 998 761.236 1791.371.371.37

G3-2 204 245.155 8895 177 131.713 0032 993 212.382 9241.561.561.56

高程變化區(qū)間為(-100 m，1 000 m)，待測點(diǎn)轉(zhuǎn)換精度的最大、最小值和變化幅度情況如表2所示。

其中，1,2,3,4號點(diǎn)的高程對轉(zhuǎn)換精度影響的仿真結(jié)果如圖1~圖4所示。由圖可知，轉(zhuǎn)換精度隨高程變化呈拋物線分布，同理論推導(dǎo)結(jié)果相符。

表2 待測點(diǎn)轉(zhuǎn)換精度結(jié)果

點(diǎn)號最大值/m最小值/m差值/m量級/m

11.029 7411.006 3450.023 9610-2

22.827 4912.819 3620.008 12310-3

32.635 2282.626 3040.008 92410-3

42.529 2332.519 7360.009 49710-3

52.435 4512.425 2760.010 17510-2

62.594 2832.584 5870.009 69610-3

72.791 6262.782 4870.009 13910-3

82.297 3482.287 4120.009 93610-3

92.015 2162.003 6380.011 57810-2

101.838 6401.825 6990.012 94110-2

根據(jù)表2結(jié)果可以看出，當(dāng)待測點(diǎn)高程在(-100 m,1 000 m)區(qū)間變化時，轉(zhuǎn)換精度變化幅度為10-2量級，對待測點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度影響較小，即轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)值可以認(rèn)為基本不變。

圖1 1號點(diǎn)高程變化對轉(zhuǎn)換影響

圖2 2號點(diǎn)高程變化對轉(zhuǎn)換影響

圖3 3號點(diǎn)高程變化對轉(zhuǎn)換影響

5 結(jié) 語

本文根據(jù)誤差傳播模型，推導(dǎo)出轉(zhuǎn)換參數(shù)求解誤差同公共點(diǎn)的測量精度與分布的數(shù)學(xué)模型，及測區(qū)內(nèi)任意點(diǎn)的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度公式。通過對該數(shù)學(xué)模型的分析可得：在公共點(diǎn)所在測區(qū)內(nèi)待測點(diǎn)的轉(zhuǎn)換精度隨高程變化呈拋物線分布。當(dāng)高程在(-100 m,1 000 m)區(qū)間變化時，轉(zhuǎn)換精度在10-2量級浮動，對坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的影響很小。在實(shí)際問題中,由于我國平面坐標(biāo)系統(tǒng)與高程系統(tǒng)分離,大多數(shù)情況下,平面坐標(biāo)的點(diǎn)上沒有精確的大地高,很多連水準(zhǔn)高程都沒有,只有米級精度的近似高程,地方坐標(biāo)系的精確大地高更是難以獲得。在這種情況下，只要保證公共點(diǎn)坐標(biāo)的精度，待測點(diǎn)的高程即使存在一定的誤差也可以保證轉(zhuǎn)換結(jié)果具有較高的精度。在工程上，特別是從國家或地方坐標(biāo)向WGS84坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時，該結(jié)論具有較大的實(shí)用意義。

圖4 4號點(diǎn)高程變化對轉(zhuǎn)換影響

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文