何學(xué)軍，張良欣，任愛(ài)娣

（海軍工程大學(xué) 后勤指揮與工程系，天津 300450）

橫向補(bǔ)給系統(tǒng)高架索的參激振動(dòng)研究

何學(xué)軍，張良欣，任愛(ài)娣

（海軍工程大學(xué) 后勤指揮與工程系，天津 300450）

考慮了集中質(zhì)量、軸向運(yùn)動(dòng)等因素對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響，建立了海上橫向補(bǔ)給系統(tǒng)高架索的面內(nèi)振動(dòng)的連續(xù)模型。利用Galerkin方法對(duì)高架索偏微分模型進(jìn)行模態(tài)離散，得到了1、2階模態(tài)耦合的高架索系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)力學(xué)控制方程，利用多尺度方法對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行漸近分析。對(duì)系統(tǒng)存在的兩類(lèi)參數(shù)激勵(lì)共振進(jìn)行了數(shù)值分析，得到了系統(tǒng)時(shí)間歷程曲線、相圖以及頻譜圖，研究結(jié)果表明高架索橫向振動(dòng)存在混沌等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性。

參激振動(dòng)；橫向補(bǔ)給；高架索；Galerkin方法；混沌

張良欣（1965-），男，教授，博士生導(dǎo)師，博士。

1 引 言

由于橫向干貨補(bǔ)給過(guò)程中集中質(zhì)量及高架索軸向運(yùn)動(dòng)的影響，使得橫向補(bǔ)給系統(tǒng)高架索的動(dòng)力學(xué)行為非常復(fù)雜。目前關(guān)于海上航行橫向干貨補(bǔ)給系統(tǒng)[1]的高架索研究的文獻(xiàn)很少，高架索系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)研究尚屬空白，高架索的動(dòng)力學(xué)理論研究需借鑒類(lèi)似連續(xù)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)研究成果。陳自力，唐駕時(shí)[2]建立了移動(dòng)集中載荷作用下的懸索動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型，通過(guò)Galerkin方法和多尺度法對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)頻率特性進(jìn)行研究；陳立群等[3-4]考慮懸索本身的結(jié)構(gòu)非線性因素的影響，對(duì)勻速、變速軸向運(yùn)動(dòng)弦線的橫向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)行為及其控制進(jìn)行了廣泛深入研究；張偉[5]利用多尺度、正規(guī)形及數(shù)值方法對(duì)參數(shù)激勵(lì)作用的軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性傳送帶的Shilnikov形式的多脈沖和混沌行為進(jìn)行研究；Lin和Perkins[6]建立了具有若干集中質(zhì)量懸索的三自由度線性振動(dòng)模型，提出了可用于求解任意垂度懸索特征解的半解析半數(shù)值的方法。Rega等[7-8]建立了無(wú)集中質(zhì)量懸索控制方程，利用Galerkin方法、直接攝動(dòng)法、數(shù)值方法以及幾何方法，對(duì)小垂度限幅振動(dòng)懸索的平面和空間運(yùn)動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了深入研究。上述研究對(duì)高架索動(dòng)力學(xué)行為具有很好的參考價(jià)值，本文綜合了上述文獻(xiàn)的建模思想，將高架索簡(jiǎn)化為具有集中質(zhì)量的軸向參激振動(dòng)的懸索模型，基于彈性力學(xué)理論、非線性動(dòng)力學(xué)理論，建立了高架索的面內(nèi)振動(dòng)理論模型。綜合利用Galerkin方法和多尺度方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了漸近分析，在分析過(guò)程中，考慮了低階、高階模態(tài)耦合效應(yīng)。同時(shí)，利用數(shù)值方法對(duì)系統(tǒng)兩種參激共振情況進(jìn)行分析，研究結(jié)果表明系統(tǒng)存在復(fù)雜的混沌運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。

2 控制方程建立及簡(jiǎn)化

由彈性力學(xué)理論，靜力作用下高架索變形為

其中：dx為高架索索單元的軸向靜位移；dy為高架索索單元的橫向靜位移。

在靜載荷和動(dòng)載荷共同作用下，高架索的總變形為

式中：du1為高架索索單元的橫向振動(dòng)位移；du2為高架索索單元的軸向振動(dòng)位移；他們不僅與時(shí)間有關(guān)，同時(shí)還與坐標(biāo)位置有關(guān)，為du1（x,t）、du2（x,t）的簡(jiǎn)寫(xiě)形式。

（2）式移項(xiàng)并進(jìn)行二階泰勒展開(kāi)，整理得

式中“′”表示對(duì)x求導(dǎo)。

結(jié)構(gòu)動(dòng)應(yīng)變?yōu)?/p>

根據(jù)Hamilton變分原理[9]，得高架索面內(nèi)振動(dòng)控制方程為

式中：E為高架索彈性模量；A為高架索截面面積；M集中質(zhì)量；δ（ x- xm）為Direc函數(shù)；xm為貨物距高架索發(fā)送端水平距離；ρ為高架索密度；·表示對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)；u2（xm,t）為集中質(zhì)量的橫向位移；v（t）高架索整體的軸向運(yùn)動(dòng)速度，與坐標(biāo)位置無(wú)關(guān)，由v（t）=v0sin（ Ω1t）確定；xm為貨物距高架索發(fā)送端水平距離。高架索空間形態(tài)如圖1。

為了研究高架索橫向振動(dòng)，將高架索軸向運(yùn)動(dòng)作為激勵(lì)簡(jiǎn)化高架索面內(nèi)控制方程?？紤]參激情況，根據(jù)邊界條件u1（0,t）=0，u1（l,t）=lp（t ），p（t）為高架索右端相對(duì)于左端的無(wú)量綱軸向運(yùn)動(dòng)位移，為激勵(lì)項(xiàng)。對(duì)方程（5a）分別進(jìn)行邊界積分[10]，忽略高階小量u′2、y′2影響，整理得

圖1 高架索空間形態(tài)圖Fig.1 The schematic model of highline cable

將（6）式代入（5b）式，可得高架索橫向振動(dòng)控制方程

式中：p（t）=b0sin（ Ω2t），b0為無(wú)量綱常數(shù)。

3 漸近分析

利用Galerkin方法對(duì)方程（7）進(jìn)行離散，令

將（8）式代入方程（7），根據(jù)模態(tài)正交性，得高架索1、2階耦合模態(tài)振動(dòng)的控制方程

由多尺度法，令

將（10）式代入方程（9），比較 ε 同冪次項(xiàng)系數(shù)，得：

Ω2=2ω2+εσ3情況，σ3為調(diào)諧函數(shù)，可確定系統(tǒng) 1、2 階模態(tài)振動(dòng)振幅 a1、a2表達(dá)式，如（16）式

4 數(shù)值分析

考慮 1：2 內(nèi)共振（ω2≈2ω1），高架索軸向運(yùn)動(dòng)頻率 Ω1≈ω1+ω2，系統(tǒng)參數(shù)取值如下：

l=40 m；E=1.8×1011Pa；ρ≈7 800 kg/m3；v0=3 m/s；xm=15 m；M=500 kg；N=20 kN；A=4.9×10-4m2（對(duì)應(yīng)高架索直徑25mm）；b0=0.005。

利用Mathematica程序?qū)Ω呒芩鳈M向振動(dòng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性進(jìn)行數(shù)值分析，同時(shí)利用FFT變換對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行頻譜分析，得到上述參數(shù)情況下系統(tǒng)1、2階模態(tài)振動(dòng)的時(shí)間歷程曲線、運(yùn)動(dòng)相圖及頻譜圖，如圖（2）、圖（3）所示。

情況 1：Ω2≈2ω1參激共振情況

圖2 高架索1階模態(tài)振動(dòng)時(shí)間歷程曲線、相圖以及頻譜圖（Ω2≈2ω1）Fig.2 Time flow,phase portrait and frequency spectrum of first model of highline cable

圖3 高架索2階模態(tài)振動(dòng)時(shí)間歷程曲線、相圖以及頻譜圖（Ω2≈2ω1）Fig.3 Time flow,phase portrait and frequency spectrum of second model of highline cable

由圖2可見(jiàn)，當(dāng)Ω2≈2ω1（參數(shù)激勵(lì)頻率近似等于1階模態(tài)頻率2倍）時(shí)，系統(tǒng)的1階模態(tài)振動(dòng)頻率相對(duì)簡(jiǎn)單，有幾個(gè)主要峰值構(gòu)成，為概周期運(yùn)動(dòng)；由圖3可見(jiàn)，系統(tǒng)的2階模態(tài)振動(dòng)頻率成分相對(duì)復(fù)雜，呈現(xiàn)連續(xù)性，由時(shí)間歷程曲線、運(yùn)動(dòng)相圖可見(jiàn)系統(tǒng)振動(dòng)幅值變化劇烈，可以判斷為混沌運(yùn)動(dòng)。

情況 2：Ω2≈2ω2參激共振情況

圖4 高架索1階模態(tài)振動(dòng)時(shí)間歷程曲線、相圖以及頻譜圖（Ω2≈2ω2）Fig.4 Time flow,phase portrait and frequency spectrum of first model of highline cable

圖5 高架索2階模態(tài)振動(dòng)時(shí)間歷程曲線、相圖以及頻譜圖（Ω2≈2ω2）Fig.5 Time flow,phase portrait and frequency spectrum of second model of highline cable

由圖4、5可見(jiàn)，當(dāng)Ω2≈2ω2（參數(shù)激勵(lì)頻率近似等于2階模態(tài)頻率2倍）時(shí)，系統(tǒng)的1階模態(tài)振動(dòng)頻率比情況1要復(fù)雜得多，系統(tǒng)振幅值有大范圍變化，此時(shí)系統(tǒng)的1階模態(tài)振動(dòng)具有典型的混沌運(yùn)動(dòng)特征；2階模態(tài)振動(dòng)頻率成分尤其復(fù)雜，振幅存在明顯的跳躍，具有典型的混沌運(yùn)動(dòng)特性。該情況下，系統(tǒng)模態(tài)振動(dòng)幅值較情況1要小，故該類(lèi)型的參激共振對(duì)高架索而言不如情況1危險(xiǎn)。

5 結(jié) 論

（1）考慮集中質(zhì)量、索端軸向運(yùn)動(dòng)等因素對(duì)高架索的影響，建立了海上航行橫向干貨補(bǔ)給系統(tǒng)的高架索面內(nèi)振動(dòng)的連續(xù)模型。

（2）考慮高架索低階與高階模態(tài)耦合作用，結(jié)合Galerkin離散與多尺度方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行漸近分析?？紤]了模態(tài)間的內(nèi)共振以及參數(shù)激勵(lì)共振，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了詳細(xì)的數(shù)值分析，研究結(jié)果表明高架索橫向振動(dòng)中存在復(fù)雜的混沌運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，參數(shù)激勵(lì)頻率對(duì)系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)特性影響較大。

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Parametrically excited oscillation of highline cable of alongside replenishment

HE Xue-jun,ZHANG Liang-xin,REN Ai-di

(Department of Logistics Command and Engineering,Navy University of Engineering,Tianjin 300450,China)

A parmetrically excited oscillation continuum equation of highline cable of alongside replenishment system at sea was formulated by elastic mechanics,which considered the influence of the concentrate mass and the axial motion of the highline cable.The partial differential equation was discretized into ordinary differential equation by Galerkin method,the standard dynamic equation of highline cable was obtained by considering the coupling of different order models.The equation was asymptotically analysed by multi-scale method.Two kinds of parametrically excited resonance cases were analyzed numerically,and the time history curve,phase trajectory and frequency spectra were obtained.The results show that there are complex dynamics behavors such as chaos in parametrically excited oscillation of the highline cable.

parametrically excited oscillation;alongside replenishment;highline cable;Galerkin method;chaos

U661.4

A

1007-7294（2011）11-1283-07

2010-12-08 修改日期：2011-06-27基金項(xiàng)目：中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目（20080431381）；中國(guó)博士后科學(xué)基金特別資助項(xiàng)目（200902669）作者簡(jiǎn)介： 何學(xué)軍（1978-），男，在站博士后，博士，E-mail:hexuejun@tju.edu.cn；